同济五版 线性代数习题答案 第二章矩阵及其运算

第二章

矩阵及其运算(参考答案) (习题二 P 54 ?56 )

P54 1.计算下列乘积:
? 4 3 1??7? ? ?? ? (1) ? 1 ?2 3 ? ? 2 ? . ?5 7 0??1? ? ?? ? ? 4 3 1 ? ? 7 ? ? 4 ? 7 ? 3 ? 2 ? 1? 1 ? ? 35 ? ? ?? ? ? ? ? ? 解 ? 1 ?2 3 ? ? 2 ? ? ? 1? 7 ? ( ?2) ? 2 ? 3 ? 1 ? ? ? 6 ? . ? 5 7 0 ? ? 1 ? ? 5 ? 7 ? 7 ? 2 ? 0 ? 1 ? ? 49 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? (2) ?1, 2,3? ? 2 ? . ?1? ? ? ? 3? ? ? 解 ?1 2 3 ? ? 2 ? ? (1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ?1) ? (10) . ?1? ? ?
? 2? ? ? (3) ? 1 ? ? ?1, 2 ? . ? 3? ? ? ? 2? ? 2 ? (?1) 2 ? 2 ? ? ?2 4 ? ? ? ? ? ? ? 解 ? 1 ? ? ?1 2 ? ? ? 1? (?1) 1? 2 ? ? ? ?1 2 ? ? 3? ? 3 ? ( ?1) 3 ? 2 ? ? ?3 6 ? ? ? ? ? ? ?

?1 3 1 ? ? ? ? 2 1 4 0 ? ? 0 ?1 2 ? (4) ? . ?? ? 1 ? 1 3 4 1 ? 3 1 ? ? ? ? ? 4 0 ?2 ? ?1 3 1 ? ? ? ? 2 1 4 0 ? ? 0 ?1 2 ? ? 6 ?7 8 ? 解 ?? ? ? ? ? 1 ?1 3 4 ? ? 1 ?3 1 ? ? 20 ?5 ?6 ? ? ? ? 4 0 ?2 ?
? a11 ? (5) ( x1 , x2 , x3 ) ? a12 ?a ? 13


a12 a22 a23

? x1

x2

? a11 ? x3 ? ? a12 ?a ? 13

a13 ? ? x1 ? ?? ? a23 ? ? x2 ? . ? ? a33 ? ? ? x3 ? a12 a13 ? ? x1 ? ?? ? a22 a23 ? ? x2 ? ? ? a23 a33 ? ? ? x3 ?

? x1 ? ? ? ? ? a11x1 ? a12 x2 ? a13 x3 a12 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 a13 x1 ? a23 x2 ? a33 x3 ? ? ? x2 ? ?x ? ? 3? 2 2 2 ? a11x1 ? a22 x2 ? a33 x3 ? 2a12 x1x2 ? 2a13 x1x3 ? 2a23 x2 x3

?1 ? 0 (6) ? ?0 ? ?0 ?1 ? 0 解 ? ?0 ? ?0

2 1 0 0 2 1 0 0

1 0 2 0 1 0 2 0

0 ?? 1 ?? 1 ?? 0 1 ?? 0 ?? 3 ?? 0 0 ?? 1 ?? 1 ?? 0 1 ?? 0 ?? 3 ?? 0

0 3 1? ? 1 2 ?1 ? . 0 ?2 3 ? ? 0 0 ?3 ? 0 3 1 ? ?1 2 5 2 ? ? ? ? 1 2 ?1 ? ? 0 1 2 ?4 ? ? 0 ?2 3 ? ? 0 0 ?4 3 ? ? ? ? 0 0 ?3 ? ? 0 0 0 ?9 ?
? 1 2 3? ? ? B ? ? ?1 ?2 4 ? . 求 3 AB ? 2 A 及 AT B . ? 0 5 1? ? ? 1? ? 1 ?1 ? ?1 1 ? ? 1

?1 1 1 ? ? ? P54 2.设 A ? ? 1 1 ?1? , ? 1 ?1 1 ? ? ? ?1 ? 解 3 AB ? 2 A ? 3 ? 1 ?1 ? ?0 5 ? ? 3 ? 0 ?5 ?2 9 ? 1

1 ? ? 1 2 3 ? ?1 ?? ? ? 1 ?1? ? ?1 ?2 4 ? ?2 ? 1 ? ? ? ?1 1 ? ? ? 0 5 1 ? ?1 8 ? ? 1 1 1 ? ? ?2 ? ? ? ? 6 ? ? 2 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? 0? ? ? 1 ?1 1 ? ? 4

