2018秋新版高中数学北师大版必修2习题:第一章立体几何初步 1.7.3 含解析数学

7.3 球 ) 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么它的体积扩大到原来的( A.2 倍 B.2 倍 C. 倍 D. 倍 解析:设球原来的半径为 r,则表面积 S=4πr2,体积 V= πr3,又设扩大后球的半径为 R,则 4πR2=8πr2, ∴R= 答案:B r,∴扩大后球的体积 V 扩= πR3= π( r)3=2 πr3=2 V,∴ 扩 =2 . 2.棱长为 a 的正方体内有一个球,且与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为( A. a3 B. a3 C. πa3 D. πa3 ) 解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为 r,则 r= a,球的体积 V= πa3. 答案:C 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 解析:由三视图可知该几何体是三棱柱,它的底面是边长为 2 的等边三角形,侧棱长为 1.设其外接球的 半径为 R,则 R2= 答案:C 4. ,因此球的表面积 S=4πR2=4π× . 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r= A.1 C .4 B.2 D .8 ( ) 解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半 个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一 半及一个球的表面积的一半组成. ∴S 表=2r×2r+2× πr2+πr×2r+ ×4πr2 =5πr2+4r2=16+20π,解得 r=2. 答案:B 5. 如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内 注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为( cm3 cm3 ) A. B. C. cm3 D. cm3 解析:设球半径为 R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm,球心到 截面的距离为(R-2) cm.所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5,所以球的体积为 V= πR3= π×53= A. 答案:A 6.半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( A. π∶6 B. π∶2 C.π∶2 D.5π∶12 ) cm3,故选 解析: 作过正方体对角面的截面如图,设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a,那么 CC'=a,OC= . 在 Rt△C'CO 中,由勾股定理,得 CC'2+OC2=OC'2,即 a2+ = πR3= πa3.V 正方体=a3. =R2,∴R= a.从而 V 半球 因此 V 半球∶V 正方体= πa3∶a3= 答案:B π∶2. 7.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 为 . ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积 解析:设正四棱锥的高为 h,则 h= ,解得高 h= ,则底面正方形的对角线长为 ,所以半径 OA= , 所以球的表面积为 4π· 答案:24π =24π. 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 . 解析:由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为 6 m,3 m,1 m 的长方体,底部为两 个直径为 3 m 的球, =(18+9π)(m3). 所以该几何体的体积为 V=6×3×1+2× π× 答案:(18+9π)m3 9.据说伟大的阿基米德去世以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示 的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的 底面是圆柱的下底面.那么图形中圆锥、球、圆柱的体积比为 . 解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆柱=πr2h,圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆锥= πr2h,球的半 径为 r,所以 V 球= πr3.又 h=2r,所以 V 圆锥∶V 球∶V 圆柱= (2πr3)=1∶2∶3. 答案:1∶2∶3 10.设四面体的各条棱长都为 1,若该四面体的各个顶点都在同一个球面上,求该球的表面积. 解 ∶(πr2h)= ∶ 如图所示,由已知四面体的各条棱长都为 1,得各个面都是边长为 1 的正三角形,过点 A 作 AO⊥平面 BCD 于点 O,连接 BO.在 Rt△AOB 中,AB=1,BO= ,所以 AO= . 设球的半径为 R,球心为 O1,则 O1 在线段 AO 上,OO1=AO-R= -R,O1B=R,BO= , 在 Rt△O1OB 中,O1B2=OB2+O 即 R2= , - ,解得 R= . 所以球的表面积 S=4πR2= . 11.已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球的半径的一半,且 AC=BC=6,AB=4,求球的表 面积与体积. 解 如图所示,设球心为 O,球的半径为 R,作 OO1⊥平面 ABC 于 O1, 由于 OA=OB=OC=R, 则 O1 是△ABC 的外心. 设 M 是 AB 的中点,由于 AC=BC,则 O1∈CM.设 O1M=x,易知 O1M⊥AB,则 O1A= ,O1C=CM-O1M= - -x.又 O1A=O1C,所以 - -x.解得 x= .则 =R2.解 O1A=O1B=O1C= 得 R= .在 Rt△OO1A 中,O1O= ,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理,得 π. .故 S 球=4πR2=54π,V 球= πR3=27 ★12.在棱长为 1 的正方体内,有两球相外切,并且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和; (2)大球的半径是多少时,两球体积之和最小? 解 (1)如图所示,ABCD 为过球心的对角面

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