山东省青岛市2019届高三第一次模拟考试_文科数学(一模第2套)

高三自评试卷
数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科 目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.
3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.若 (1? i)z ? ?2i, 则复数 z ?

A. i

B. ?i

C. ?1? i

D. ?1? i

2. 已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ?

A.{0}

B.{0,2,4}

C.{2,4}

D.{0,4}

3. “ k ? 2 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 1 相切”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.



ur e1,

uur e2

是夹角为

? 3

r ur uur r ur uur r r 的单位向量,且 a ? ?2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ?

A.1

B. ?4

C. ? 7

2

D. 7 2

5.

已知函数

f (x) ? (1)x 5

? log2

x ,若 x0 是函数 y ?

f (x) 的零点,则当 0 ?

x?

x0 时,函数

f (x)

A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值

D.不大于 0

·1·

6. 若当 x ? ? 时,函数 f (x) ? Asin(x ??)(A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (3? ? x) 是

4

4

A.奇函数且图象关于点 (? , 0) 对称 2

B.偶函数且图象关于点 (? , 0) 对称

C.奇函数且图象关于直线 x ? ? 对称 2

D.偶函数且图象关于点 (? , 0) 对称 2

7. 已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线,? 、 ? 、? 是三个不同的平面,给出以下命题:

①若 m ? ?, n / /? ,则 m / /n ;②若 m ? ?, n ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? l, m ? l ,则 m ? n ;③若 n / /m ,

m ? ? ,则 n / /? ;④若? / /? , ? / /? ,则? / /? .其中正确命题的序号是

A. ②④

B. ②③

C. ③④

D. ①③

8. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,

那么这个几何体的表面积为

A. 4?

B. 3 ? 2

C. 3?

D. 2?

9. 若 a, b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成.立.的是

主视图

左视图

A. a2 ? b2 B. b ? 1 C. lg(a ? b) ? 0 D. (1)a ? (1)b

a

33

10. 已知函数 f (x) ? 2x ?1,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 的任意

俯视图

第8题图

? ? x1, x2 ,给出下列结论:① (x2 ? x1) f (x2) ? f (x1) ? 0 ;② x2 f (x1) ? x1 f (x2 ) ;



f

(x2 ) ?

f

(x1) ?

x2

? x1 ;④

f (x1) ? 2

f (x2 )

?

f ( x1 ? x2 ) ,其中正确结论的序号是 2

A. ①②

B. ①③

C. ②④

D. ③④

11. 等比数列?an? 中,a1 ? 2 ,a8 ? 4 , f (x) ? x(x ? a1)(x ? a2 ) ??? (x ? a8 ) , f ?(x) 为函数 f (x) 的
导函数,则 f ?(0) ?

A.0

B. 26

C. 29

D. 212

?x ? y ?1 ? 0

12.

已知

x



y

满足约束条件

? ?

x

?

0

?? y ? 0

,若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 b ? 2 的取值范围为 a ?1

A. [1,3]

B.[ 2 , 4] 3

C.[ 2 , 4] 33

D.[ 4 , 4] 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

·2·

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 定义某种运算 S ? a ?b ,运算原理如右框

式 子 (2 tan ? ) ? ln e ? lg100 ? (1)?1 的 值

4

3



;

开始

输入 a,b





a ?b?

图所示,则

14. 已知双曲线 x2 ? ky2 ? 1的一个焦点是

输出 a(b ?1)

输出 b(a ?1)

则其离心率为

;

结束
15. 在等差数列{an}中,a2 ? 4 ,a4 ? 12 ,则

的前10 项的和为_______;
16.下列说法中正确的是

(把所有正确说法的序号都填上).[来

①“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;

( 5,0 ), 数 列 {an}

②线性回归方程 y? ? b?x ? a? 对应的直线一定经过其样本数据点 (x1, y1) ,(x2 , y2 ) , ,
的一个点;

(xn , yn ) 中

③命题“ ? x ? R , x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ?R , x2 ? x ?1 ? 0 ” ;

④命题“函数 f (x) 在 x ? x0 处有极值,则 f ?(x) ? 0 ”的否命题是真命题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ? )(x ?R,?>0) 的最小正周期为T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2. 6
(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)设?, ? ?[0, ? ] , f (3? ? ? ) ? 16 , f (3? ? 5? ) ? ? 20 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

2

5

2 13

18.(本小题满分 12 分)有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字1, 2,3, 4 .