22 ? ? ?17 20 ? 29 ?2 ? ? 13

?1 1 1 ? ? 1 2 3 ? ? 0 5 8 ? ? ?? ? ? ? A B ? ? 1 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 4 ? ? ? 0 ?5 6 ? ? 1 ?1 1 ? ? 0 5 1 ? ? 2 9 0 ? ? ?? ? ? ?
T

P54 3.已知两个线性变换

? x1 ? 2 y1 ? y3 ? ? x2 ? ?2 y1 ? 3 y2 ? 2 y3 ?x ? 4 y ? y ? 5y 1 2 3 ? 3

? y1 ? ?3 z1 ? z2 ? ? y2 ? 2 z1 ? z3 ? y ? ? z ? 3z 2 3 ? 3

求从 z1 , z2 , z3 到 x1 , x2 , x3 的线性变换. 解

? x1 ? ? 2 0 1 ? ? y1 ? ? 2 0 1 ? ? ?3 1 0 ? ? z1 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? 0 1 ? ? z2 ? 由已知 ? x2 ? ? ? ?2 3 2 ? ? y2 ? ? ? ?2 3 2 ? ? 2 ? x ? ? 4 1 5 ? ? y ? ? 4 1 5 ? ? 0 ?1 3 ? ? z ? ?? 2 ? ? ?? ?? 3 ? ? 3? ?

? ?6 1 3 ? ? z1 ? ? ?? ? ? ? 12 ?4 9 ? ? z2 ? ? ?10 ?1 16 ? ? z ? ? ?? 3 ? ? x1 ? ?6 z1 ? z2 ? 3 z3 ? 所以有 ? x2 ? 12 z1 ? 4 z2 ? 9 z3 ? x ? ?10 z ? z ? 16 z 1 2 3 ? 3

?1 2 ? ?1 0 ? P54 4.设 A ? ? ?,B?? ? ,问: ?1 3 ? ?1 2 ? (1) AB ? BA 吗? (2) ( A ? B)2 ? A2 ? 2 AB ? B2 吗? (3) ( A ? B)( A ? B) ? A2 ? B2 吗? ?1 2 ? ?1 0 ? 解(1) A ? ? ?,B?? ? ?1 3 ? ?1 2 ? ? 3 4? ?1 2? 则 AB ? ? ? BA ? ? ? ? AB ? BA ? 4 6? ?3 8?
(2) ( A ? B)2 ? ?

? 2 2 ?? 2 2 ? ? 8 14 ? ?? ? ?? ? ? 2 5 ?? 2 5 ? ?14 29 ?
2

但 A ? 2 AB ? B ? ?
2

? 3 8 ? ? 6 8 ? ? 1 0 ? ?10 16 ? ??? ??? ? ?? ? ? 4 11? ? 8 12 ? ? 3 4 ? ?15 27 ?

故 ( A ? B)2 ? A2 ? 2 AB ? B2 (3) ( A ? B)( A ? B) ? ?

? 2 2 ?? 0 2 ? ? 0 6 ? ?? ??? ? ? 2 5 ?? 0 1 ? ? 0 9 ?

而A ?B ? ?
2 2

? 3 8 ? ?1 0? ? 2 8? ??? ??? ? ? 4 11? ? 3 4 ? ? 1 7 ?
( A ? B)( A ? B) ? A2 ? B2



P54 5.举反列说明下列命题是错误的:
(1)若 A ? 0 ,则 A ? 0 ;
2
2

(2)若 A ? A ,则 A ? 0 或 A ? E ; (3)若 AX ? AY ,且 A ? 0 ,则 X ? Y . 解 (1) 取 A ? ?

?0 ?0 ?1 (2) 取 A ? ? ?0

1? 2 ? A ? 0 ,但 A ? 0 0? 1? 2 ? A ? A ,但 A ? 0 且 A ? E 0?

(3) 取 A ? ?

