【走向高考】高三数学二轮专题复习 2-1三角函数的概念、图象与性质课后作业 新人教A版

【走向高考】2014 届高三数学二轮专题复习 2-1 三角函数的概念、 图象与性质课后作业 新人教 A 版
基本素能训练 一、选择题 π 1.(2013·北京海淀期中)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( ,π ) 2 上为减函数的是( A.y=sin2x C.y=cos D.y=tan(-x) 2 [答案] D [解析] 逐个判断,用排除法.y=cos 的最小正周期为 4π ,故 C 排除;函数 y= 2 ) B.y=2|cosx|

x

x

π π sin2x 在区间( ,π )上不具有单调性,故 A 排除;函数 y=2|cosx|在区间( ,π )上是增 2 2 函数,故 B 排除;D 正确. 2.(2013·浙江理,4)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0,φ ∈R),则“f(x) π 是奇函数”是“φ = ”的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 若 f(x)是奇函数,则 f(x)+f(-x)=0,即 Acos(ω x+φ )+Acos(-ω x+φ ) π =0,整理得 cosω xcosφ =0 恒成立,故 cosφ =0,φ =kπ + ,k∈Z,故“f(x)是奇函 2 π 数”是“φ = ”的必要不充分条件. 2 5π 5π 3.(文)(2013·昆明一检)已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 6 6 α 的最小正值为( A. C. 5π 6 5π 3 B. D. 2π 3 11π 6
1

)

)

[答案] C 5π 5π 1 3 [解析] (sin ,cos )可化为( ,- ), 6 6 2 2 ∴sinα =- 3 1 π ,cosα = ,∴α =- +2kπ ,k∈Z, 2 2 3

5π 故角 α 的最小正值为 . 3 (理)(2013·浙江理,6)已知 α ∈R,sinα +2cosα = A. 4 3 B. 3 4 4 D.- 3 10 ,则 tan2α =( 2 )

3 C.- 4 [答案] C

[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 将 sinα +2cosα = 10 两边平方可得, 2

5 2 2 sin α +4sinα cosα +4cos α = , 2 3 2 ∴4sinα cosα +3cos α = . 2 将左边分子分母同除以 cos α 得, 3+4tanα 3 1 = ,解得 tanα =3 或 tanα =- , 2 1+tan α 2 3 ∴tan2α = 2tanα 3 =- . 2 1-tan α 4
2

4.(文)(2013·乌鲁木齐 模拟)为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需把函数 y =sin2x-cos2x 的图象( )

π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 2 π D.向 右平移 个单位长度 2 [答案] A

2

[ 解析 ]

y =sin2x+ cos2x = 2sin(2x +

π π ) , y= sin2x- cos2x = 2sin(2x- ) , 4 4

π 只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象向左平移 个单位长度,即可得到 y=sin2x+cos2x 4 的图象. π (理)(2012·天津文,7)将函数 f(x)=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 个单位长 4 3π 度,所得图象经过点( ,0),则 ω 的最小值是( 4 A. C. 1 3 5 3 B.1 D.2 )

[答案] D [解析] 本题考查三角函数图象的平移变换. π ωπ 3π )] = sin(ω x - ),由图象过点( , 0) 得 , 4 4 4

平 移 之 后 y = sin[ω (x -

3π ω π 3π π sin(ω × - )=0,∴ω ( - )=kπ ,k∈Z,∴ω =2k,又 ω >0,∴ω min=2. 4 4 4 4 π [点评] 平移是对“x”来说的,不要出现 y=sin(ω x- )这样的错误. 4 4 π 2 5.(文)(2012·洛阳检测)如果 sinα = ,那么 sin(α + )- cosα 等于( 5 4 2 A. 2 2 5 4 2 5 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 )

C.

