北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学理试题 Word版含答案

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)2015.1
学校班级姓名成绩
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 直线 x ? y ? 2 的倾斜角是() A.

π 6

B.

π 4

C.

2π 3

D.

3π 4

2. 焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率是 ,则实数 m 的值是() m 3 2 3 D. 4
8 3 16 3

9 A. 4 B. 4

2 主(正)视图 2 左(侧)视图

C. 1

3. 一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为() A. 8 B. C. D. 6
2 俯视图

4. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ,则直线 l 被圆 O 所截的弦长为() A.

6 5

B. 1

C.

8 5

D.2

5. 已知向量 a ? (1,1,0,), b ? (0,1,1), c ? (1,0,1), d ? (1,0, ?1) ,则其中共面的三个向量是() A. a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D. b,c,d

6. 已知等差数列 {an } ,则“ a2 ? a1 ”是“数列 {an } 为单调递增数列”的() A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正四面体 A ? BCD 的棱长为 2 ,点 E 是 AD 的中点,则下面四个命题中正确的是() A. ? F ? BC , EF ? AD C. ? F ? BC , EF ? 3 B. ? F ? BC , EF ? AC D. ? F ? BC , EF∥AC

8. 已知曲线 W: x 2 ? y 2 ? | y |? 1 ,则曲线 W 上的点到原点距离的取值范围是() A. [ ,1]

1 2

B. [2 ? 2,1]

C. [2 ? 2, 2]

D. [1, 2]

-1-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 y ? ax 平行,则实数 a ? ___. 10.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为_________________. 16 9

11.已知空间向量 a ? (0,1,1), b ? ( x,0,1) ,若 a,b 的夹角为

π ,则实数 x 的值为__. 3

x2 y2 12.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若等边 △F1F2 P 的一个顶 a b
点 P 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的离心率为______. 13. 已知点 A( ? ,0) ,抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,点 P 在抛物线上,且 | AP |? 2 | PF | , 则 | OP |? ___ . 14. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ? 为其六个面中的一个. 点 P ? ? 且 P 不在棱上,若 P 到 异面直线 AA1 , CD 的距离相等,则点 P 的轨迹可能是_________.(填上所有正确的序号) ①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题共 10 分)
2 2 已知点 A(0,2) ,圆 O : x ? y ? 1 .

1 2

( I ) 求经过点 A 与圆 O 相切的直线方程; ( II ) 若点 P 是圆 O 上的动点,求 OP ? AP 的取值范围.

-2-

16. (本小题共 12 分) 已知抛物线 W:y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x +t 与抛物线 W 相交于 A, B 两点. ( I ) 将 | AB | 表示为 t 的函数; ( II )若 | AB |? 3 5 ,求 △ AFB 的周长.

-3-

17.(本小题共 12 分) 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0), B(2,2,0), D ? 0,0,2 ? , E(0,2,1) . ( I ) 求证:直线 BE∥平面 ADO ; ( II ) 求直线 OB 和平面 ABD 所成的角; (Ⅲ) 在直线 BE 上是否存在点 P ,使得直线 AP 与直线 BD 垂直?若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由.

-4-

18.(本小题共 10 分) 如图,已知直线 y ? kx( k ? 0) 与椭圆 C : 直,且与椭圆 C 的另一个交点为 A . ( I ) 求直线 PA 与 AQ 的斜率之积; ( II ) 若直线 AQ 与 x 轴交于点 B ,求证: PB 与 x 轴垂直.
O
Q
B

x2 ? y 2 ? 1 交于 P, Q 两点.过点 P 的直线 PA 与 PQ 垂 2
y P
A x

-5-

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
2015.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. 1 或 ?1 12. 10. y ? 13.

3 3 x 或 y ? ? x 11. 1 或 ?1 4 4
14. ④

1 2

5 2

说明:9,10,11 题每个答案两分,丢掉一个减两分,14 题多写的不给分 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. (本小题满分 10 分) 解:(I)由题意,所求直线的斜率存在. 设切线方程为 y ? kx ? 2 ,即 kx ? y ? 2 ? 0 ,-------------1 分 所以圆心 O 到直线的距离为 d ?

2 k2 ?1

,-------------3 分

所以 d ?

2 k2 ?1

? 1 ,解得 k ? ? 3 ,

-------------4 分

所求直线方程为 y ? 3x ? 2 或 y ? ? 3x ? 2 . (II)设点 P ( x, y ) , 所以 OP ? ( x, y ) , AP ? ( x, y ? 2) ,-------------6 分 所以 OP ? AP ? x 2 ? y 2 ? 2 y .-------------7 分 因为点 P 在圆上,所以 x 2 ? y 2 =1 ,所以 OP ? AP ? 1 ? 2 y . 又因为 x 2 ? y 2 =1 ,所以 ?1 ? y ? 1 , 所以 OP ? AP ?[?1,3] .
-6-

-------------5 分

-------------8 分 -------------9 分 -------------10 分

16. (本小题满分 12 分) 解:(I)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

? y2 ? 4x 因为 ? , 消元化简得 4 x 2 ? ( 4t ? 4) x ? t 2 ? 0 -------------2 分 y ? 2 x ? t ?
? ? ? ? 16t 2 ? 32t ? 16 ? 16t 2 ? 16 ? 32t ? 0 ? 4 ? 4t ? ? 1? t 所以 ? x1 +x2 ? -------------4 分 4 ? ? t2 x x ? 1 2 ? ? 4
2 所以 |AB|= 1 ? 2 | x1 ? x2 |?

