2014-2015学年江苏省扬州中学高二(下)5月质检数学试卷(文科) Word版含解析

2014-2015 学年江苏省扬州中学高二 (下) 5 月质检数学试卷 (文 科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3}则?U(A∪B)= 2.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则?p 命题是 3.函数 的定义域为 . . .

4.“函数 f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的 5.在复平面内,复数 对应的点位于第

条件. 象限.

6.函数 y=x 在点(1,1)处的切线方程为

3

. .

7.如果函数 f(x)=lnx+x﹣3 的零点所在的区间是(n,n+1) ,则正整数 n= 8.若 a=4 ,b=0.4 ,c=log40.4,则 a,b,c 的大小关系为 9.在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B 的大小是
0.4 4

. (从大到小) .

10.如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,由其解析式 为 .

11.若
2 2

,则

的值为



12.已知 x +y =2x+8(x,y∈R) ,则 4x +5y 的最大值为

2

2



13.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) ,且当 x∈[﹣2, 0]时, .若在区间 x∈(﹣2,6)内函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2) .

有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为

14.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在定义域[a,b]?D,使得函数 f(x)在[a,b]上的值 域也为[a,b],则称 f(x)为“等域函数”.已知函数 f(x)=a , (a>1)为“等域函数”,则 实数 a 的取值范围为 .
x

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)当 时,求函数 f(x)的值域.

16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosB= ,b=6, (1)当 a=5 时,求角 A; (2)当△ ABC 的面积为 27 时,求 a+c 的值. 17.已知 . (1)求 tanβ 的值; (2)求 2α﹣β 的值. ,其中

18.已知函数 f(x)=

, (其中 m、n 为参数)

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)如果 f(x)是奇函数,求实数 m、n 的值; (3)已知 m>0,n>0,在(2)的条件下,求不等式 的解集.

19.已知 a<0,函数 f(x)=acosx+ (1)设 t= +

+

,其中 x∈[﹣



].

,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 g(t) ;

(2)求函数 f(x)的最大值(可以用 a 表示) ; (3)若对区间[﹣ 围. , ]内的任意 x1,x2,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,求实数 a 的取值范

20.已知函数

,其中 a 为参数,



(1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间;

(2)当 x∈[1,e]时,求函数 f(x)的最小值; (3)函数 g(x)是否存在垂直于 y 轴的切线?请证明你的结论论.

2014-2015 学年江苏省扬州中学高二(下)5 月质检数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3}则?U(A∪B)= {4,5} . 考点:交、并、补集的混合运算. 分析:由题意集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,},B={2,3}根据并集的定义得 A∪B={1, 2,3},然后由补集的定义计算?U(A∪B) . 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3} ∴A∪B={1,2,3} ∴?U(A∪B)={4,5}, 故答案为{4,5}. 点评:此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. 2.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则?p 命题是 ?x∈R,cosx>1 . 考点:命题的否定. 专题:阅读型. 分析:本题中所给的命题是一个全称命题, 故其否定是一个特称命题, 将量词改为存在量词, 否定结论即可 解答: 解:命题 p:?x∈R,cosx≤1,是一个全称命题 ∴?p:?x∈R,cosx>1, 故答案:?x∈R,cosx>1 点评:本题研究命题的否定, 解题的关键是理解全称命题的否定的书写规则, 其否定是一个 特称命题,要将原命题中的全称量词改为存在量词. 3.函数 的定义域为 (1,2] .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,





即 1<x≤2, 故函数的定义域为(1,2],

故答案为: (1,2] 点评:本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 4.“函数 f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的 必要不充分 条件. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: 根据 φ=0,得函数 f(x)=sin(x+φ)=sinx,运用奇偶性定义判断,再由函数 f(x) =sin(x+φ)为奇函数得出 sinφ=0,即,φ=kπ,k∈z, 可以判断答案. 解答: 解:∵φ=0,∴函数 f(x)=sin(x+φ)=sinx, f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sin(x)=﹣f(x) ∴f(x)为奇函数, ∵函数 f(x)=sin(x+φ)为奇函数, ∴sin(﹣x+φ)=﹣sin(x+φ) sinφcosx﹣cosφsinx=﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ sinφcosx=﹣cosxsinφ, 即 sinφ=0,φ=kπ,k∈z, 根据充分必要条件的定义可判断: 函数 f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分. 点评:本题考查了函数的奇偶性的判断,充分必要条件的判断,属于容易题. 5.在复平面内,复数 对应的点位于第 一 象限.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解: 复数 = = 对应的点 位于第一象限.