?1 0? ? 1 1? ? 1 1? ?, X ? ? ? ,Y ? ? ? ? 0 0? ? ?1 1? ? 0 1? AX ? AY 且 A ? 0 但 X ? Y

? 1 0? 2 3 k P55 6.设 A ? ? ? ,求 A , A , , A . ?? 1? ? 1 0 ?? 1 0 ? ? 1 0 ? 解 A2 ? ? ?? ??? ? ? ? 1 ?? ? 1 ? ? 2? 1 ? ? 1 0 ?? 1 0 ? ? 1 0 ? A3 ? A2 A ? ? ?? ??? ? ? 2? 1 ?? ? 1 ? ? 3? 1 ? ? 1 0? 利用数学归纳法证明: Ak ? ? ? ? k? 1 ? 当 k ? 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k ? 1 时 0? ? 1 0 ?? 1 0 ? ? 1 Ak ? Ak A ? ? ?? ??? ? ? k ? 1 ?? ? 1 ? ? (k ? 1)? 1 ? ? 1 0? 由数学归纳法原理知: Ak ? ? ? ? k? 1 ?
?? ? P55 7.设 A ? ? 0 ?0 ?
解 首先观察

1

?
0

0? ? 1 ? ,求 An . ?? ?

2 ?? 1 0 ??? 1 0 ? ?? ? ?? ? ? A2 ? ? 0 ? 1 ? ? 0 ? 1 ? ? ? 0 ? 0 0 ? ?? 0 0 ? ? ? 0 ? ?? ? ? 3 2 ? ? 3? 3? ? ? ? 3 2 3 A ? A ?A?? 0 ? 3? 2 ? ?0 0 ?3 ? ? ?

2?

?

2

0

1 ? ? 2? ? ?2 ? ?

由此推测

? n ?? ? An ? ? 0 ?0 ? ?

n? n ?1

?n
0

n(n ? 1) n ? 2 ? ? ? 2 ? n? n ?1 ? (n ? 2) n ? ? ? ?

用数学归纳法证明: 当 n ? 2 时,显然成立. 假设 n ? k 时成立,则 n ? k ? 1 时,

k (k ? 1) k ? 2 ? ? k k ?1 ? ? ? ? k? ?? 1 0 ? 2 ? ?? ? k ?1 k k k ?1 A ? A ?A?? 0 ? k? ?? 0 ? 1 ? ? 0 ?? 0 0 ? ? 0 ?k ? ? ?? ? ? (k ? 1)k k ?1 ? ? k ?1 (k ? 1)? k ?1 ? ? ?? 2 ? ? ?? 0 ? k ?1 (k ? 1)? k ?1 ? ? 0 ? 0 ? k ?1 ? ? ? ? n(n ? 1) n ? 2 ? ? n n ?1 ? ? ? ? n? 2 ? ? n ?n n? n ?1 由数学归纳法原理知: A ? ? 0 ? n ?0 ? 0 ? ? ? ? ?

P55 8.设 A, B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,证明 BT AB 也是对称矩阵.
证明 则 从而 已知: A ? A
T

( BT AB)T ? BT ( BT A)T ? BT AT B ? BT AB BT AB 也是对称矩阵.

P55 9.设 A, B 都是 n 阶对称矩阵,证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB ? BA .
证明 由已知 A ? A B ? B
T T T T T 充分性 AB ? BA ? AB ? B A ? AB ? ( AB) , 即 AB 是对称矩阵. T T T 必要性 ( AB) ? AB ? B A ? AB ? BA ? AB .

P55 10.求下列矩阵的逆矩阵:

? 1 2? ?. ? 2 5? ?1 2? 解 A?? ? , A ?1 ? 2 5? A11 ? 5, A21 ? 2 ? (?1), A12 ? 2 ? (?1), A22 ? 1
(1) ?

?A A? ? ? 11 ? A12


A21 ? ? 5 ?2 ? ?1 1 ? ?? ? A ? A A A22 ? ? ? ?2 1 ? ? 5 ?2 ? A?1 ? ? ? ? ?2 1 ?
? sin ? ? ?. cos? ?
故 A 存在
?1

(2) ?

? cos ? ? sin ?

解 A ?1? 0,

A11 ? cos?
从而

A21 ? sin ?

A12 ? ? sin ?

A22 ? cos?

? cos ? A?1 ? ? ? ? sin ?

sin ? ? ? cos ? ?

? 1 2 ?1 ? ? ? (3) ? 3 4 ?2 ? . ? 5 ?4 1 ? ? ? ?1 解 A ? 2 , 故 A 存在

A11 ? ?4

A21 ? 2 A31 ? 0 而 A12 ? ?13 A22 ? 6 A32 ? ?1 A13 ? ?32 A23 ? 14 A33 ? ?2
? ?2 1 0 ? ? 1 ? ? 13 1 A?1 ? A ? ?? 3 ? ? A ? 2 2? ? ?16 7 ?1 ? ? ?
? a1 ? (4) ? ? ?0 ?