(Ⅰ)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率;
(Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该 球的编号为 b ,求直线 ax ? by ?1 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 1 有公共点的概率.
16
·3·

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD中,底面 ABCD 为平行四边形, N 是 PB 中点,过

A、 N 、 D 三点的平面交 PC 于 M .

P

(Ⅰ)求证: PD / / 平面 ANC ; (Ⅱ)求证: M 是 PC 中点; (Ⅲ)若 PD ? 底面 ABCD, PA ? AB, BC ? BD ,

M

DN

C

证明:平面 PBC ⊥平面 ADMN .

A

20.(本小题满分

12

分)设函数

f

(x)

?

ln

x

, g(x)

?

ax

?

b x



的图象与 x 轴的交点也在函数 g(x) 的图象上,且在此点有公切线.

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)试比较 f (x) 与 g(x) 的大小.

B 函 数 f (x)

21.(本小题满分 13 分)已知数列?an ?( n ? N* )是首项为 a ,公比为 q ? 0 的等比数列, S n 是数

列 ?an ?的前 n 项和,已知12S3 , S6 , S12 ? S6 成等比数列.

(Ⅰ)当公比 q 取何值时,使得 a1,2a7 ,3a4 成等差数列;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求Tn ? a1 ? 2a4 ? 3a7 ? ? ? na3n?2 . 22.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(?1, 0), B(1, 0) ,动点 C 满足: ?ABC 的 周长为 2 ? 2 2 ,记动点 C 的轨迹为曲线W . (Ⅰ)求W 的方程; (Ⅱ)曲线W 上是否存在这样的点 P :它到直线 x ? ?1 的距离恰好等于它到点 B 的距离?若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)设 E 曲线W 上的一动点, M (0, m) , (m ? 0) ,求 E 和 M 两点之间的最大距离.

高三自评试卷
·4·

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. DBACA CABDC DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 13

14. 5

15. 180

16.③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分

17.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)依题意得? ? 2? ? 2? ? 1 , …………………………………………………2 分 T 6? 3

∴ f (x) ? Asin( x ? ? ) 36

由 f (2? ) ? 2得 Asin(2? ? ? ) ? 2 ,即 Asin 5? ? 2 ,∴ A ? 4 …………………………4 分

36

6

∴ f (x) ? 4sin( x ? ? ) 36

…………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 f (3? ? ? ) ? 16 得 4sin[1 (3? ? ? ) ? ? ] ? 16 ,即 4sin(? ? ? ) ? 16

5

3

65

25

∴ cos? ? 4 , 又∵? ?[0, ? ] ,∴ sin? ? 3

5

2

5

…………………………………………8 分

由 f (3? ? 5? ) ? ? 20 得 4sin[1 (3? ? 5? ) ? ? ] ? ? 20 ,即 sin(? ? ? ) ? ? 5

2 13

3

2 6 13

13

∴ sin ? ? 5 , 又∵ ? ?[0, ? ] ,∴ cos ? ? 12 …………………………………………10 分

13

2

13

从而 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? 4 ? 12 ? 3 ? 5 ? 63 ………………12 分 5 13 5 13 65
18. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)用 (a, b) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次取到球的编号)表示先后二次取球

构成的基本事件,则基本事件有:(1, 2) ,(1,3) ,(1, 4) ,(2,1) ,(2, 3) ,(2, 4) ,(3,1) ,(3, 2) ,(3, 4) ,

(4,1) , (4, 2) , (4, 3) ,共 12 个………………………………3 分

设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A ,

则事件 A 包含的基本事件有: (2,1) , (2, 4) , (4, 2) ,共有 3 个; ……………………5 分

? P(A) ? 3 ? 1 12 4

………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)基本事件有: (1,1) , (1, 2) , (1,3) , (1, 4) , (2,1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3,1) , (3, 2) ,

