2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
一.选择题 1.已知 i 是虚数单位,则 (?1 ? i)(2 ? i) ? A. ? 3 ? i B.

? 1? 3i

C. ? 3 ? 3i

D. ?1 ? i

2.设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0},则 (CR S ) ?T ? A. (?2,1] B. (??,?4] C.

(??,1]

D. [1,??)

3.已知 x, y 为正实数,则
lg x ? lg y ? 2lg x ? 2lg y A. 2 lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y C. 2 lg( x ? y ) ? 2lg x ? 2lg y B. 2 lg( xy ) ? 2lg x ? 2lg y D. 2

4.已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) ,则“ f (x) 是奇函数”是 ? ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2



5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 4
开始 S=1,k=1 是 k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

9 ,则 5
D. a ? 7

B. a ? 5

C. a ? 6

k=k+1

输出 S

结束 (第 5 题图)

6.已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

A.

4 3

B.

3 4

3 4

D. ?

4 3

7 . 设 ?ABC, P 是 边 AB 上 一 定 点 , 满 足 P0 B ? 0

1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 4

PB ? PC ? P0 B ? P0C 。则
A.

?ABC ? 900

B. ?BAC ? 900

C. AB ? AC

D. AC ? BC

8.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1) k (k ? 1,2) ,则 A.当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 C.当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值 D.当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值

9.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的 4

公共点。若四边形 AF BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 1
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

A.

2

B.

3

C.

3 2

D.

6 2

10.在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? (A) 。设 ? , ? 是两个不同的平面,对空间 任意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则 A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C. 平面 ? 与平面 ? 平行 二、填空题 11.设二项式 ( x ? B. 平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 45 D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60
0

0

3

1 5 ) 的展开式中常数项为 A ,则 A ? ________。 x
2

12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm 。

4 3 2 正视图 3

3

侧视图

俯视图 (第 12 题图)

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 k ? ________。 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
14.将 A, B, C , D, E, F 六个字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数 字作答) 15. F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点, 设 过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B , Q 为线段 AB 的 点 中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________。
0 16. ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________。 3

17.设 e1 ,e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 ,e2 的夹角为 ________。 三、解答题

|x| ? ,则 的最大值等于 6 |b|

18.在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列。 (1)求 d, an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

19.设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分, 取出蓝球得 3 分。 (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变 量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 ? 为取出此球所得分数.若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

20. 如图, 在四面体 A ? BCD 中,AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC . (1)证明: PQ // 平面 BCD ; (2)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 600 ,求 ?BDC 的大小.
A

M P Q B C (第 20 题图) D

21.如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的 a 2 b2

直径. l1 ,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A l2 (第 21 题图) B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

22.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值。

参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D 10.A 11. ?10 12.24 13.2 14.480 15. ?1 16.

6 3

17.2 18.解: (Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n ?
(Ⅱ)由(1)知,当 d ①当1 ? n ? 11时,

? 0 时, an ? 11 ? n ,

an ? 0? a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ??an ? | ? ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,
11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ?? ? an ) ? ? ?? ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ?

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? ? ; ?? n2 ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
19.解: (Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ? ? 2 ,此时 P (? ? 2) ?

3? 3 1 ? ;当两次摸 6?6 4

2 ? 2 3 ? 1 1? 3 5 ? ? ? ;当两次摸到的球 6 ? 6 6 ? 6 6 ? 6 18 3? 2 2 ? 3 1 ? ? ; 分别是红黄, 黄红时 ? ? 3 , 此时 P (? ? 3) ? 当两次摸到的球分别是黄蓝, 蓝黄时 ? ? 5 , 6?6 6?6 3 1? 2 2 ?1 1 1?1 1 ? ? ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ? ? 6 ,此时 P(? ? 6) ? ? 此时 P (? ? 5) ? ; 6?6 6?6 9 6 ? 6 36
到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ? 4 ,此时 P(? ? 4) ? 所以 ? 的分布列是:

?
P

2

3

4

5

6

(Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是:

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

?
P

1

2

3

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c







5 a 2b 3c ? E? ? ? ? ? ? ? 3 a?b?c a?b?c a?b?c ? a 5 2b 5 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ?
3 ? c :a :b 。 c 3 ? : 2 : 1







b ? 2 c, ? a

20.解:证明(Ⅰ)方法一:如图 6,取 MD 的中点 F ,且 M 是 AD 中点,所以 AF ? 3FD 。因为 P 是

BM 中点,所以 PF / / BD ;又因为(Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD ,所以 QF / / BD ,所以面 PQF / /
面 BDC ,且 PQ ? 面 BDC ,所以 PQ / / 面 BDC ;

方法二:如图 7 所示,取 BD 中点 O ,且 P 是 BM 中点,所以 PO / /

1 MD ;取 CD 的三等分点 H ,使 2


DH ? 3CH , A ?Q 3 C 且 Q
所以 PQ / / 面 BDC ;

