【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.3.1-2.3.2 等比数列 (一)备考练习 苏教版

§2.3 2.3.1 2.3.2
一、基础过关

等比数列

等比数列的概念(一)

等比数列的通项公式(一)

1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=________. 2.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x -2x+3 的顶点是(b,c),则 ad=________. 3.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=________. 4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 b=________. 5.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为________. 6.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 + =________. 7.已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 8.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000,求这四 个数. 二、能力提升 9.若数列{an}满足 an+1=?
2

a c m n

? 2an? n为奇数? ? 2an+1? n为偶数?

,若 a1=1,则 a19=________.

10.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则

a3+a5 =________. a4+a6

11.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四 项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 12.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)若 a,b,c 依次成等差数列且公差不为 0,求证:x,y,z 成等比数列; (2)若正数 x,y,z 依次成等比数列且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列. 三、探究与拓展 13.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数列, 求这三个数排成的等差数列. 答案 1.11 2.2 3 n-1 3.4·( ) 4.-3 2
2

5 5. 6.2 3
3

7.解 方法一 ∵a1a3=a2,∴a1a2a3=a2=8,∴a2=2. ? ?a1+a3=5 从而? ,解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. ?a1a3=4 ? 1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2
n-1

或 an=2

3-n

.
2

方法二 由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q 代入已知得,

-1-

? ?a1+a1q+a1q =7 ? 2 ? ?a1·a1q·a1q =8 ?a1? 1+q+q ? ? 即? 3 3 ? ?a1q =8,
2

2

, =7, ①

?a1? 1+q+q ? =7, ? 即? ? ?a1q=2, ②

2

2 2 将 a1= 代入①得 2q -5q+2=0,

q

1 ∴q=2 或 q= , 2
? ?a1=1 由②得? ? ?q=2

?a1=4, ? 或? 1 ?q=2. ?
3-n

∴an=2

n-1

或 an=2

.

8.解 设前三个数分别为 a-d,a,a+d, 则有 a-d+a+a+d=48, 即 a=16. 设后三个数分别为 ,b,bq,则有

b q

b 3 ·b·bq=b =8 000,即 b=20, q
∴这四个数分别为 m,16,20,n, 2 20 ∴m=2×16-20=12,n= =25. 16 即所求的四个数分别为 12,16,20,25. 5-1 9.1 023 10. 11.-9 2 12.证明 (1)∵a,b,c 成等差数列且 d≠0, ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)·logmz =2dlogmy-dlogmx-dlogmz =d(2logmy-logmx-logmz) =dlogm( )=0. ∵d≠0,∴logm =0,∴ =1. ∴y =xz,即 x,y,z 成等比数列. (2)∵x,y,z 成等比数列,且公比 q≠1, ∴y=xq,z=xq , ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)·logmz =(b-c)logmx+(c-a)logm(xq)+(a-b)logm(xq ) =(b-c)logmx+(c-a)logmx+(c-a)·logmq+(a-b)logmx+2(a-b)logmq
-22 2 2

y2 xz

y2 xz

y2 xz

=(c-a)logmq+2(a-b)logmq =(a+c-2b)logmq=0, ∵q≠1,∴logmq≠0, ∴a+c-2b=0,即 a,b,c 成等差数列. 13.解 设三个数为 ,a,aq, ∴a =-8,即 a=-2, 2 ∴三个数为- ,-2,-2q.
3

a q

q

2 2 (1)若-2 为- 和-2q 的等差中项,则 +2q=4,

q

q

∴q -2q+1=0,q=1,与已知矛盾; 2 1 (2)若-2q 为- 与-2 的等差中项,则 +1=2q,

2

q

q

1 2 2q -q-1=0,q=- 或 q=1(舍去), 2 ∴三个数为 4,1,-2; 2 2 2 (3)若- 为-2q 与-2 的等差中项,则 q+1= ,∴q +q-2=0,

q

q

∴q=-2 或 q=1(舍去), ∴三个数为 4,1,-2. 综合(1)(2)(3)可知,这三个数排成的等差数列为 4,1,-2 或-2,1,4.

-3-


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