[答案] A π 2 [解析] sin(α + )- cosα 4 2 π π 2 4 2 2 2 =sinα cos +cosα sin - cosα = × = . 4 4 2 5 2 5 2 π 2 (理)(2013·新课标Ⅱ文,6)已知 sin2α = ,则 cos (α + )=( 3 4 A. C. 1 6 1 2 B. D. 1 3 2 3 )

3

[答案] A [解析] 本题考查半角公式及诱导公式. 1+ π 2 由半角公式可得,cos (α + )= 4 π α + 2 2 2 1- 3 1 1-sin2α = = = ,故选 A. 2 2 6 π π ) 在区间 [0 , ] 上的最小值为 4 2

6 . ( 文)(2013·天津文, 6) 函数 f(x) = sin(2x - ( ) A.-1 C. 2 2 B.- D.0 2 2

[答案] B [解析] 本题考查正弦型函数的最值. π π π 3π π 令 t=2x- ,因为 x∈[0, ],所以 t∈[- , ],f(x)=sin(2x- )变为 y= 4 2 4 4 4 π 2 sint,由正弦函数的图象可知,当 t=- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值为- . 4 2 (理)用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的简图时,若所得五个点的横坐标从 3π 小到大依次为 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1+x5= ,则 x2+x4( 2 A. C. π 2 3π 2 B.π D.2π )

[答案] C [解析] 由函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象性质可知 x1、x5 关于 x3 对称,x2、x4 也关 3π 于 x3 对称,∴x2+x4=x1+x5= ,故选 C. 2 二、填空题 4 7.已知 α 为锐角,tan2α =- ,则 3 π -α 3π -α 2 [答案] 1 3 - + π +α π +α 2 =________.

4

2tanα 4 1 [解析] 由 tan2α = =- 得,tanα =2 或- , 2 1-tan α 3 2 ∵α 为锐角,∴tanα >0,∴tanα =2. ∴ π -α 3π -α 2 - + π +α π +α 2 -sinα +cosα tanα -1 2-1 1 = = = = . -cosα -sinα 1+tanα 1+2 3

π 8.(2013·宝鸡二模)函数 f(x)=Asin(ω x+ φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如 2 图所示,则 f(x)=________.

[答案]

π π 2sin( x+ ) 8 4

[解析] 由题意得 A= 2,函数的周期为 T=16, 2π π π 又 T= ? ω = ,此时 f(x)= 2sin( x+φ ), ω 8 8 π π 又 f(2)= 2,即 sin( ×2+φ )=sin( +φ )=1, 8 4 π π π 解得 +φ =2kπ + ? φ =2kπ + ,k∈Z, 4 2 4 π π 又|φ |< ,所以 φ = . 2 4 π π 所以函数的解析式为 f(x)= 2sin( x+ ). 8 4 9. (文)如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函 数.给出下列四个函数: ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)= 2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是________(填序号). [答案] ①④ [解析] 首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)= 2sin(x+ π ),②f(x)=2sin(x 4

5

π + ),③f(x)=sinx,④f(x)= 2sinx+ 2,可知③f(x)=sinx 的图象要与其他的函数 4 图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx 不能 π 与其他函数成为“互为生成”函数,同理①f(x)= 2sin(x+ )的图象与②f (x)=2sin(x 4 + π π )的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)= 2sinx+ 2的图象向左平移 个 4 4 π )的图象,所以①④为“互为 4

单位,再向下平移 2 个单位即可得到①f(x)= 2sin(x+ 生成”函数.

π (理)(2012·山西省高考联合模拟)设 f(x)=asin(π -2x)+bsin( +2x),其中 a、b 2 ∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( 5π ①f( )=0; 12 ②f(x)的周期为 2π ; ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③ [ 解析 ] π )|对一切 x∈R 恒成立,则 6

f(x) = asin(π - 2x) + bsin( b a

π 2 2 + 2x) = asin2x + bcos2x = a +b sin(2x + 2

φ ),其中,tanφ = , π ∵f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成立, 6 ∴|f( π π π π 2 2 )|= a +b ,∴2× +φ =kπ + ,∴φ =kπ + ,又 f(x)的周期 T= 6 6 2 6

π ,故①③正确,②④错误. 三、解答题 1 2 10.(文)(2013·北京文,15)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 a 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 [解析] (1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x 2
6

1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 1 = (sin4x+cos4x) 2 = 2 π sin(4x+ ) 2 4