? 0? ? (a a a ? 0) n ? 1 2 ? an ? ?1 ?a ? 1 1 ? a2 ?1 解由对角矩阵的性质知 A ? ? ? ?0 ? ? P55 11.解下列矩阵方程: a2
(1)

? 0? ? ? ? ? 1 ? ? an ?

? 2 5? ? 4 ?6 ? ? ?X ?? ?. 1 3 2 1 ? ? ? ?
?1

? 2 5 ? ? 4 ?6 ? ? 3 ?5 ?? 4 ?6 ? ? 2 ?23 ? 解 X ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? 1 3 ? ? 2 1 ? ? ?1 2 ?? 2 1 ? ? 0 8 ?

(2)

? 2 1 ?1? ? ? ? 1 ?1 3 ? X ?2 1 0 ? ? ? ?. ? 1 ?1 1 ? ? 4 3 2 ? ? ?

?2 ? 1 ?1 3 ? ? 解 X ?? ?? 2 ? 4 3 2?? ?1 ? 1 4? ? 2 (3) ? ?X? ? ?1 2 ? ? ?1
?1

?1? ? 1 0 1 ? ? ?2 2 1 ? ? ? 1 ? 1 ?1 3 ? ? ?2 3 ?2 ? ? ? 1 0? ? ?? ? ? ??8 5 ? 2 ? . 4 3 2 3 ? ? ? ?3 3 0 ? ? ? ?1 1 ? 3? ? ? ? 3 ? 0? ? 3 1 ? ??? ?. 1 ? ? 0 ?1? 1
0? 1 ? 2 ?4 ?? 3 1 ??1 0 ? ? ? ? ?? ?? ? 1? 12 ? 1 1 ?? 0 ?1??1 2 ? 1? ? 0? ?
?1

?1

? 1 4 ? ? 3 1 ?? 2 解 X ?? ? ? ?? ? ?1 2 ? ? 0 ?1?? ?1 ?1 1 ? 6 6 ??1 0 ? ? ? ? ?? ?? 1 12 ? 3 0 ??1 2 ? ? ?4

? 0 1 0 ? ? 1 0 0 ? ? 1 ?4 3 ? ? ? ? ? ? ? (4) ? 1 0 0 ? X ? 0 0 1 ? ? ? 2 0 ?1 ? . ? 0 0 1 ? ? 0 1 0 ? ? 1 ?2 0 ? ? ? ? ? ? ?

? 0 1 0 ? ? 1 ?4 3 ?? 1 0 0 ? ? ? ? ?? ? 解X ? 1 0 0 ? ? ? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? 1 ?2 0 ?? 0 1 0 ? ? ? ? ?? ? ? 0 1 0 ?? 1 ?4 3 ?? 1 0 0 ? ? 2 ?1 0 ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 1 0 0 ?? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? ? ? 1 3 ?4 ? ? 0 0 1 ?? 1 ?2 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 0 ?2 ? ? ?? ?? ? ? ?

?1

?1

P55 12.利用逆矩阵解下列线性方程组:
? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 1 ? (1) ? 2 x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 2 ? 3x ? 5 x ? x ? 3 2 3 ? 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? (2) ? 2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 1 ?3 x ? 2 x ? 5 x ? 0 2 3 ? 1

? 1 2 3 ? ? x1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? 解(1)方程组可表示为 ? 2 2 5 ? ? x2 ? ? ? 2 ? ? 3 5 1?? x ? ? 3? ? ?? 3 ? ? ?


从而有

? x1 ? ? 1 2 3 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? 2 2 5 ? ? 2 ? ? ? 0 ? ? x ? ? 3 5 1? ? 3? ? 0? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? x1 ? 1 ? ? x2 ? 0 ?x ? 0 ? 3

?1

? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? (2) ? 2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 1 ?3 x ? 2 x ? 5 x ? 0 2 3 ? 1 ? 1 ?1 ?1 ? ? x1 ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? 解(2)方程组可表示为 ? 2 ?1 ?3 ? ? x2 ? ? ? 1 ? ? 3 2 ?5 ? ? x ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ?


故有

? x1 ? ? 1 ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? 2 ?1 ?3 ? ? x ? ? 3 2 ?5 ? ? 3? ? ? ? x1 ? 5 ? ? x2 ? 0 ?x ? 3 ? 3

?1

? 2? ? 5? ? ? ? ? ? 1? ? ? 0? ? 0? ? 3? ? ? ? ?