5 1 16(1 ? 2t ) ? 5 (1 ? 2t ) ,其中 t ? . -------------6 分 4 2

(II)因为 |AB | ? 3 5 , 所以 5 (1 ? 2t ) ? 3 5 ,解得 t ? ?4 经检验,此时 ? ? 16 ? 32t ? 0 . 所以 x1 ? x2 ? 1 ? t ? 5 , 所以有 |AF | ? | BF |? ( x1 ? 又 |AB |? 3 5 , 所以 △ AFB 的周长为 7+3 5 . -------------12 分 -------------8 分

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p ? 5 ? 2 ? 7 . 2 2

-------------10 分

17.(本小题满分 12 分) 解: (I)法一:取点 C (0,2,0) 则 CB ? (2,0,0), OA ? (2,0,0) ,所以 CB ? OA ,所以 OA∥CB -------------1 分

1 又 OD ? ,所以 CE ? OD ,所以 OD∥CE -------------2 分 (0,2,0), CE ? (0,1,0) 2
又 OA OD ? D, CE
CB ? C

所以平面 OAD∥CBE -------------3 分 所以 BE∥平面 ADO -------------4 分

-7-

法二: 由题意,点 A, D , O 所在的平面就是 xOz 平面, 取其法向量为 n ? (0,1,0) ,-------------1 分 而 BE ? (?2,0,1) ,所以 BE ? n ? 0 ,即 BE ? n ,-------------3 分 又显然点 B, E 不在平面 ADO 上, 所以 BE∥平面 ADO . -------------4 分

(II)设平面 ABD 的法向量为 m ? (a, b, c) , 因为 AB ? (0,2,0), AD ? ( ?2,0,2) ,

? ? AB ? m ? 2b ? 0 所以 ? , AD ? m ? ? 2 a ? 2 c ? 0 ? ?
又 OB ? (2,2,0),

所以可取 m ? (1,0,1) .

-------------6 分

设 OB 与平面 ABD 所成的角为 ? . 所以 sin ? ?| cos ? OB, m ?|?|

OB ? m 2 1 |? ? . | OB || m | 2 ?2 2 2

-------------8 分

所以直线 OB 和平面 ABD 所成的角为

? . 6

-------------9 分

(Ⅲ)假设存在点 P ( x, y , z ) ,使得直线 AP 与直线 BD 垂直. 设 BP ? ? BE , 即 ( x ? 2, y ? 2, z ) ? ( ?2? ,0, ? ) . -------------10 分

? x ? 2 ? 2? ? 所以 ? y ? 2 , ?z ? ? ?
所以 AP ? (?2? ,2, ? ) . 又 BD ? (?2, ?2,2) , 所以 AP ? BD ? 4? ? 4 ? 2? ? 0 ,-------------11 分

2 ,所以在直线 BE 上存在点 P ,使得直线 AP 与直线 BD 垂直, 3 2 2 ( ,2, ) . 点 P 的坐标为 -------------12 分 3 3
解得 ? ?

-8-

18. (本小题满分 10 分) 解:(I)法一:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 y ? kx ?
所以 x 2 ?

2 ,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, 2k ? 1
2

所以可设 Q( ? x1 , ? y1 ) . 因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 , 而 k PA ?

-------------1 分

y2 ? y1 y ? ( ? y1 ) y2 ? y1 , k AQ ? 2 , ? x2 ? x1 x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1

-------------2 分

所以 k PA ? k AQ ?

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 2 ? x12
x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1, -------------3 分 2 2

因为点 P, A 都在椭圆上,所以

所以 kPA ? k AQ ?

y2 ? y ? x2 2 ? x
2 2 1 2 1

(1 ?

x2 2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 2 2 x2 2 ? x12

1 2 ( x1 ? x2 2 ) 2 ? x2 2 ? x12

1 ? ? -------------5 分 2
法二:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 ? y ? kx
所以 x 2 ?

2 ,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, 2k ? 1
2

所以可设 Q( ? x1 , ? y1 ) .

-------------1 分

因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 ,所以直线 PA 的斜率存在, 设直线 PA 的方程为 y ? k1 x ? m .

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 所以 ? ,消元得到 (1 ? 2k12 ) x 2 ? 4k1mx ? 2m2 ? 2 ? 0 . y ? k x ? m ? 1

-------------2 分

-9-

? ? 2 2 ? ? ? 4(4k1 ? 2m ? 2) ? 0 ? ?4k1m 所以 ? -------------3 分 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k12 ? ? 2m 2 ? 2 ? x1 x2 ? 1 ? 2k12 ? ?
又 y1 ? y2 ? (k1 x1 ? m) ? (k1 x2 ? m) ?

2m . 1 ? 2k12

-------------4 分

所以 k AQ ?

y2 ? ( ? y1 ) y2 ? y1 1 , ? ?? x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1 2k1 1 1 ? k1 ? ? . 2k1 2 y2 ? y1 1 ,而直线 PQ , PA 垂直, ?? x2 ? x1 2k1
-------------6 分 -------------7 分 -------------8 分 -------------9 分 -------------10 分

所以 k PA ? k AQ ? ?

-------------5 分

(II)因为 k AQ ?

1 k 所以 k1 ? ? ,所以 k AQ ? , k 2 k 所以直线 AQ 的方程为 y ? (? y1 ) ? [ x ? (? x1 )] . 2 k 令 y ? 0 ,得 y1 ? ( x ? x1 ) , 2
因为点 P( x1 , y1 ) 在直线 y ? kx 上,所以 y1 ? kx1 , 代入得到 B 的横坐标为 x0 ? x1 ,所以直线 PB 与 x 轴垂直.

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

- 10 -


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