故答案为:一. 点评:本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 6.函数 y=x 在点(1,1)处的切线方程为 y=3x﹣2 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用;直线与圆. 分析:首先求出函数 f(x)在点 x=1 处的导数,也就是切线的斜率,再利用点斜式求出切 线方程即可. 3 解答: 解:∵f(x)=x , 2 ∴f′(x)=3x , ∴切线的斜率为 f′(1)=3, 又切点为(1,1) ,
3

∴切线方程为 y﹣1=3(x﹣1) , 即 y=3x﹣2. 故答案为:y=3x﹣2. 点评:本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程, 以及导数的几何意义, 同时考查 了运算求解的能力,属于基础题. 7.如果函数 f(x)=lnx+x﹣3 的零点所在的区间是(n,n+1) ,则正整数 n= 2 . 考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则,可得 f(x)=lnx+x﹣3 在(0,+∞) 上是增函数,再通过计算 f(1) 、f(2) 、f(3)的值,发现 f(2)?f(3)<0,即可得到零 点所在区间. 解答: 解:∵f(x)=lnx+x﹣3 在(0,+∞)上是增函数 f(1)=﹣2<0,f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3>0 ∴f(2)?f(3)<0,根据零点存在性定理,可得函数 f(x)=lnx+x﹣3 的零点所在区间为 (2,3) , ∴n=2. 故答案为 2. 点评:本题给出含有对数的函数, 求它的零点所在的区间, 着重考查了基本初等函数的单调 性和函数零点存在性定理等知识,属于基础题. 8.若 a=4 ,b=0.4 ,c=log40.4,则 a,b,c 的大小关系为 a>b>c . (从大到小) 考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:考查指数函数与对数函数的性质,用 0 与 1 作比较,可以得出 a、b、c 的大小. 解答: 解:考查指数函数 y=0.4 ,是定义域上的减函数,∴0<0.4 <1; x 0.4 考查指数函数 y=4 ,是定义域上的增函数,∴4 >1; 考查对数函数 y=log2x,是定义域上的增函数,∴y=log20.4<0; 0.4 4 ∴4 >0.4 >log20.4, 即 a>b>c; 故答案为:a>b>c. 点评:本题考查了指数函数、对数函数的性质的应用,是基础题. 9.在△ ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B 的大小是
x 4 0.4 4



考点:余弦定理;两角和与差的正切函数. 专题:计算题. 分析:根据 sinA:sinB:sinC=5:7:8,利用正弦定理可求得 a,b,c 的关系,进而设 a=5k, b=7k,c=8k,代入余弦定理中求得 cosB 的值,进而求得 B. 解答: 解:sinA:sinB:sinC=5:7:8 ∴a:b:c=5:7:8

设 a=5k,b=7k,c=8k, 由余弦定理可得 cosB= ∴∠B= 故答案为 . . = ;

点评:本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用. 作为解三角形中常用的公式, 应熟练掌 握正弦定理和余弦定理及其变形公式. 10.如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,由其解析式为 y= sin(2x﹣ ) .

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,从而求得函数的 解析式. 解答: 解:由函数的图象的顶点的纵坐标为± ,可得 A= . 再由函数的周期性可得 = ﹣ ,可得 ω=2. +φ=0,解得 φ=﹣ sin(2x﹣ ) . . ) , ,

再由五点法作图可得 2× 故函数的解析式为 y= 故答案为 y=

sin(2x﹣

点评:本题主要考查利用 y=Asin(ωx+?)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图 象求解析式,由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,属于中档 题.

11.若

,则

的值为



考点:二倍角的正弦. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:根据已知,利用诱导公式及二倍角公式即可得解. 解答: 解:∵ ,

∴ ﹣2× = .

=cos[

﹣(2

)]=cos[2(

)]=1﹣2sin (

2

)=1

故答案为: . 点评:本题主要考查了诱导公式,二倍角公式的应用,属于基础题. 12.已知 x +y =2x+8(x,y∈R) ,则 4x +5y 的最大值为 64 . 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用;直线与圆. 分析:由 x +y =2x+8,可得 x∈[﹣4,4],再由 4x +5y =5x +5y ﹣x =﹣x +10x+40,结合二 次函数的图象和性质,得到答案. 2 2 解答: 解:∵x +y =2x+8,表示以(1,0)点为圆心,以 3 为半径的圆, ∴x∈[﹣4,4] ∴4x +5y =5x +5y ﹣x =﹣x +10x+40=﹣(x﹣5) +65, 当且仅当 x=4 时,取最大值:64, 故答案为:64 点评:本题考查的知识点是圆的方程,二次函数的图象和性质,本题易忽略 x 的取值范围, 而错解为 65. 13.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) ,且当 x∈[﹣2, 0]时, .若在区间 x∈(﹣2,6)内函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2) ,2) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 (