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= 2 π ,所以 sin(4α + )=1. 2 4

π 因为 α ∈( ,π ), 2 π 9π 17π 所以 4α + ∈( , ), 4 4 4 π 5π 9π 所以 4α + = ,故 α = . 4 2 16 ( 理)(2013·天津理, 15) 已知函数 f(x) =- 2sin(2x + 1,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2 π π [解析] (1)f(x)=- 2sin2x·cos - 2cos2x·sin +3sin2x-cos2x 4 4 π =2sin2x-2cos2x=2 2sin(2x- ). 4 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π . 2 3π 3π π (2)因为 f(x)在区间[0, ]上是增函数,在区间[ , ]上是减函数. 8 8 2 又 f(0)=-2,f( 2 2,最小值为-2. 能力提高训练 一、选择题 π π 1.(2012·吉林模拟)若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m,对任意实数 t 都有 f( +t)=f( 8 8 3π π π )=2 2 ,f( )=2,故函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 8 2 2 π 2 ) + 6sinxcosx - 2cos x + 4

7

π -t),且 f( )=-3,则实数 m 的值等于( 8 A.-1 C.-5 或-1 [答案] C B.±5 D.5 或 1

)

π π [解析] 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是 x= 时,函数 f(x) 8 8 取得最值,因此有±2+m=-3,∴m=-5 或 m=-1,选 C. 2.(2013·浙江文, 6)函数 f(x)= sinxcosx+ ( ) A.π ,1 C.2π ,1 [答案] A [解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质. B.π ,2 D.2π ,2 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是 2

f(x)= sin2x+

1 2

3 π cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π ,振幅为 1,故选 A. 2 3 )

1 cos2α 3.(2012·莱芜检测)若 tan(π -α )=- ,则 的值为( 2 3 2sinα cosα +cos α 8 A.- 3 C. 8 15 B. 8 D.- 7 8 5

[答案] C [分析] 先求 tanα ,再将所求三角函数式分子分母同除以 cosα 化成切的式子. [解析] 由 tan(π - α ) = - 1 1 cos2α 得 , tanα = , = 2 3 3 2sinα cosα +cos α

1 1- 9 8 cos α -sin α 1-tan α = = = . 2 2sinα cosα +cos α 2tanα +1 2 15 +1 3
2 2 2

π 4.(文)(2013·东城区模拟)函数 f(x)=sin(ω x+φ ),(其中|φ |< )的图象如图所 2 示,为了得到 g(x)=sinω x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

8

π A.向右平移 个单位 6 π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 6 π D.向左平移 个单位 12 [答案] A

T 7π π π [解析] 由图象可知, = - = ,∴T=π , 4 12 3 4
2π π π ∴ω = =2,再由 2× +φ =π ,得 φ = . π 3 3 π ∴f(x)=sin(2x+ ), 3 π π 故只需将 f(x)=sin2(x+ )的图象向右平移 个单位, 6 6 可得到 g(x)=sin2x 的图象. (理)

(2013·广东佛山二模)如图所示为函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,0≤φ ≤π )的部 分图象,其中 A,B 两点之间的距 离为 5,那么 f(-1)等于( A.2 C.- 3 B. 3 D.-2
9

)

[答案] A [ 解析 ] 设函数 f(x) 的最小正周期为 T ,因为 A , B 两点之间的距离为 5 ,所以

T
2

2

2π π 2 +4 =5,解得 T=6.所以 ω = = .又图象过点(0,1),代入得 2sinφ =1,所 T 3

π 5π π 5π 以 φ =2kπ + 或 φ =2kπ + (k∈Z).又 0≤φ ≤π ,所以 φ = 或 φ = .故 f(x) 6 6 6 6 π π π 5π π π =2sin( x+ )或 f(x)=2sin( x+ ).对于函数 f(x)=2sin( x+ ),当 x 略微大 3 6 3 6 3 6 π π 5π 于 0 时,有 f(x)>2sin =1,与图象不符,故舍去;综上,f(x)=2sin( x+ ). 6 3 6 π 5π 故 f(-1)=2sin(- + )=2.故选 A. 3 6 π 5.(2012·佛山模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的图象关于直 2 π 线 x= 对称,它的最小正周期为 π ,则函数 f(x)图象的一个对称中心是( 3 π A.( ,1) 3 5π C.( ,0) 12 [答案] B [解析] 由题意知 T=π ,∴ω =2, π π π π 由函数图象关于直线 x= 对称,得 2× +φ = +kπ (k∈Z),即 φ =- +kπ (k 3 3 2 6 ∈Z). π π 又|φ |< ,∴φ =- , 2 6 π ∴f(x)=Asin(2x- ), 6 π π k 令 2x- =kπ (k∈Z),则 x= + π (k∈Z). 6 12 2 π ∴一个对称中心为( ,0),故选 B. 12 6 .(2012·河北石家庄调研 ) 函数 f(x) = Asin(ω x + φ )(A 、 ω 、 φ 为常数, A>0 , ω >0)的部分图象如图所示,则 f(0)=( ) π B.( ,0) 12 π D.(- ,0) 12 )

10

A. 2 C.0

B.

