2019年版高中全程复习方略配套课件:42平面向量的坐标运算(北师大版·数学理)语文_图文

第二节 平面向量的坐标运算
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三年8考 高考指数:★★★ 1.了解平面向量基本定理及其意义; 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示; 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向 量共线条件的应用是考查重点. 2.题型以选择题、填空题为主,与三角、解析几何等知识交汇 则以解答题为主.

1.平面向量基本定理 前提:e1,e2是同一个平面内的两个_不__共__线__向__量__. 条件:对于这一平面内的任一向量a, _存__在__唯__一__一__对__实数 λ 1,λ 2使a=_λ__1_e_1+_λ__2_e_2_. 结论:不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 _基__底__.

【即时应用】

判断下列关于基底说法的正误.(请在括号内打“√”或“×”)

(1)在△ABC中,AuuBur、AuuCur 可以作为基底.

()

(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的. ( )

(3)零向量不能作为基底.

()

【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确;(2)只要是同一平面

内两个不共线的向量都可作为一组基底,故(2)错误.

答案:(1)√ (2)× (3)√

2.平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对 实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对_(_x_,_y_)__叫作向量a的坐标,记 作a=__(_x_,_y_)_,其中__x_叫作a在x轴上的坐标,_y__叫作a在y轴上

的坐标.

(2)设

uuur OA

=xi+yj,则向量

uuur OA

的坐标(x,y)就是_终__点__A_的坐标,

即若

uuur OA

=(x,y),则A点坐标为_(_x_,_y_)_,反之亦成立.(O是坐标原

点)

【即时应用】 (1)思考:向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点和终点 的位置有关系吗? 提示:向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的位 置无关,只与其相对位置有关系.

(2)已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=

uuur OA

,O为原点,

则x=______,y=______.

【解析】∵a=

uuur OA

=(2,0),

?

?x ??x

?3? 2 ? 3y ? 5

?

, 0

解得

?x ??y

? ?

?1 .
?2

答案:-1 -2

3.平面向量的坐标运算

向量的 加、减 法

若a=(x1,y1),b ?(x2,y2),则a ? b ?(__x_1_?__x_2,__y_1_?__y_2)_, a ? b ?(_x__1 _?_x_2_,_y_1 _?_y_2_).

实数与 向量的 积

若a ?(x1, y1),? ?R,则?a ?(__?_x_1,__?__y_1)

向量的 坐标

若起点A(x1,y1),终点B(x 2,y 2),则AB ?(_x__2 _?_x_1_,__y_2 _?_y_1_)

【即时应用】

(1)已知a=(1,1),b=(1,-1),则 1 a ? b ? ______.

2

(2)已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3).若

uuur AB

?

3a,则点B的坐标

为______.

(3)设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p、q的

值分别为______、______.

【解析】(1) 1 a ? b ? (1,1) ? ?1,?1? ? ( 3,? 1).

2

22

22

(2)设B(x,y),则

uuur AB

=(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),

∴(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).

(3)∵(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),

?

??p ??2p

? ?

q q

? ?

3 ,?
?2

?p ??q

? ?

1 .
4

答案:(1)( 3,? 1)
22

(2)(5,4)

(3)1 4

4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?__x_1_y_2-_x_2_y_1_=_0__.

【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线,则x=______. (2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λ a+b与向量c=(2,1)共线,则 λ =_____. 【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0, ? x ? 1 .
3
(2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ), 又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1. 答案:(1)1 (2)-1
3

平面向量基本定理及其应用 【方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式,再通过向量的运算来解决. 【提醒】在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带 来方便,另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.

【例1】如图所示,在平行四边形ABCD

中,M,N分别为DC,BC的中点,已知

uuur AM

?

uuur c, AN

?

d,试用c,d表示

uuur uuur AB,AD.

uuur uuur AB,AD.

【解题指南】直接用c,d表示

uuur uuur AB,AD

有难度,可换一个角度,



uuur uuur AB,AD

表示

uuur uuur AN,AM,

进而求

uuur uuur AB,AD.

【规范解答】方法一:



uuur AB

?

uuur a, AD

?

b,



a

?

uuur AN

?

uuur NB

?

d

?

(?

1

b)



2

b

?

uuur AM

?

uuur MD

?

c

?

(?

1

a)



2

将②代入①得a=d+(- 1 )[c+(- 1 a)]

2

2

?a ? 4 d ? 2 c, 代入②
33

得 b ? c ? (? 1)( 4 d ? 2 c) ? 4 c ? 2 d.
23 3 3 3

uuur ? AB

?

4d

?

2

uuur c,AD

?

4c?

2 d.

33

33

方法二:



uuur AB

?

a,

uuur AD

?

b.

因为M,N分别为CD,BC的中点,

所以

uuur BN

?

1

uuur b,DM

?

1

a,

2

2

因而????c ???d

?b ?a

? ?

1a 2 1b 2

?

???a ? ???b

? ?

2 3 2 3

(2d (2c

? c) ? d)



uuur AB ?

4

d

?

2

c,

uuur AD

?

4 c ? 2 d.

33

33

【反思·感悟】1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底, 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合, 基底不同,表示也不同. 2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

平面向量的坐标运算

【方法点睛】两向量相等的充要条件

两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐

标分别相等,即

???xy11

? ?

x2 ,利用向量相等可列出方程组求其中的
y2

未知量,从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问

题.

【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于( )

(A)(7,3)

(B)(7,7)

(C)(1,7)

(D)(1,3)

(2)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),

①求

uuur AB;

②若

uuur uuur uur AB ? mAC ? nBC,

求m,n.

