2004年广州一模理科数学试题与答案word版

2004 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

(C)-


参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P. 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率


2004.3 (A) 球的表面积公式 S=4π R2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式

1 5 25 ? x 2 (x∈[0, ]) 2 2

(D)-

1 25 ? x 2 (x∈[0,5]) 2

(5)已知 sin(

?

第一部分 选择题(共 60 分)
19 25

3 ? x ? ,则sin2 x 的值为 ) 4 5
(B)
2 2

16 25

(C)

14 25

(D)

7 25

x y (6)已知双曲线 ? ? 1 的离心率 e=2,则该双曲线两条准线间的距离为 m 3
(A)2 (B)

4 V ? ?R 3 3
其中 R 表示球的半径

3 2

(C)1

(D)

1 2

Pn (k ) ? C P (1 ? P)
k n k

n ?k

(7)若 f ( x) ? log

1 2

x , A? f (

a?b 2ab ) ,G ? f ( ab) , ? f ( ) ,其中 a ,b ? R+,则 A,G, H 2 a?b
(C)H≤G≤A
x ?1

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目 要求的. (1)已知向量 a=(8 , (A)8

H 的大小关系是 (A)A≤G≤H

(B)A≤H≤G

(D)G≤H≤A 的图象关于

1 x ,x ) ,b=( x ,1,2) ,其中 x>0.若 a∥b,则 x 的值为 2
(B)4 (C)2 (D) 0

(8)在同一平面直角坐标系中,函数 f ( x) ? 2 (A)原点对称 (C) y 轴对称 (9)直线 x- 3 y+4=0 与曲线 ?

与 g ( x) ? 2

1? x

(B) x 轴对称 (D)直线 y ? x 对称

z (2)已知复数 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 1 ? i ,则 1 在复平面内对应的点位于 z2
(A)第一象限 (B)第二象限 x ? 0 处连续的是 (3)下列函数在 (A) f ( x) ? ? (C)第三象限 (D)第四象限

? x ? 2cos ? (θ 为参数)的交点有 ? y ? 2sin ?

??1 ( x ? 0) ? x ? 1 ( x ? 0)

(B) y ? ln x

(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 (10)某文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表中有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变, 在它们之间再插入 2 个小品节目,并且这 2 个小品节目在节目表中既不排头,也不排尾,则不同的插入方 法有 (A)20 种 (B)30 种 (C)42 种 (D)56 种 S ,前 n 项之积为 P ,前 n 项倒数之和为 M ,则 (11)若等比数列的各项均为正数,前 n 项之和为

x (C) y ? x
(4)已知函数 f(x)= 25 ?4 x2 (x∈[0,

??1 ( x ? 0) ? ( x ? 0) (D) f ( x) ? ?0 ?1 ( x ? 0) ?
5 ?1 ]) ,则其反函数 f ( x) 为 2
(B)

S (A) P = M

S (B) P > M

? S ? (C) P ? ? ? ?M ?
2

n

? S ? (D) P >? ? ?M ?
2

n

(A)

1 5 25 ? x 2 (x∈[0, ]) 2 2

1 25 ? x 2 (x∈[0,5]) 2

(12) 某个凸多面体有 32 个面, 各面是三角形或五边形, 每个顶点处的棱数都相等, 则这个凸多面体的顶点数 可以是 (A)60 (B)45 (C)30 (D)15

数学试题 A (第 1 页)

第二部分 非选择题(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 MF = 4,则点 M 的横坐标 x ? (14)若正六棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 3 5 ,则它的侧面与底面所成的二面角的大小为 . .

(19) (本小题满分 12 分) 已知电流 I 与时间 t 的关系式为

I
300

I ? A sin(?t ? ? ) .
(Ⅰ)右图是 I ? A sin( ? ? ? (ω >0,| ? |? t )

?
2



t ) 在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin( ? ? ?


1 900

7 (15)已知某离散型随机变量ξ 的数学期望 Eξ = ,ξ 的分布列如下: 6
ξ P 则a = . q: x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0. . 0 a 1
1 3

O

1 180

t

的解析式; (Ⅱ)如果 t 在任意一段

2
1 6

3 b

1 秒的时间内,电流 150

—300

I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 的最
小正整数值是多少? (20) (本小题满分 12 分) 已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 2Sn=(n+2)an-1. (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)设Tn ?