2 2

D.- 2

[答案] A

T 5π π π 4π [解析] 由图可知 = - = ,∴T= , 4 6 2 3 3
即 2π 4π 3 = ,∴ω = , ω 3 2

3 又 A=2,∴f(x)=2sin( x+φ ), 2 5π 5π ∵f(x)的图象经过点( ,-2),∴2sin( +φ )=-2, 6 4 ∴ 5π 3π π +φ = +kπ ,k∈Z,∴φ = +kπ (k∈Z), 4 2 4

π 3 π 取 k=0 得,φ = ,∴f(x)=2sin( x+ ), 4 2 4 π ∴f(0 )=2sin = 2. 4 二、填空题 π 7.(2013·新课标Ⅱ文,16)函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图象向右平移 个 2 π 单位后,与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,则 φ =________. 3 [答案] 5π 6

[解析] 本题考查三角函数的平移变换

y=cos(2x+φ )的图象向右平移 个单位得, y = cos[2(x -
π π ) + φ ] = cos(2x - π + φ ) = sin(2x - π + φ + ) = sin(2x + φ - 2 2

π 2

11

π π π π 5π ),而它与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,令 2x+φ - =2x+ 得,φ = ,符合 2 3 2 3 6 题意. 8 .(2013·合肥第一次质检 ) 定义一种运算: (a1 , a2) ? (a3 , a4) = a1a4 - a2a3 ,将函数

f(x)=( 3,2sinx)?(cosx,cos2x)的图象向左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函
数为偶函数,则 n 的最小值为_ _______. [答案] [解析] 5π 12

f(x)= 3cos2x-2sinxcosx= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+ ),将 f(x)的

π 6

π 图象向左平移 n 个单位长度对应的函数解析式为 f(x)=2cos[2(x+n)+ ]=2cos(2x+2n 6 + π π kπ π ) ,要使它为偶函数,则需要 2n + = kπ (k ∈ Z) ,所以 n = - (k ∈ Z) ,因为 6 6 2 12 5π . 12

n>0,所以当 k=1 时,n 有最小值
三、解答题

π 9.(文)(2013·安徽文,16)设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ). 3 (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到. 1 3 3 3 π [解析] (1)因为 f(x)=sinx+ sinx+ cosx= sinx+ cosx= 3sin(x+ ). 2 2 2 2 6 π π 2π 所以当 x+ =2kπ - ,即 x=2kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 6 2 3 2π 此时 x 的取值集合为{x|x=2kπ - ,k∈Z}. 3 (2)先将 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得到 y= π 3sinx 的图象;再将 y= 3sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=f(x)的图 6 象. (理)(2013·安徽理,16)已知函数 f(x)=4cosω x·sin(ω x+ 期为 π (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. 2 π )(ω >0)的最小正周 4

12

π 2 [解析] (1)f(x)=4cosω x·sin(ω x+ )=2 2sinxω ·cosω x+2 2cos ω x 4 π = 2(sin2ω x+cos2ω x)+ 2=2sin(2ω x+ )+ 2. 4 因为 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 从而有 =π ,故 ω =1. 2ω π (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+ )+ 2. 4 π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 当 当 π π π π ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2

π π π 综上可知,f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减. 8 8 2 10 .(2012·沈阳市二模 )已知向量 m = (sin x + sin2x,2sinx),设函数 f(x)=m·n,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域. 2 [解析] (1)∵cos2x=2cos x-1, 1+cos2x 2 ∴m=(sin x+ ,sinx)=(1,sinx), 2
2 2

1+cos2x 1 3 , sinx) , n = ( cos2x - 2 2 2

f(x)=m·n= cos2x-

1 2

3 1 3 π 2 sin2x+2sin x=1- cos2x- sin2x=1-sin(2x+ ). 2 2 2 6

2π ∴其最小正周期为 T= =π . 2 π (2)由(1)知 f(x)=1-sin(2x+ ), 6 π π π 7π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2 3 ∴函数 f(x)的值域为[0, ]. 2

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