考点:定积分;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得,分别画出 y=f(x)和 y=loga(x+2)的图象,数形结合求得 a 的范围. 解答: 解:∵偶函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) , ∴函数 f(x)的周期为 4, 当 x∈[﹣2,0]时,
x



∴x∈[0,2]时,f(x)=2 ﹣1, 分别画出 y=f(x)和 y=loga(x+2)的图象, 在区间 x∈(﹣2,6)内, 如图所示,函数 y=loga(x+2)的图象过定点(﹣1,0) , 当 y=loga(x+2)的图象可点 A 时,即 3=loga(2+2) ,即 a= 时,有 2 个零点,

当 y=loga(x+2)的图象可点 B 时,即 3=loga(2+6) ,即 a=2,有 4 个零点, ∵在区间 x∈(﹣2,6)内函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 3 个不同的零点, ∴ <a<2,

故 a 的取值范围为( 故答案为:

,2) , .

点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属 于中档题. 14.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在定义域[a,b]?D,使得函数 f(x)在[a,b]上的值 域也为[a,b],则称 f(x)为“等域函数”.已知函数 f(x)=a , (a>1)为“等域函数”,则 实数 a 的取值范围为 (1, ) .
x

考点:函数的值域. 专题:新定义;函数的性质及应用. x m n 分析:由新定义可得函数 f(x) =a , (a>1)的定义域和值域均为[m,n],即有 a =m,a =n, x 即方程 a =x 有两个不相等的实根,两边取自然对数,转化为函数的图象之间的关系,即可 得到所求 a 的范围. x 解答: 解:由新定义可得函数 f(x)=a , (a>1)的定义域和值域均为[m,n], m n 即有 a =m,a =n, x 即方程 a =x 有两个不相等的实根, x 即有 lna =lnx, 即 lna= 有两个不相等的实根.

令 g(x)=

,则 g(x)的导数为 g′(x)=



当 x>e 时,g′(x)>0,g(x)递减; 当 0<x<e 时,g′(x)<0,g(x)递增. 即有 x=e 取得最大值 . 则有图象可得 0<lna< .

解得 1<a<

. ) .

故答案为: (1,

点评:本题考查新定义的理解和运用,考查函数的单调性的运用,以及导数的运用:求单调 区间和极值、最值,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)当 时,求函数 f(x)的值域.

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用可得 ,利用周期公式可求最小正周期,令 ,可得单调增区间. (2)由 数 f(x)的值域. 解答: 解: (1) ﹣﹣﹣(4 分) ∴f(x)的最小正周期为 令 可得 ∴函数 f(x)的单调增区间为 ﹣﹣﹣(8 分) (2)∵ ∴ , , , ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,可得 ,利用正弦函数的性质从而可求函





∴函数 f(x)的值域为[﹣1,2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评:本题主要考查了周期公式,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属 于基本知识的考查. 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosB= ,b=6, (1)当 a=5 时,求角 A; (2)当△ ABC 的面积为 27 时,求 a+c 的值. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)由 ,可求 sinB,由正弦定理可得 sinA= ,又 a=5<b=6,由大边对大

角可得 A 为锐角,即可得解. (2)由
2 2 2



,解得 ac=90.由余弦定理可求得 a +c =180,从而由(a+c)

2

2

=a +c +2ac=360 即可得解. ,∴sinB= = ,

解答: 解: (1)∵

∵a=5,由正弦定理可得:sinA= 又∵a=5<b=6 ∴A<B,A 为锐角. ∴A= (2)∵ ∴ .…(7 分) , ,即 ac=90.
2 2 2

=

= …(3 分)



由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得
2 2 2

,即 a +c =180.…(11 分)

2

2

所以(a+c) =a +c +2ac=180+180=360, 所以, . …(14 分) 点评:本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式等知识的综合应用,属于基本 知识的考查.

17.已知 .

,其中

(1)求 tanβ 的值; (2)求 2α﹣β 的值. 考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (1 由条件利用两角和差的正切公式求得 tanα 的值,再根据 ,求得 tanβ 的值. (2)先利用两角和差的正切公式求得 tan(2α﹣β)的值,再结合 2α﹣β 的范围,求得 2α ﹣β 的值. 解答: 解: (1)∵ ∵ ∴解得 (2) ∵ 又∵ ∴ ,β∈(0,π) ,∴ , . ,∴ , ,∴2α﹣β∈(﹣π,0) , . , , ,而 ,∴ , ,

点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系, 两角和差的正切公式的应用, 根据三角函数 的值求角,属于基础题.

18.已知函数 f(x)=

, (其中 m、n 为参数)

(1)当 m=n=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)如果 f(x)是奇函数,求实数 m、n 的值; (3)已知 m>0,n>0,在(2)的条件下,求不等式 的解集.