? x1 ? 2 y1 ? 2 y2 ? y3 ? 已知线性变换 ? x2 ? 3 y1 ? y2 ? 5 y3 求从变量 x1 , x2 , x3 到变量 y1 , y2 , y3 的线性变换. P55 13. ?x ? 3y ? 2 y ? 3y 1 2 3 ? 3 ? x1 ? ? 2 2 1 ? ? y1 ? ? ? ? ?? ? 解由已知 ? x2 ? ? ? 3 1 5 ? ? y2 ? ? x ? ? 3 2 3?? y ? ?? 2 ? ? 3? ?

? y1 ? ? 2 2 1 ? ? x1 ? ? ?7 ?4 9 ? ? x1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?7 ? ? x2 ? 故 y2 ? 3 1 5 ? x2 ? ? ? 6 ? ? ? ? ? y ? ? 3 2 3 ? ? x ? ? 3 2 ?4 ? ? x ? ?? 3 ? ? 2? ? ? ? 3? ?
? y1 ? ?7 x1 ? 4 x2 ? 9 x3 ? ? y2 ? 6 x1 ? 3 x2 ? 7 x3 ? y ? 3x ? 2 x ? 4 x 1 2 3 ? 3

?1

P55 14.设 A 为三阶矩阵, A ?
解 由 A ?

1 ?1 * ,求 (2 A) ? 5 A . 2

1 ? 0 可知 A 可逆,所以有 2 1 1 A* ? A A?1 ? A?1 , (2 A) ?1 ? A?1 , 2 2 1 5 ? (2 A) ?1 ? 5 A* ? A?1 ? A?1 ? ?2 A?1 . 2 2 ?1 * ?1 3 ?1 3 故 (2 A) ? 5 A ? ?2 A ? ( ?2) A ? ?2 ? 2 ? ?16 .

? 0 3 3? ? ? P56 15. 设 A ? ? 1 1 0 ? , AB ? A ? 2 B ,求 B . ? ?1 2 3 ? ? ? 解由 AB ? A ? 2 B 可得 ( A ? 2E ) B ? A

? ?2 3 3 ? ? 0 3 3 ? ? 0 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1 故 B ? ( A ? 2E) A ? 1 ?1 0 ? ? ? 1 1 0 ? ? ? ?1 2 3 ? ? ?1 2 1 ? ? ?1 2 3 ? ? 1 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1? ? ? P56 16. 设 A ? ? 0 2 0 ? ,且 AB ? E ? A2 ? B , 求 B . ?1 0 1? ? ?
解 由 AB ? E ? A ? B 可知,
2

?1

( A ? E) B ? A2 ? E ? ( A ? E)( A ? E) ?1 0 1? ?1 0 0? ?0 0 1? ? ? ? ? ? ? 而 A ? E ? ?0 2 0? ? ?0 1 0? ? ?0 1 0? , ?1 0 1? ?0 0 1? ?1 0 0? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 A ? E ? 0 1 0 ? ?1 ? 0 1 0 0
?2 0 1? ? ? ? A ? E 可逆,故 B ? ( A ? E ) ( A ? E )( A ? E ) ? A ? E ? ? 0 3 0 ? . ?1 0 2? ? ? * P56 17.设 A ? diag (1, ?2,1) , A BA ? 2BA ? 8E ,求 B .
?1

解 用 A 左乘关系式 A BA ? 2 BA ? 8E 可知,
*

AA* BA ? 2 ABA ? 8 A ,
用 A 右乘上式可得 AA B ? 2 AB ? 8E ,
*
?1

而 AA ? A E , ? A B ? 2 AB ? 8E . (
*

A ? ?2 ? 0 )

因而 (2 A ? 2 E ) B ? 8E , 所以 ( A ? E ) B ? 4E . 而 A ? E ? diag (1, ?2,1) ? diag (1,1,1) ? diag (2, ?1, 2) 是可逆矩阵, 且

1 1 ( A ? E ) ?1 ? diag ( , ?1, ) 2 2
?1

故 B ? 4( A ? E)

? diag (2, ?4, 2) .

P56 18.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A* ? diag (1,1,1,8) ,且 ABA?1 ? BA?1 ? 3E ,求 B .
解 先由 A 来确定 A .
*

由题意知 A 存在,有 A* ? A A?1 , 得 A ? A
?1

*

4

A?1 ? A

4

1 3 ? A , A

* 而 A ? 8 ,故 A ? 2 .