【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可.

(2)①利用

uuur AB

为点B的坐标减去点A的坐标求解.

②利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.

【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).

(2)①

uuur AB

=(5,4)-(2,3)=(3,1).

②∵

uuur AC

=(7,10)-(2,3)=(5,7),

uur BC

=(7,10)-(5,4)=(2,6),

∴m

uuur AC

+n

uur BC

=m(5,7)+n(2,6)

=(5m+2n,7m+6n),∵

uuur AB

=m

uuur AC

+n

uur BC

=(3,1),

?

?5m ??7m

? ?

2n 6n

? ?

3,? 1

?m ?1

??n

?

. ?1

【反思·感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算, 以及求向量的坐标表示等问题,关键是理解平面向量线性运算 和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用 及正确使用运算法则.

平面向量共线的坐标表示 【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向 量为λ a(λ ∈R),然后结合其他条件列出关于λ 的方程,求出 λ 的值后代入λ a即可得到所求的向量. (2)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比 较方便.

【提醒】1.注意0的方向是任意的. 2.若a、b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°, 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.

【例3】已知a=(1,0),b=(2,1),(1)当k为何值时,ka-b与a+2b

共线.

(2)若

uuur AB

=2a+3b,

uur BC

=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.

【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求

解即可.

(2)可引入参数λ使

AuuBur =λ

uur BC

求m,或利用AuuBur

∥BuuCr

的坐标形

式求m.

【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

∵ka-b与a+2b共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0,

即2k-4+5=0,得 k ? ? 1 .
2
(2)方法一:∵A、B、C三点共线,



uuur AB

=λBuuCr

,即2a+3b=λ(a+mb),

?

?2 ??3

? ?

?, 解得m m?,

?

3 2

.

方法二:AuuBur =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BuuCr =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), ∵A、B、C三点共线,∴ AuuBur∥BuuCr ,
∴8m-3(2m+1)=0, 即2m-3=0, ?m ? 3 .
2

【反思·感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关 键. 2.若 AuuBur ∥AuuCur ,则A、B、C三点共线,注意这一结论的应用.

【易错误区】忽视向量平行的充要条件导致错误 【典例】(2011·湖南高考)设向量a,b满足|a|= 2 5, b=(2,1), 且a与b的方向相反,则a的坐标为______. 【解题指南】设a=λb(λ<0),利用|a|=2 5 列出关于λ的方程 求解即可.

【规范解答】∵a与b的方向相反,且b=(2,1), ∴可设a=λb(λ<0),则a=λb=(2λ,λ). 又∵|a|=2 5,? (2?)2 ? ?2 ? 2 5, 即5λ2=20, ∴λ2=4,又∵λ<0,∴λ=-2,∴a=(-4,-2). 答案:(-4,-2)

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以
得到以下误区警示和备考建议:
在解答本题时有两点容易出错: 误 (1)误认为“a与b的方向相反?a∥b”致使设a=λb 区 警 出现增解(4,2). 示 (2)知识性错误,向量共线的条件掌握不准而导致错
解或无法解题.

备 解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几 考 点易错,在备考时要高度关注:
建 (1)遗漏零向量,零向量与任一向量平行. 议 (2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件.

1.(2011·上海高考)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,

则使

uuuur uuuur uuuur uuuur MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4 ? 0

成立的点M的个数为(

)

(A)0

(B)1

(C)2

(D)4

【解析】选B.方法一:取特殊值,令A1(0,0),A2(0,1),A3(1,1),

A4(1,0),则满足

uuuur uuuur uuuur uuuur MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4

?0

的条件的点有且仅

有1个,即为正方形A1A2A3A4的中心,故选B.

方法二:设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则 MAi =(xi-x,yi-y).

? 由

4

uuuur MAi

? 0,



i?1

?x1

? ?

y1

? ?

x2 y2

? ?

x3 y3

? ?

x4 y4

? ?

4x 4y

? ?

0, 0

?

???x ? ???y

? ?

1 4 1 4

(x1 (y1

? ?

x2 y2

? ?

x3 y3

? ?

x4) ,
y4 )

∴点M只能有一个,故选B.

2.(2012·衡阳模拟)若a=(2,2),b=(-1,3),则2a-b=______. 【解析】∵a=(2,2),b=(-1,3), ∴2a-b=2(2,2)-(-1,3)=(4,4)-(-1,3)=(5,1). 答案:(5,1)

3.(2012·宿州模拟)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足

uur OP

?

x1

uuur OA

?

x

2

uuur OB

(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P点坐标满足

的方程是______.

【解析】

uuur OA

?

uuur (3,2),OB

?

uur (1,0),OP

?

(x, y),



uur uuur uuur Q OP ? x1OA ? x2 OB ,

∴(x,y)=x1(3,2)+x2(1,0),

即???xy

? ?

3x1 2x1

? ?

x2 ,又 0

Q

x1

?

x2

? 1,

? y ? x ? 3y ? 1,即x ? y ?1 ? 0.

2

2

答案:x-y-1=0

4.(2011·北京高考)已知向量 a ? ( 3,1),b ? (0,?1),c ? (k, 3), 若a-2b与c共线,则k=______. 【解析】 a-2b ? ( 3,1) ? 2(0,?1) ? ( 3,3), 又∵a-2b与c共线, ∴(a-2b)∥c,? 3 ? 3 ? 3? k ? 0, 解得k=1. 答案:1


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