(16)设 p:|4x-3|≤1;

若﹁ p 是﹁ q 的必要而不充分的条件,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票 6 张,排球票 4 张;第二小组有足球票 4 张,排球票 6 张.甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张,和乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张. (Ⅰ)两人都抽到足球票的概率是多少? (Ⅱ)两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是多少?

1 1 1 ,求 lim Tn . ? ??? n ?? a1 ? a3 a2 ? a an ? an2 4 ?

(21) (本小题满分 12 分)

1) 已知函数 f (x) ?ln( x ? ? x .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AB=2, AA1=5,E、F 分别为 D1D 、B1B 上的点,且 DE ? B1F ? 1 . (Ⅰ)求证: BE ? 平面 ACF ; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACF 的距离. A1

D1

C1 B1 F

(Ⅱ)若 x ? ?1 ,证明:1 ? (22) (本小题满分 14 分)

1 ? ln( x ? ? x . 1) x ?1

已知曲线 x ? 2 y ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 按向量 a=(2,1)平移后得到曲线 C.
2 2

E D C B

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 D (0, 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、 且 M 在 D、 之间, DM =λ MN , 2) N, N 设 求实数λ 的取值范围.

???? ?

???? ?

A

数学试题 A (第 2 页)

2004 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 题号 答案 (13)3 三、解答题: 解:记“甲从第一小组的 10 张票中任抽1张,抽到足球票”为事件 A, “乙从第二小组的 10 张票中任抽1张,抽到足球票”为 事件 B,则“甲从第一小组的 10 张票中任抽1张,抽到排球票”为事件 A , “乙从第二小组的 10 张票中任抽1张,抽到排球票” 1 B 2 D (14)300 3 A 4 B 5 D (15) 6 C 7 A 8 C (16)[0, 9 B 10 B 11 C 12 C = 三垂线定理得 AC⊥BE. ① ?2 分过E 作EG∥DC 交CC1 于G, 连BG, tan∠GBC= ∵

GC BC



1 2

, tan∠CFB=

BC FB
?

1 3

1 2

]

2 4



1 2

, 且∠GBC 和∠CFB 都为锐角, ∠GBC=∠CFB. ∠GBC+∠FCB=∠CFB+∠FCB=900, CF⊥BG, ∴ ∵ ∴

4 分又 CF⊥EG,且 BG

? EG ? G ,
BE ②由①、 ②可知,
2 2 ? 平面 ACF (Ⅱ) BE= BD ? DE

∴ CF⊥平面 BEG. BE ? 平面 BEG, ∴ CF⊥BE . ∵ =

为事件于是

P ( A) ?

6 3 2 4 2 3 ? ,P( A) ? ;P( B) ? ? ,P( B) ? .于甲(或乙)是否抽到足球票,对乙(或 10 5 5 10 5 5

(2 2) 2 ? 12

=3.

?8 分先求出点 B 到平面 ACF 的距离 h. 由

VB? ACF ? VF ? ABC 得 h ?
300

I

S?ABC ? FB . S?ACF
h? 2?4 6


?

甲)是否抽到足球票没有影响,因此 A 与 B 是相互独立事件. (Ⅰ)甲、乙两人都抽到足球票就是事件 A·B 发生,根据相互独立 事件的概率乘法公式,得到 P(A·B)=P(A) ·P(B)=

3 2 6 6 ? = .答:两人都抽到足球票的概率是 (Ⅱ)甲、乙两 5 5 25 25

10 分在△ACF 中,AC=2

2

,AF=CF=2

5 ,∴ S?ACF

=6,又 FB=4, S ?ABC =2.∴

4 3
t

故点 E 到平面 ACF 的距离为 3- 人均未抽到足球票(事件 A · B 发生)的概率为:P( A · B )=P( A ) ·P( B )

4 3



1 O 1 5 1 1 — . ?12 分(19 解: (Ⅰ)由图可知 A=300,设 t1=- ,t180 , 900 2= 3 900 180



2 3 6 ? = . 5 5 25
6 19 .答: 25 25
18)

z
则周期 T=2(t2-t1)=2(

D1

1 1 1 2? + )= .∴ ω = 180 900 T 75

=150π .

—300

又当 t=

1 时,I=0,即 sin(150 180

C1
π·

∴ 两人中至少有 1 人抽到足球票的概率为:P=1-P( A · B )=1-

A1

B1 F E D C B D1 C1 B1 F E D C G y
a2=

1 +? 180

)=0,而| ?

|?

?
2

,∴

?