再化简所给矩阵方程

ABA?1 ? BA?1 ? 3E ? ( A ? E) BA?1 ? 3E

? ( A ? E) B ? 3 A ? ( E ? A?1 ) B ? 3E . 1 * 1 1 1 1 ?1 由 A ? 2, 知 A ? A ? diag (1,1,1,8) ? diag ( , , , 4) , A 2 2 2 2
1 1 1 E ? A?1 ? diag ( , , , ?3) . 2 2 2
得 (E ? A )
?1 ?1

1 ? diag (2, 2, 2, ? ) . 3
?1 ?1

于是 B ? 3( E ? A )

1 ? 3diag (2, 2, 2, ? ) ? diag (6, 6, 6, ?1) . 3

? ?1 ?4 ? ? ?1 0 ? 11 P56 19.设 P ?1 AP ? ? ,其中 P ? ? ?,? ? ? ? ,求 A . ?1 1? ? 0 2? ?1 ?1 11 11 ?1 解 P AP ? ? 故 A ? P?P 所以 A ? P? P ? 1 4 ? ?1 1 ? 1 4 ? P ? 3 P? ? ? ?P ? ? ? ? 1 1 3 ? ?1 ?1? ? ?
? ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ?? 而 ? ?? 11 ? ? 0 2? ?0 2 ? 4 ? ? 1 ? ? ?1 ?4 ?? ?1 0 ? 3 3 ? ? 2731 2732 ? 11 故A ?? ? ? ?? ?? ? 11 ? ? 1 1 ?? 0 2 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ?683 ?684 ? ? ? 3? ? 3 ?1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ?, P56 20.设 AP ? P? , 其中 P ? ? 1 0 ?2 ? , ? ? ? ? 1 ?1 1 ? ? 5? ? ? ? ?
11 11



? ( A) ? A8 (5E ? 6 A ? A2 ) .
1 1 1 0 ?2 ? ?6 ? 0 ,所以 P 可逆, 则有 A ? P?P ?1 , 1 ?1 1

解 P ?1



?2 2 2 ? 1? ? P ? ? 3 0 ?3 ? . 6? ? ? 1 ?2 1 ?
?1

所以

? ( A) ? A8 (5E ? 6 A ? A2 )
? P?8 P?1 (5PP?1 ? 6P?P?1 ? P?2 P?1 )

? P?8 (5E ? 6? ? ?2 ) P?1
而 ?8 (5E ? 6? ? ?2 ) ? diag (1,1,58 ) ? diag (12,0,0) ? diag (12,0,0) . 所以

? ( A) ? P?8 (5E ? 6? ? ?2 ) P?1
?1 1 1 ? ?12 0 0 ? ? 2 2 2 ? ? 4 4 4 ? ? ?? ? 1? ? ? ? ? ?1 0 ?2 ? ? 0 0 0 ? ? ? 3 0 ?3 ? ? ? 4 4 4 ? . ?1 ?1 1 ? ? 0 0 0 ? 6 ? 1 ?2 1 ? ? 4 4 4 ? ? ?? ? ? ? ? ?

P56 21.设 Ak ? O ( k 为正整数),证明 ( E ? A)?1 ? E ? A ? A2 ?
证明 一方面, E ? ( E ? A)?1 ( E ? A)
k

? Ak ?1 .

另一方面,由 A ? O 有

E ? ( E ? A) ? ( A ? A2 ) ? A2 ? ? ( E ? A ? A2 ?


? Ak ?1 ? ( Ak ?1 ? Ak )

? Ak ?1 )( E ? A) ? Ak ?1 )( E ? A)

( E ? A)?1 ( E ? A) ? ( E ? A ? A2 ?

两端同时右乘 ( E ? A)?1 就有 ( E ? A)?1 ? E ? A ? A2 ? 另证

? Ak ?1

Ak ? O

? ( E ? A)( E ? A ? A2 ?
? E ? A ? A2 ? ? E ? Ak ? E .
于是

? Ak ?1 )
? Ak ?1 ? Ak

? Ak ?1 ? A ? A2 ?

( E ? A)?1 ? E ? A ? A2 ?

? Ak ?1

P56 22.设方阵 A 满足 A2 ? A ? 2E ? O ,证明 A 及 A ? 2 E 都可逆,并求 A ?1 及 ( A ? 2E )?1 .
证明
2 由 A ? A ? 2E ? O 得 A ? A ? 2 E
2

2 两端同时取行列式: A ? A ? 2



A A ? E ? 2 ,故

A ?0
2

所以 A 可逆,而 A ? 2 E ? A

A ? 2 E ? A2 ? A ? 0
2

2

故 A ? 2 E 也可逆.

由 A ? A ? 2E ? O ? A( A ? E ) ? 2 E

? A?1 A( A ? E) ? 2 A?1E ?
2

A

?1

?

