第四讲线面垂直与面面垂直的判定与性质

线面垂直与面面垂直的判定与性质
【例】 1: 如图, 已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, M、 N 分别是 AB、 PC 的中点, 若∠PDA=450, 求证:MN⊥平面 PCD。

练习 1 如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD F 是 PC 的中点.求证: (1)PA∥平面 BDF; (2)平面 PAC ? 平面 BDF.
D A

P F C O B

【练习 2】 如图,已知 BD⊥平面 ABC,AC=BC,N 是棱 AB 的中点. 求证:CN⊥AD.

【例 2】如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。

(1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

【练习 3】 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60° ,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. 求证:平面 PBE⊥平面 PAB;

【练习 4】?如图所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

【例 3】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD.

【练习 5】 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB//DC, Δ PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5 。 (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积。

【例 4】?如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、

BD 的中点.求证:
(1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

【高考链接】
1.如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,

点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S

E
F

G
C

A B

2. (北京卷(文) )如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

3. (课标Ⅰ卷(文) )如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ?

AA1 , ?BAA1 ? 60? .

(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

C
6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C1 B1 A1

B A

4. 四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是边长为 2 的等边三角形.
?

(I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.


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