? 6

.故所求的解析式为 I

? 300sin(150? t ? ) . ?8(Ⅱ)依 6
(20)

?

19 两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是 . 25
间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(2,2,0) , C(0,2,0) 1(0,0,5) ,D ,E(0,0,1) , F(2,2,4) . ∴ ?2 分

题意, 周期 T≤

1 2? , 即 150 ?



1 ,ω >0) ω≥300π >942, ( ∴ 又ω∈N*故最小正整数ω=943. 150

解法一: (Ⅰ)以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图的空

(Ⅰ)解法一:在 2Sn=(n+2)an-1 中令 n=1,得 2 a1=3 a1-1,求得 a1=1,令 n=2,得 2(a1+a2)=4a2-1,求得

A x

3 2

;令 n=3,得 2(a1+a2+a3)=5 a3-1,求得 a3=2;令 n=4,得 2(a1+a2+a3+a4)=6 a4-1,求得 a4=

5 2

.由

??? ? ??? ? AC =(-2,2,0) AF =(0,2,4) , ,
A1

此猜想:an=

n ?1 . 2

?3 下面用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,a1=

1?1 =1,命题成立. (2)假设当 n=k 时, 2
+ + + +

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? BE =(-2,-2,1) AE =(-2,0,1) 分∵ BE · AC =0, , .?4
??? ??? ? ? BE ·AF =0, BE ? AC,BE ? AF, AC ? AF ? A , BE ? 从而 且 ∴
平面 ACF . ?6 分 ( ?12 分

命题成立,即 ak=

k ?1 ,且 2Sk=(k+2)ak-1,则由 2Sk 1=(k+3)ak 1-1 及 Sk 1= Sk+ak 1,得(k+3)ak 1-1=2Sk+2ak 2
+ +

a a 1,即(k+3) k+1-1=[(k+2) k-1]+2ak+1.则 ak+1= 可知, 对一切 n∈N*命题均成立.

(k ? 2)ak k ?1



k?2 ,这说明当 n=k+1 时命题也成立.根据(1)(2) 、 2

解法二: (Ⅰ)连 BD,在正四棱柱 ABCD? A B1C1D1 中,AC⊥BD 根据 1

?6 分解法二: 2Sn= 在 (n+2) n-1 中, n=1, a 令 求得 a1=1. 2Sn ∵

A

B

=(n+2)an-1,∴ 2Sn-1=(n+1)an-1-1. 当 n≥2 时,两式相减得:2(Sn-Sn-1)=(n+2)an-(n+1)an-1,

数学试题 A (第 3 页)

即 2 an=(n+2)an-(n+1)an-1 整理得,

an n ?1 . ?3 ? an?1 n
当 n=1 时,

分∴

an =

an an ?1

·

an ?1 an ? 2

·?·

a3 a2

·

a2 a1

· a1 =

6 分(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:

y ? kx ? 2 .将直线

l 的方程代入椭圆 C 中并整理得:

n ?1 n 4 · · ?· n n ?1 3


·

3 2

· 1=

n ?1 . 2


an =

1?1 n ?1 , 满足上式, an = ∴ . 2 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 .

(*) 由于直线 l 与椭圆有两个不同的交点,则△=64k2-24(2k2+1)>0,得 k2>

?6 分Ⅱ) (Ⅰ) 由

an



n ?1 2

,则

1 an ? an ? 2

4 (n ? 1)(n ? 3)


=2(

1 n ?1



1 n?3


).

?

3 2



?8 分设 M 1, 1) N 2, 2) 则 x1、 2 为方程 (x y , (x y , x (*) 的两相异实根, 于是

8k ? ? x1 ? x2 ? ? 2k 2 ? 1 ???? ? ? , DM ∵ ? ?x x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
? 10 分 另 一 方 面

Tn ?

1 1 1 1 =2[ ( ? ??? 2 a1 ? a3 a2 ? a4 an ? an? 2


1 4

)( +

1 1 1 - )( + 3 5 4


1 1 ) +??+ ( 6 n



1 1 )( + n ?1 n?2

=λ

???? ? MN

, ∴ x1 = λ ( x2 - x1 ) 则 ,

x1 ? ? x2 1 ? ?


,进而

x1 x2 ? 1? ? ? ? ? x2 x1 1 ? ? ?