1 ( A ? E) 2

又由 A ? A ? 2E ? O ? ( A ? 2E ) A ? 3( A ? 2E ) ? ?4E

? ( A ? 2E)( A ? 3E) ? ?4E

?( A ? 2E)?1 ( A ? 2E)( A ? 3E) ? ?4( A ? 2E)?1
? ( A ? 2 E ) ?1 ? 1 (3E ? A) 4

P56 23.设 A 为可逆矩阵,证明其伴随矩阵也可逆,且 ( A* )?1 ? ( A?1 )*
证明

A 可逆,? A ? 0 且逆矩阵为 A ?1 ,

A* A ? A I ? A* ? A A?1
1 A A

?1 ?1 * ?1 ?1 ?1 * 由于 A ? 0 , A 可逆且 ( A )( A ) ? A I 可得 ( A ) ?

另一方面,由 A ( A ) ? A A
*
*

?1 *

?1

1 A?I A

由矩阵可逆定义知, A 可逆,且 ( A* )?1 ? ( A?1 )*

P56 24.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A? ,证明:
? (1) 若 A ? 0 ,则 A ? 0 ;

(2) A ? A

?

n ?1

.
* n

* 证明 由 A A ? A E, 两边取行列式得: A A ? A .

(1) 若 A ? 0 ,可分为以下两种情况:

10 )若 A ? 0, 则 A* ? 0 ,因而 A* ? 0, 结论成立. 20 ) 若 A ? 0, 此时必有 A* ? 0,
* * * 因若 A ? 0, ,则 A 可逆,于是在 A A ? A E ? 0 两边左乘 ( A* )?1 ,

得 A ? 0 ,与 A ? 0 矛盾,即此结论成立. (2)若 A ? 0, 因 A A ? A ,则有 A ? A
* * n n ?1

.

? 若 A ? 0 由(1)知 A ? 0 此时命题也成立,

故有 A ? A

?

n ?1

.

?1 ? 0 P56 25.计算 ? ?0 ? ?0

2 1 0 0

1 0 2 0

0 ?? 1 ?? 1 ?? 0 1 ?? 0 ?? 3 ?? 0

0 3 1 ? ? 1 2 ?1 ? . 0 ?2 3 ? ? 0 0 ?3 ?



?1 ? ?0 ?0 ? ?0

2 1 0 0

1 0 2 0

0 ?? 1 ?? 1 ?? 0 1 ?? 0 ?? 3 ?? 0 4 ?3

0 3 1 ? ?1 2 5 2 ? ? ? ? 1 2 ?1 ? ? 0 1 2 ?4 ? . ? 0 ?2 3 ? ? 0 0 ?4 3 ? ? ? ? 0 0 ?3 ? ? 0 0 0 ?9 ?

?3 ? 4 P56 26.设 A ? ? ? ? ? ?3 4 ? 4 ?3 解 A?? ? ? O ? ? A1 O ? 则A?? ? ? O A2 ?
? A1 故A ?? ?O
8

? O ? ? ,求 A 8 及 A4 2 0? O ? 2 2? ? O ? ? ,令 A ? ? 3 4 ? A ? ? 2 0 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 0? ? 4 ?3 ? ? 2 2? ? 2 2?

O ? ? A18 O ? ? ?? 8? A2 ? ? O A2 ? 8 8 8 8 8 16 A ? A1 A2 ? A1 A2 ? 10
4 1

8

?A A4 ? ? ?O

? 54 0 ? O ? ? 0 54 ? 4? ? A2 ? ? O ? ?

O 24 26

? ? ? 0? ? 24 ? ?
?1 ?1

?O A? ?A 0? (2) ? P56 27.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆,求(1) ? ? ; ? . ? B O? ?C B? ?O A? ? C1 解 (1) 将 ? ? 分块为 ? ? B O? ? C3
其中
?1

C2 ? ? C4 ?

C1 为 s ? n 矩阵, C2 为 s ? s 矩阵

C3 为 n ? n 矩阵, C4 为 n ? s 矩阵
则?

? O ? Bs?s

An?n ? ? C1 C2 ? ? En ?? ??E?? O ? ? C3 C4 ? ?O

O? ? Es ?

? AC3 ? En ? C3 ? A?1 ? ?1 ? AC4 ? O ? C4 ? O ( A 存在) 由此得到 ? ?1 ? BC1 ? O ? C1 ? O ( B 存在) ? BC ? E ? C ? B ?1 s 2 ? 2



? O ?O A? ? ? ? ? ?1 ? B O? ?A

?1

B ?1 ? ?. O ?

