2013版高考数学 3.2.1 第2课时 对数的运算性质及换底公式课件 苏教版必修1_图文

第2课时 对数的运算性质及换底公式

1、理解并掌握对数的运算性质.(重点) 2、能灵活运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.

(重点)
3、了解对数的换底公式,并会用换底公式进行一些简单

的化简与证明.(难点)

1.对数的定义

(a>0且a ? 1,N>0)
常用对数:log10N=lgN 自然对数:logeN=lnN.

2.三个结论: (1)负数和零没有对数

(2)loga 1 ? 0,loga a ? 1

(3)a

loga N

?N

探究一

积与商的对数

1、求下列三个对数的值:log22,log24,log28.你能发 现这三个对数之间有哪些内在联系吗? 2、将log28=log24十log22, log24=log28-log22推广到 一般情形有什么结论?

3、如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,你能证明等式
loga(M·N)=logaM十logaN,

loga

M =log M-log N 成立吗? a a N

现在我们来证明loga(M·N)=logaM十logaN

证明:设 loga M = p,log a N = q.
由对数的定义得 : M ? a p , N ? a q ,

所以MN ? a p a q ? a p ? q ,
故log( ? p ? q ? log a M ? log a N a M ? N)

即log( ? log a M ? log a N a M ? N)
请同学们自己证明loga

M =log M-log N a a N

探究二

幂的对数

1、log23与log281有什么关系? 2、将log281=4log23推广到一般情形有什么结论? 3、如果a>0,且a≠1,M>0,你有什么方法证明等式 logaMn=nlogaM成立.

前提条件M>0不 可缺 现在我们来证明:logaMn=nlogaM

证明:设 loga M = p,

则a p ? M ,

? M n ? (a p ) n ? a pn
? log a M n ? log a a np ? np ? n ? log a M

思考:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文

字语言描述? ①两数积的对数,等于各数的对数的和;
②两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数;

③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.

例1: 求下列各式的值: (1)log 2 (23 ? 45 );  (2)log 5125.

解:(1)log 2 (23 ? 45 )

log 2 23 + log 2 45

? 3 ? 5 log 2 4
? 3 ? 5? 2

? 13
(2) log 5 125 ? log 5 53

? 3 log 5 5 ? 3

求下列各式的值: 2 2 2 () 1 lg 5 + lg8 + lg 5lg 20 + (lg 2) ;   3 (2)log 2 1 +

(

2 + 3 + log 2 1 +

)

(

2-

3 .

)

解:() 1 lg 52 +

2 2 lg8 + lg 5lg 20 + (lg 2) =2lg 5 + 2lg 2 3
2

2 + lg ( 5 2 lg 2+ lg 5) + (lg 2) =2lg10 +(lg 2+ lg 5) =3;  

(2)log 2 1 + log 2 轾 1+ 犏 臌

(

2+

3 + log 2 1 +

)

(

2-

3 =

)

(

2+

3 1+

)(

2-

3 3 = log 2 2 2= . 2

)

例2:已知 lg 2 ? 0.3010,lg 3 ? 0.4771, 求下列各式的值 (结果保留4位小数) : 27 (1)lg12;(2)lg . 16
解:(1)lg12 = lg(22 3)? lg 22 ? lg 3
? 2 lg 2 ? lg 3

? 2 ? 0.3010 ? 0.4771 ? 1.0791
27 (2)lg ? lg 33 ? lg 2 4 16

? 3 lg 3 ? 4 lg 2
? 3? 0.4771 ? 4 ? 0.3010 ? 0.2273

例3:试用常用对数表示 log 3 5 .
解:设t = log 3 5, 则3t = 5.
两边取常用对数,得 lg 3t ? lg 5 ,

等式两边同时取对 数是化简中的常用 技巧.

即t lg 3 ? lg 5,
所以t ? lg 5 , lg 3

故 log 3 5 ?

lg 5 . lg 3

思考:由本例我们可以得到什么结论?

探究三

换底公式;

一般地,我们有 log a N = logc N , logc a

其中a > 0, a ? 1, N

0, c > 0, c

1.

证明:设 loga N = b, 则ab ? N .

两边同时取以c为底的对数 ,
log c a b ? log c N,即b log c a ? log c N,
所以b ? log c N log c N , 即log a N ? . log c a log c a

提升总结:
换底公式的功能和用法: 换底公式的功能是将不同底对数间的运算转化为同

底对数间的运算,当化简或求值的式子中出现不同底对
数时,可以考虑换底公式;当已知条件中和所求式子中 的对数不同底时,一般也可考虑换底公式.

例4:求 log8 9 ? log3 32的值.
解: log8 9? log 3 32 lg9 lg 32 lg8 lg 3
2 lg 3 5 lg 2 ? ? 3 lg 2 lg 3
? 10 3

先化为常用对 数或自然对数, 后计算.

设 3a ? 4b ? 36, 求 2 ? 1 的值.
a b



由 3a ? 4b ? 36, 得

a ? log3 36 ? 2log3 6, b ? log 4 36 ? log 2 6,
2 1 2 1 ? ? ? ? ? log 6 3 ? log 6 2 ? 1. a b 2log3 6 log 2 6

例5:如图 2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿 元.如果我国GDP年均增长7.8%左右,那么按照这个增长 速度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我国GDP才 能实现比2000年翻两番的目标?

解 假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标.根据题意,




89442 ? (1+7.8%)x =89442 ? 4
1.078x ? 4



lg 4 x ? log1.078 4 ? ? 18.5. lg1.078
经过19年以后,我国才能实现GDP比2000年翻两番的

答 目标

例6:在本章第2.2.2节的开头问题中,已知测得出土的 古莲子中14C的残余量占原来的87.9%,试推算古莲子的生 活年代. 解 根据本章第2.2.2节的讨论可以知道,经过x年后的 残余量是y=0.999879x

由y=87.9%=0.879可知
0.879=0.999879x x lg 0.999879 ? lg 0.879, 从而
lg 0.879 x? ? 1066, lg 0.999879

所以古莲子约是1066年前的遗物.

1、用 lg x,lg y,lg z表示下列各式; x () 1 lg(xy z ); () 2 lg 2 . yz
2 3

解( : 1)lg(xy 2 z 3 ) ? lg x ? 2lg y ? 3lg z x 1 (2)lg 2 ? lg x ? lg y ? 2lg z yz 2

2、求下列各式的值; () 1 lg2 ? 2lg 5;(2) log3 27 ? log3 3.

解: (1)lg2 + 2lg 5 = lg2 + lg5 = lg10 = 1;
(2) log3 27 ? log3 3 ? log 3
3.(2012·威海高一检测)计算

27 3

? log 3 9 ? log 3 3 ? 1.

3 log 2 32 ? log 2 ? log 2 6 4 答案 8

4 3、利用换底公式,计算下列各式的值;
; ( 1 ) log 2 3 ? log 3 4 ? log 4 5 ? log 5 6 ? log 6 7 ? log 7 8, (2) log b a ? log a b;.

解: (1)log 2 3创 log3 4 log 4 5创 log5 6 log 6 7 log 7 8
lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7 lg8 = 创 创 lg 2 lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7

lg 8 lg 23 3 lg 2 ? ? ? ? 3; lg 2 lg 2 lg 2
(2) log b a ? log a b ? lg a lg b ? 1. ? lg b lg a

1、对数的运算法则. 2、利用定义及指数运算证明对数的运算法则. 3、对数运算法则的应用. 4、换底公式的证明及应用.

青春是有限的,智慧是无穷的,趁短暂的 青春,学习无穷的智慧。


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