1 1 )]=2( 2 n?3

1 3



1 1 - ) .∴ lim Tn n ?? n?2 n?3
?2 分由

5 3



(21. (Ⅰ)解:函数

f ( x) 的定义域为

x1 x2 x12 ? x2 2 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? ? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2
16 x x 10 ,即 2 ? 1 ? 2 ? , ?12 3 x2 x1 3
λ 的取值范围为[

(?1, ??) . f ?( x ) =
减函数,即 +∞)时,

1 x -1=- x ?1 x ?1

3 32k 2 32 -2= -2, k2> 而 2 1 2 3(2k ? 1) 3(2 ? 2 ) k

, 4< 得

32 1 3(2 ? 2 ) k



f ?( x ) <0 及 x>-1,得 x>0.∴ 当 x∈(0,+∞)时, f ( x) 是 ?( x ) >0,当 x∈(0,
?6 分令

分亦即

2?

?
1? ?

?

1? ?

?

?

10 ,又λ >0,故解得 3

λ>

1 2

综合(1)(2)得, 、

f ( x) 的单调递减区间为(0,+∞) .

?4(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 x∈(-1,0)时, f

f ?( x ) <0,因此,当 x ? ?1 时, f ( x) ≤ f (0) ,即 ln( x ?1) ? x ≤0∴ ln( x ? 1) ? x .
1 ? 1 x ?1
则 g ?( x) ?

1 2


,+∞ ) .?14 分解法二:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,根据线段的定比分点公式得 x1

?

? x2 1? ?



g (x) ? ln( x ? ? 1)

1 1 ? x ? 1 ( x ? 1)2



x ( x ? 1) 2

.?8 分∴ 当 x∈(-1,0)时, g ?( x ) <0,

y1 ?

2 ? ? y2 1? ?
?整理得

?6 分由于点 M、 在椭圆 x N

2

?x 2 ? ? y2 2 ) = ∴ 即 ? 2 y 2 ? 2 上, x12 ? 2 y12 ? 2 , ( 2 ) 2 +2 ( 1? ? 1? ?
2? ? 3 . 4?
?11 分

当 x∈(0,+∞)时, g ?( x ) >0.

?10∴ 当 x

? ?1 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 ln( x ? 1) ?

1 ? 1 ≥0,∴ x ?1
(22) (Ⅰ) 解:

2.

? 2 ( x22 ? 2 y22 ) ? 8? y2 ? 8 ? 2? 2 ? 4? ? 2 x22 ? 2 y22 ? 2 即 y2 ?
2? ? 3 1 ≤1,又λ >0,故解得 λ ≥ 4? 2
.故λ 的取值范围为[

ln( x ? 1) ? 1 ?

1 1 ? ln( x ? 1) ? x . . 综上可知, x ? ?1 时, 1 ? 当 有 x ?1 x ?1
2

?12 分

∵-1≤y2≤1,∴ -1≤

1 2

,+∞ ) .

?14

设 P y) (x, 为曲线 C 上任意一点, 它在曲线 x

? x ? x? ? 2 , ? 2 y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 上的对应点为 P?( x? ,y? )依题意 ? ? y ? y? ? 1
入 曲 线

解法三:设曲线 C 上任一点 P( 2 cos ? , sin ? ) ,则|PD|= ( 2 cos ? ? 0) ? (sin ? ? 2) =
2 2



? x? ? x ? 2 ? ? y? ? y ? 1
2 2

?(sin ? ? 2) 2 ? 10 . ?8 当 sin ? =1,即点 P 为椭圆短轴上端点 B(0,1)时,|PD|min=1,当sin ? =
-1,即点 P 为椭圆短轴下端点 A(0,-1)时,|PD|max=3, 从而|MN|=|DN|-|DM|≤2. ?12 分∴λ = ?10 分∴ |DM|≥|DB|=1,|DN|≤|DA|=3,



x2 ? 2 y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 x ? 2y ? 2
2 2



( x ? 2) ? 2( y ?1) ? 4( x ? 2) ? 4( y ?1) ? 4 ? 0

.整理得



曲线 C 的方程为

| DM | 1 ≥ (等号当且仅当 B 与 M 重合时成立) . | MN | 2
?14 分

1 x2 ? y 2 ? 1. ?4 分(Ⅱ)解法一: (1)当直线 l 的斜率不存在时,显然有 M(0,1) ,N(0,-1) ,此时λ = 2 2



?

又∵λ >0,故λ 的取值范围为[

1 ,+∞ ) . 2

数学试题 A (第 4 页)


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