·5·

(3,3) , (3, 4) , (4,1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) ,共 16 个……………………8 分

设“直线 ax ? by ?1 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 1 有公共点”为事件 B , 16

由题意知: 1 ? 1 a2 ? b2 4

即 a2 ? b2 ? 16

则事件 B 包含的基本事件有: (1, 4) , (2, 4) , (3,3) , (3, 4) , (4,1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) ,共

有 8 个; …………………………………………………………………………………11 分

? P(B) ? 8 ? 1 16 2
19.(本小题满分 12 分)

………………………………………………………12 分

证明:(Ⅰ)连结 BD, AC ,设 BD ? AC ? O ,连结 NO

Q ABCD是平行四边形

? O 是 BD中点,在 ?PBD 中,又 N 是 PB 中点

P

? PD// NO…………………………………………………3 分 又 NO ? 平面 ANC , PD ? 平面 ANC ? PD / / 平面 ANC ……………………………………4 分

M DN

C
(Ⅱ)Q

底面 ABCD 为平行四边形,?AD / /BC O

Q BC ? 平面 ADMN , AD ? 平面 ADMN

A

B

? BC / / 平面 ADMN ………………………………………6 分
因平面 PBC I 平面 ADMN ? MN ? BC // MN ……………………………………………………………………………………7 分 又 N 是 PB 中点 ? M 是 PC 中点………………………………………………………………………………8 分
(Ⅲ)Q PA ? AB, N 是 PB 中点 ? PB ? AN …………………………………………………………………………………9 分

Q BC ? BD, AD // BC ,

? AD ? BD Q PD ? 底面 ABCD, AD ? 底面 ABCD, ?PD ? AD ,Q PD I BD ? D ? AD ? 面 PBD ? PB ? AD ………………………………………………………………………………11 分 Q AD ? AN ? A ? PB ? 面 ADMN Q PB ?面 PBC ?平面 PBC ⊥平面 ADMN ………………………………………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)

·6·

解:(Ⅰ) f (x) ? ln x 的图象与 x 轴的交点坐标是 (1, 0) ,

依题意,得 g(1) ? a ? b ? 0 ①

…………………………………………………1 分



f

?(x)

?

1 x



g?(x)

?

a

?

b x2



Q

f (x) 与 g(x) 在点 (1, 0) 处有公切线,

∴ g ?(1) ? f ?(1) ? 1即 a ? b ?1 ②

………………………………………………4 分

由①、②得

a

?

1 2



b

?

?

1 2

(Ⅱ)令 F(x) ? f (x) ? g(x) ,则

……………………………………………………5 分

F(x)

?

ln

x

?

(12

x

?

21x)

?

ln

x

?

1 2

x

?

1 2x



F ?(x)

?

1 x

?

1 2

?

1 2x2

?

?

1 2

(1x

? 1)2

?

0

∴ F(x) 在 (0, ? ?) 上为减函数………………………………………………………………6 分

当 0 ? x ?1时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ;

当 x ?1时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ;

当 x ?1时, F(x) ? F(1) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) .

综上可知,当 0 ? x ?1时,即 f (x) ? g(x) ;当 x ?1时,即 f (x) ? g(x) .………………12 分

21.(本小题满分 13 分)(Ⅰ)由题意可知, a ? 0

①当 q ? 1 时,则12S3 ? 36a, S6 ? 6a, S12 ? S6 ? 6a ,

此时不满足条件12 S3 , S6 , S12 ? S6 成等比数列;…………………………………………1 分

②当 q

? 1 时,则12 S3

? 12 ?

a(1 ? q3 ) 1? q ,S6

?

a(1 ? q 6 ) 1 ? q , S12

? S6

?

a(1 ? q12 ) 1? q

?

a(1 ? q 6 ) 1? q

由题意得:12 ? a(1 ? q3 ) [ a(1 ? q12 ) ? a(1 ? q6 ) ] ? [ a(1 ? q 6 ) ]2

1?q 1?q

1? q

1? q

化简整理得: (4q3 ?1)(3q3 ?1)(1? q3)(1? q6 ) ? 0

解得: q3 ? ? 1 , 或 q3 ? 1 , 或 q ? ?1 ………………………………………………………4 分

4

3

当 q ? ?1 时, a1 ? 3a4 ? ?2a , 2a7 ? 2a ,?a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,不满足条件;

当 q3

?