, 所以 QH / /

1 1 AD / / MD , 所以 PO/ /QH ? PQ / /OH , O ?C 且 H BD 4 2

(Ⅱ)如图 8 所示,由已知得到面 ADB ? 面 BDC ,过 C 作 CG ? BD 于 G ,所以 CG ? BMD ,过 G 作

GH ? BM 于 H ,连接 CH ,所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的二面角;由已知得到 BM ? 8 ? 1 ? 3 ,
设 ?BDC ? ? ,所以

CD CG CB ? cos ? ,sin ? ? ? ? CD ? 2 2 cos ? , CG ? 2 2 cos ? sin ? , BC ? 2 2 sin ? , , BD CD BD BG 2 ? G n ? BG ? 2 2 ?s ,n所 以 在 R T B H中 , i 在 RT ?BCG 中 , ?BCG ? ? ? s i ? ? BC

1 2 2 sin 2 ? ,所以在 RT ?CHG 中 ? ? HG ? 3 2 2 sin 2 ? 3 HG

tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3

? tan ? ? 3 ?? ? (0,90? ) ?? ? 60? ??BDC ? 60? ;
21.解: (Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1; 4

( Ⅱ ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , 所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的 距 离 为 k
,所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d
2

d?

1 1? k2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2



? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ?| DP |? (1 ? 2 ) 2 ? 2 ,所以 k2 ? 4 k (k ? 4) 2 k ?4

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3

?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

10 5 10 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? x ?1 ?k ?? 2 2 2

22.解: (Ⅰ)由已知得: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,且 f (1) ? 1 ? 3 ? 3 a ? 3 ? 3 a ? 1 ,所 以所求切线方程为: y ? 1 ? (3a ? 3)( x ? 1) ,即为: 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ;
2 ( Ⅱ ) 由 已 知 得 到 : f ?( x) ? 3x ? 6x ? 3a ? 3[x (x? 2) a ] 其 中 ? ? 4 ? 4a , 当 x ? [ 0, 2 ] , 时 ? ,

x( x ? 2 )? 0 ,
(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? [0, 2] 上递减,所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f (2)} ,因为

f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ? 1? f (2) ? 0 ? f (0) ? f ( x) |max ? f (0) ? 3 ? 3a ; |
( 2 ) 当 ? ? 4 ? 4a ? 0, 即

a ? 1 时 , f ?( x ) ? 0恒 成 立 , 所 以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上 递 增 , 所 以

| f ( x) |max ? max{ f (0), f (2)} ,因为 f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ? 1? f (0) ? 0 ? f (2) ? f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1; |
(3)当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? 0 ? x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a

,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,即

x

0

(0, x1 )
+

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
递减

x2
0 极小值

( x2 , 2)
+ 递增

2

f ?( x)
f ( x)
3 ? 3a

递增

3a ? 1

所以 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ,且

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 0, f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ? 4(1 ? a)3 ? 0, 所以 f ( x1 ) ?| f ( x2 ) | ,
所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f (2), f ( x1 )} ; 由 f (0) ? f (2) ? 3 ? 3a ? 3a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? (ⅰ)当 0 ? a ?

2 ,所以 3

2 时, f (0) ? f (2) ,所以 x ? (??,1] ? [a, ??) 时, y ? f ( x) 递增, x ? (1, a) 时, 3

y ? f ( x) 递减,所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f ( x1 )},因为

f ( x1 ) ? f (0) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3 ? 3a ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ?
因 为

a2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)
f ( 1 x? )

,又

0?a?

2 3

, 所 以

2 ? a3?

? a ?3 0 ,

4 0 , 所 以

f? 0 , 所0 以 ( )

|f

( xm )? |x a

f

?1 x(

?)

1 a2 (? 1 a ?

)

1

( ⅱ ) 当

2 ? a ?1 时 , f ( 2? ) 3

f0 , ? ( 0, 所 0以 | f ( x) |max ? max{ f (2), f ( x1 )} , 因 为 )

f ( x1 ) ? f (2) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3a ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2) ?
3a ? 2 ? 0 ,当


a2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2)

, 此时

2 ? a ? 1 时, 3 ? 4a 是大于零还是小于零不确定,所以 3 2 3 当 ? a ? 时 , 3 ? 4a ? 0, 所 以 3 4

f ( x1 ) ?| f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ;
② 当

3 ? a ? 1 时 , 3 ? 4a ? 0, 所 以 4

f ( x1 ) ?| f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1
? ?3 ? 3a, (a ? 0) ? 3 综上所述: | f ( x) |max ? ?1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , (0 ? a ? ) 。 4 ? 3 ?3a ? 1, (a ? ) ? 4


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