? O 另法 (1)因 A 和 B 均可逆,作分块矩阵 ? ?1 ?A

B ?1 ? ? ,由分块矩阵乘法规则, O ?

?O A?? O ? ? ? ?1 ? B O?? A

B ?1 ? ? En ??? O ? ?O

O? ? ? En? s . Es ?
?1

? O ?O A? ?O A? 于是 ? ? 可逆,且 ? B O ? ? ? ?1 ? ? ? B O? ?A

B ?1 ? ?. O ?

(2) 求 ?

?A 0? ?A 0? ? X ? En? s . (*) ? 的逆矩阵,就是求 n ? s 阶方阵 X ,使得 ? ?C B? ?C B?

为此,根据原矩阵的分块情况,对 X 作一样的分块, X ? ?

? X 11 ? X 21

X 12 ? ?, X 22 ?

其中 X 11 , X 12 , X 21 , X 22 是未知矩阵(为明确起见,它们依次是 n ? n, n ? s, s ? n, s ? s 矩 阵) ,把上式代入 (*) 式得到

? En ? ?O

O ? ? A 0 ? ? X11 ?? ?? Es ? ? ? C B ?? X 21

X12 ? ? AX11 AX12 ? ??? ? X 22 ? ? CX11 ? BX 21 CX12 ? BX 22 ?

比较上式两端两个矩阵,有

AX11 ? En ? X11 ? A?1 AX12 ? 0 ? X12 ? 0 CX12 ? BX 22 ? Es ? BX 22 ? Es ? X 22 ? B?1 . CX11 ? BX 21 ? 0 ? BX 21 ? ?CX11 ? ?CA?1 ? X 21 ? ?B?1CA?1 .
于是得
?1

? A?1 ?A 0? ? ? ? X ? ? ?1 ?1 ?C B? ? ? B CA

0 ? ?. B ?1 ?

P56 28.求下列矩阵的逆矩阵:

?5 ? 2 (1) ? ?0 ? ?0

2 1 0 0

0 0 8 5

0? ? 0? ; 3? ? 2?

?1 ? 1 (2) ? ?2 ? ?1

0 2 1 2

0 0 3 1

0? ? 0? . 0? ? 4?

解 (1)将矩阵分块 A ? ? 而 A1?1 ? ?

? A1 ?0

0? ?, A2 ?

其中 A1 ? ?

? 5 2? ?8 3? ? , A2 ? ? ?. ?2 1? ?5 2?

? 1 ?2 ? ? 2 ?3 ? ?1 ? , A2 ? ? ? ? ?2 5 ? ? ?5 8 ?

所以

? A ?1 A?? 1 ? 0

? 1 ?2 0 0 ? ? ? 0 ? ? ?2 5 0 0 ? . ?? A2 ?1 ? ? 0 0 2 ?3 ? ? ? ? 0 0 ?5 8 ?

(2)将矩阵分块 A ? ?

? A11 ? A21

0 ? ?1 0 ? ?2 1? ?3 0? ? , 其中 A11 ? ? ? , A21 ? ? ? , A22 ? ? ?. A22 ? ?1 2 ? ? 1 2? ?1 4?
0? ? 1? 2?



A

?1 11

? 1 1 ? 2 0? ? ? ? ?? 1 2 ? ?1 1 ? ? ? ? 2

? 1 ? 3 4 0 ? ? 1 A22 ?1 ? ? ??? 12 ? ?1 3 ? ? 1 ?? ? 12

? 0? ?. 1? ? 4?

? A22?1 A21 A11?1 ? ?

1 ? 4 0? ? 2 1? 1 ? 2 0? ? ??? ?? ? ? 12 ? ?1 3 ? ? 1 2 ? 2 ? ?1 1 ?
1 ? 6 ? ? 5 ? ? ? 24 ? ?

? 1 ? 1 ?12 4 ? ? 2 ?? ? ??? 24 ? 3 5 ? ? 1 ? ? 8

所以

? A A?1 ? ? ? ?A A A

?1 11 ?1 ?1 22 21 11

? 1 ? ?? 1 0 ? ? 2 ??? 1 A22 ?1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? 8

0 1 2 1 ? 6 5 ? 24

0 0 1 3 1 ? 12

0? ? 0? ? ? 0? ? 1? ? 4?

? 24 0 0 ? 1 ? ?12 12 0 ? 24 ? ?12 ?4 8 ? ? 3 ?5 ?2

0? ? 0? . 0? ? 6?


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