?

1 4

时, a1

? 3a4

?

a(1? 3q3)

?

a 4

, 2(2a7 )

?

4aq6

?

a 4



即? a1

?

3a4

?

2(2a7 )

,所以当

q

?

?

32 2

时,满足条件

当 q3

?

1 3

时, a1

? 3a4

?

a(1? 3q3 )

?

2a , 2(2a7 )

?

4aq6

?

4a 9

?a1 ? 3a4

?

2(2a7 ) ,从而当 q 3

?

1 时,不满足条件 3

·7·

综上,当

q

?

?

32 2

时,使得

a1 ,2a7

,3a4

成等差数列.……………………………………8



(Ⅱ)由(Ⅰ)得: na3n?2

?

n(? 1)n?1 a 4

所以 Tn

?

a ? 2? (? 1)a ? 3? (? 1)2 a ??

4

4

? (n ?1)(? 1)n?2 a ? n(? 1)n?1 a …………①

4

4

则?

1 4

Tn

? (? 1)a ? 2? (? 1)2 a ? 3? (? 1)3 a ??

4

4

4

? (n ?1)(? 1)n?1 a ? n(? 1)n a …②

4

4

①-②得:

5 4

Tn

? a ? (? 1)a ? (? 1)2 a ? (? 1)3a ?L

4

4

4

? (? 1)n?1a ? n(? 1)n a

4

4

? 4 a ? ( 4 ? n)(? 1)n a

55

4

所以 Tn

?

16 a 25

? (16 25

?

4 n)(? 5

1 )n a 4

.……………………………………………………13



22.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)设 C(x, y) ,∵ ?ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,

? AC ? AB ? BC ? 2 ? 2 2 ,又 AB ? 2 ,? AC ? BC ? 2 2 ? 2 ……………2 分

根据椭圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆(除去与 x 轴的两个交
点).
从而 a ? 2, c ? 1 , b2 ? a2 ? c2 ? 1 ∴W : x2 ? y2 ? 1, ( y ? 0) ………………………………………………………………4 分
2 (Ⅱ)假设存在点 P 满足题意,则点 P 为抛物线 y 2 ? 4x 与曲线W : x2 ? y2 ? 1, ( y ? 0) 的交点,
2



?? ?

x

2

?? 2

?

y2 y2

? 4x ? 1( y

?

消去 0)

y 得: x2

? 8x ? 2

?

0

………………………………………6 分

解得 x ? 3 2 ? 4 , x ? ?3 2 ? 4 (舍去)

由 x ? 3 2 ? 4 代人抛物线的方程得 y ? ?2 3 2 ? 4

所以存在两个点 (3 2 ? 4, 2 3 2 ? 4) 和 (3 2 ? 4, ?2 3 2 ? 4) 满足题意.…………8 分

(Ⅲ)设 E(x, y) ,则 x2 ? y2 ? 1, ( y ? 0) ? x2 ? 2 ? 2 y2 ( ?1 ? y ? 1 ,且 y ? 0 ) 2

ME ? x2 ? ( y ? m)2 ? 2 ? 2y2 ? ( y ? m)2 ? ?( y ? m)2 ? 2m2 ? 2 ……………10 分

·8·

若 ?m ? ?1 即 m ? 1时,在 y ? ?1时, ME ? m2 ? 2m ?1 ? m ?1 ; max
若 ?1? ?m ? 0 即 0 ? m ?1时,在 y ? ?m时, ME ? 2m2 ? 2 ………………13 分 max
·9·


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