考点:函数奇偶性的性质;其他不等式的解法. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)当 m=n=1 时,根据函数奇偶性的定义进行判断即可; (2)如果 f(x)是奇函数,根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数 m、n 的值; (3)根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解: (1) ,





, …(4 分)

∵f(﹣1)≠﹣f(1) ,∴f(x)不是奇函数; (2)∵f(x)是奇函数时∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 对定义域内任意实数 x 成立.
2x x

化简整理得关于 x 的恒等式(2m﹣n)?2 +(2mn﹣4)?2 +(2m﹣n)=0, ∴ 即 或 . …10 分

(注:少一解扣 2 分) (3)由题意得 m=1,n=2, ∴ ,易判断 f(x)在 R 上递减,

∵ ∴ ∴
x

, , ,

∴2 <3, ∴x<log23, 即 f(x)>0 的解集为(﹣∞,log23)…(16 分) 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断和应用以及不等式的求解, 根据定义法是解决本题的 关键. ,其中 x∈[﹣ ].

19.已知 a<0,函数 f(x)=acosx+ (1)设 t= +

+



,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 g(t) ;

(2)求函数 f(x)的最大值(可以用 a 表示) ; (3)若对区间[﹣ 围. 考点:三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)令 + =t,换元可得; , ]内的任意 x1,x2,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,求实数 a 的取值范

(2)问题转化为 得;



的最大值,由二次函数分类讨论可

(3)问题转化为 gmax(t)﹣gmin(t)≤1 对 解答: 解: (1)∵ 又∵ 又∵t>0,∴

成立,分类讨论可得. ,

,∴cosx≥0,从而 t =2+2cosx,∴t ∈[2,4]. ,∵ ,∴ , ,对称轴为 , 的最大值. .

2

2

(2)求函数 f(x)的最大值即求

当 当 当

,即 ,即 ,即

时, 时, 时,gmax(t)=g(2)=a+2; 时,f(x)的最大值是 ;当

; ;

综上可得,当 值是 当 ;

时,f(x)的最大

时,f(x)的最大值是 a+2; 内的任意 x1,x2 恒成立, 成立

(3)要使得|f(x1)﹣f(x2)|≤1 对区间

只需 fmax(x)﹣fmin(x)≤1.也就是要求 gmax(t)﹣gmin(t)≤1 对 ∵当 且当 ,即 时, 时,gmin(t)=g(2)=a+2;

结合问题(2)需分四种情况讨论: ① ② , 注意到函数 于是 在 成立,∴ 上单调递减,故 p(a)>p( ; )= ﹣ , 时, 时, 成立,∴ ,即 ;

③ , 注意到函数 故 ∴ ④ ∴ 时,



,即

在 ,于是 ;

上单调递增, 成立,

,即 ;



综上,实数 a 的取值范围是 点评:本题考查函数的恒成立问题,涉及二次函数的最值和分类讨论以及三角函数的运算, 属中档题.

20.已知函数

,其中 a 为参数,



(1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[1,e]时,求函数 f(x)的最小值; (3)函数 g(x)是否存在垂直于 y 轴的切线?请证明你的结论论. 考点:利用导数研究函数的单调性; 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)将 a=1 代入函数 f(x) ,求出其导数,从而求出函数的单调区间; (2)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调区间,进而求出函数的最小 值; (3)问题转化为方程 而得到结论. 解答: 解: (1)a=1 时, ,定义域为(0,+∞) , 有没有解,通过研究左右两个函数的值域,从

令 f′(x)=0,得 x=1,f′(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ f(x)的单调递增区间为(1,+∞) ,单调递减区间为(0,1) ; (2) ,x∈[1,e],

当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间[1,e]上单调递增, 所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为 f(1)=a﹣1, 当 a>0 时,令 f′(x)=0,则 x=a, ①若 a>e,则 f′(x)<0 对 x∈[1,e]成立,则 f(x)在区间[1,e]上单调递减, 所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为 ,

②若 1≤a≤e,则有 x (1,a) a (a,e) f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 f(a)=lna, ③若 a<1,则 f'(x)>0 对 x∈[1,e]成立,所以 f(x)在区间[1,e]上单调递增, 所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为 f(1)=a﹣1,

综上得:



(3)即考虑方程 g′(x)=0 有没有解,求导得



令 g′(x)=0,则 下面分别研究左右两个函数的值域, ∵由(1)得 a=1 时 f(x)的最小值为 f(1)=0, ∴ ,即

,即





,则



∴h(x)在(﹣∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减,∴h(x)max=h(2)=1, 又∵等号不能同时取到,∴方程 无解,

即函数 g(x)不存在垂直于 y 轴的切线. 点评:本题考查了函数的单调性、函数的最值问题,考查转化思想,分类讨论思想,本题计 算量较大,有一定的难度.


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