达标检测题2018-2019学年北师大版高中数学必修一考点精讲:指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学如逆水行舟,不进则退。 北师大版高中数学必修一 [读教材·填要点] 1.三种函数的增长特点 (1)当 a>1 时,指数函数 y=a 是增函数,并且当 a 越大时,其函数值的增长就越快. (2)当 a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,并且当 a 越小时,其函数值的增长就越 快. (3)当 x>0,n>1 时,幂函数 y=x 显然也是增函数,并且当 x>1 时,n 越大其函数值 的增长就越快. 2.三种函数的增长比较 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=a (a>1),y=logax(a>1)和 y=x (n>0)都是增函 数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,幂函数 y=x (n>0),指数函数 y=a (a>1)增长的快慢交替出现,随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速度越来越快,会超 过并远远大于 y=x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.一般 地,若 a>1,n>0,那么当 x 足够大时,一定有 a >x >logax. [小问题·大思维] 1.2 >log2x,x >log2x,在(0,+∞)上一定成立吗? 提示:结合图像知一定成立. 2.2 >x 在(0,+∞)上一定成立吗? 提示:不一定,当 0<x<2 和 x>4 时成立,而当 2<x<4 时,2 <x . x 2 x 2 x 2 x n n x x n x n n x [研一题] [例 1] 四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表: x y1 y2 0 5 5 5 130 94.478 10 505 1 785.2 15 1 130 33 733 20 2 005 6.37×10 5 25 3 130 1.2×10 7 30 4 505 2.28×10 8 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 y3 y4 5 5 30 2.310 7 55 1.429 5 80 1.140 7 105 1.046 1 130 1.015 1 155 1.005 关于 x 呈指数型函数变化的变量是________. [自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的. 从表格可以看出, 四个变量 y1,y2,y3,y4 均是从 5 开始变化,变量 y4 越来越小,但是减小的速度很慢,则变量 y4 关于 x 不呈指数型函数变化;而变量 y1,y2,y3 都是越来越大,但是增大的速度不同,其中变量 y2 的增长最快,画出图像可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化. [答案] y2 [悟一法] 解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况, 结合指数函数、 幂 函数、对数函数增长的差异,从中作出判断. [通一类] 1.下面是 f(x)随 x 的增大而得到的函数值列表: x 2 x x 1 2 1 9 0 2 4 4 11 1 3 8 9 13 1.585 0 4 16 16 15 2 5 32 25 17 2.321 9 6 64 36 19 2.585 0 7 128 49 21 2.807 4 8 256 64 23 3 9 512 81 25 3.169 9 10 1 024 100 27 3.321 9 2 2x+7 log2x 试问:(1)随着 x 的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势? (2)各函数增长的快慢有什么不同? 解:(1)随 x 的增大,各函数的函数值都在增大; (2)由图表可以看出,各函数增长的快慢不同,其中 f(x)=2 增长最快,而且越来越快; 增长最慢的是 f(x)=log2x,而且增长的幅度越来越小. x [研一题] [例 2] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报 如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? [自主解答] 设第 x 天所得回报是 y 元. 由题意,方案一:y=40(x∈N+); 方案二:y=10x(x∈N+); 方案三:y=0.4×2 x-1 (x∈N+). 作出三个函数的图像如图: 由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四天,方案一, 二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开始,方案三比其他两个 方案所得回报多得多,经验证到第三十天,所得回报已超过 2 亿元,∴若是短期投资可选择 方案一或方案二,长期的投资则选择方案三. 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表. 天数 累积收益 方案 一 二 三 40 10 0.4 80 30 1.2 120 60 2.8 160 100 6 200 150 12.4 240 210 25.2 280 280 50.8 320 360 102 360 450 204.4 400 550 409.2 440 660 818 .8 … … … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … ∴投资一天到六天,应选方案一,投资七天方案一,二均可,投资八天到十天应选方案 二,投资十一天及其以上,应选方案三. [悟一法] (1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决,结合函数图像有助于直观 认识函数值在不同范围的大小关系. (2)一般地:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律;对数函数增长模型 适合于描述增长速度平缓的变化规律; 而幂函数增长模型介于两者之间, 适合于描述增长速 度一般的变化规律. [通一类] 2.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位: 新课标----最新北师大版 学如逆水行舟,不进则退。 元/10 kg)与上

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