2人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)


高一数学单元测试题 必修 1 第二章《基本初等函数》
班级 姓名 序号 一.选择题. (每小题 5 分,共 50 分) 1.若 m ? 0 , n ? 0 , a ? 0 且 a ? 1 ,则下列等式中正确的是 得分 ( )
4

( A. a ) ? a
m n

m? n

B. m ? a

1

1 am

log C. a m ? log a n ? log a (m ? n)

3 D. m4 n4 ? (mn) 3

2.函数 y ? log a (3x ? 2) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2) B. (2, 2) C. (2,3) D. ( , 2)

(

)

2 3

3. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2,

2 ) , f ( ) 的值为 则 4 2
C.





A. 1

B. 2

1 2

D. 8 ( C. x 2 ? 2 x ? lg x
1

4.若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是 A. 2 x ? lg x ? x 2
1



B. 2 x ? x 2 ? lg x

1

D. lg x ? x 2 ? 2 x ( )

1

5.函数 y ? log ( x ? 2) (5 ? x) 的定义域是 A. (3, 4) B. (2,5) C. (2,3) ? (3,5) ) B. 0.76<60.7< log0.7 6 D. log0.7 6 <0.76<60.7 D. (??, 2) ? (5, ??)

6. 三个数 60.7 ,0.76 , log0.7 6 的大小顺序是 ( A.0.76< log0.7 6 <60.7 C.

log0.7 6 <60.7<0.76
a b

7.若 100 ? 5, 10 ? 2 ,则 2a ? b ? A. 0 B. 1
x

( C. 2 D. 3 (



8. 函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? A.奇函数

x 是 2
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数



B.偶函数

9.函数 y ? log a ( x ? 2 x) (0 ? a ? 1) 的单调递增区间是
2

( D. (??, 0)



A. (1, ??)

B. (2, ??)

C. (??,1)

10.已知 y ? log a (2 ? ax) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. [2, ??)



二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.计算: log 4 27 ? log 5 8 ? log 9 625 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? .

( ?log 3 x,x > 0) 1 ,则 f [ f ( )] ? x 3 ? 2 , ( x ? 0)
2 3



13.若 f ( x) ? a ln( x ? 1 ? x) ? bx ? 2 ,且 f (2) ? 5 ,则 f (?2) ?

. .

14.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a = 15.已知 0 ? a ? 1,给出下列四个关于自变量 x 的函数:
2 ① y ? log x a ,② y ? log a x , ③ y ? (log 1 x)3 ④ y ? (log 1 x) 2 .

1

a

a

其中在定义域内是增函数的有 三.解答题(6 小题,共 75 分) 16.(12 分)计算下列各式的值: (Ⅰ) ( 3 2 ? 3) ? (2 ? 2) 3 ? 4 ? (
6 4



16 ? 1 4 ) 2 ? 2 ? 80.25 . 49

(Ⅱ) ln(e e ) ? log 2 (log 3 81) ? 2

1? log 2 3

?

log 3 2 ? 2 log 3 5 . 1 1 log9 ? log3 125 4 3

17.(本小题满分 12 分) 解方程: log 2 (9 ? 4) ? log 2 (3 ? 2) ? 3
x x

18.(共 12 分)(Ⅰ)解不等式 a 2 x ?1 ? ( ) x ?2 (a ? 0且a ? 1) .

1 a

x (Ⅱ)设集合 S ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 2} ,集合 T ? { y | y ? ( ) ? 1, x ? ?2} 求 S ? T , S ? T .

1 2

? 2? x x ? 1 19. 12 分) 设函数 f ( x) ? ? ( . ?log 4 x x ? 1
(Ⅰ)求方程 f ( x) ?

1 的解. 4

(Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集.

20. 13 分)设函数 f ( x) ? log 2 (4 x) ? log 2 (2 x) 的定义域为 [ , 4] , ( (Ⅰ)若 t ? log 2 x ,求 t 的取值范围; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值与最小值,并求出最值时对应的 x 的值.

1 4

?2 x ? b 21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?2
(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)证明函数 f ? x ? 在 R 上是减函数; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题. 11. 9 . 12. 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 A 9 D 10 C

1 . 2

13. ?1 .

14.

2 . 4

15. ③,④.

三.解答题: 16. (Ⅰ) 解:原式 ? 4 ? 27 ? 2 ? 7 ? 2 ? 101. .

log3 (4 ? 25) 3 3 15 ? 2 ? 2?3 ? ? ? 2 ? 2?3 ? 2 ? . 1 1 2 2 log3 ( ? ) 2 2 5 x x x x 17.解原方程可化为: log 2 (9 ? 4) ? log 2 (3 ? 2) ? log 2 8 , 即 9 ? 8 ? 3 ? 12 ? 0 .
(Ⅱ)解:原式 ? 解得: 3 ? 2 (舍去)或 3 ? 6 , 所以原方程的解是 x ? log3 6
x x

18.解: (Ⅰ)原不等式可化为: a

2 x ?1

? a 2? x .

当 a ? 1 时, 2x ?1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 (1, ??) . 当 a ? 1 时, 2x ?1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 (??,1) . (Ⅱ)由题设得: S ? {x | 0 ? x ? 2 ? 4} ? (?2, 2] , T ? { y | ?1 ? y ? ( ) ∴ S ? T ? (?1, 2] , S ? T ? (?2,3] .

1 2

?2

? 1} ? (?1,3] .

?x ? 1 ?x ? 1 ? 1 ? 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ? ? x 1 (无解)或 ? 1 ? x? 2. 4 2 ? log 4 x ? ? ? 4 ? ? 4
∴方程 f ( x) ?

1 的解为 x ? 2 . 4

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?? (Ⅱ) f ( x) ? 2 ? ? ? x 或? 或? . ?2 ? 2 ?log x4 ? 2 ? x ? ?1 ? x ? 16

? ?1 ? x ? 1或 1 ? x ? 16 即 ?1 ? x ? 16 .
∴不等式 f ( x) ? 2 的解集为: [?1,16] .

20.解: (Ⅰ) t 的取值范围为区间 [log 2

1 , log 2 4] ? [?2, 2] . 4 (Ⅱ)记 y ? f ( x) ? (log 2 x ? 2)(log 2 x ? 1) ? (t ? 2)(t ? 1) ? g (t ) (?2 ? t ? 2) .
3 2 1 3 3 在区间 [?2, ? ] 是减函数,在区间 [ ? , 2] 是增函数 2 2 4 2 3 ? 2 2 3 1 3 ∴当 t ? log 2 x ? ? 即 x ? 2 2 ? 时, y ? f ( x) 有最小值 f ( ) ? g (? ) ? ? ; 4 4 2 4 2 2 当 t ? log 2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时, y ? f ( x) 有最大值 f (4) ? g (2) ? 12 .
∵ y ? g (t ) ? (t ? ) ?

21.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? 是奇函数,所以 f (0) ?

1? b ? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) . 4

2x ? 1 (Ⅱ)由(1)知 f ( x ) ? ? .对 ?x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 时,总有 2(2 x ? 1)
2 x2 ? 2 x1 ? 0, (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0 .
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 2 x2 ? 2 x1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2 2 ? 1 2 ? 1 2 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数. (Ⅲ)∵函数
2

f ( x) 是奇函数且在 R 上是减函数,
2 2 2 2

∴ f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 ? f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) .

1 1 (*) ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? k ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? )2 ? . 3 3 1 对于 ?t ? R (*)成立 ? k ? ? . 3 1 ∴ k 的取值范围是 (??, ? ) . 3


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