浙江省金华十校2015届高三下学期高考模拟(4月)数学(文)试题

金华十校 2015 年高考模拟考试

数学(文科)试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分. 请考生按规定用 笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3 πR 3

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 棱台的体积公式
1 V= h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式
1 V= Sh 3

其中 S1、S2 表示棱台的上、下底面积,h 表示棱 台的高.

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 S={x∈N|0<x<6},T={4,5,6},则 S∩T = A.{1,2,3,4,5,6} C.{4,5} B.{1,2,3} D.{4,5,6}
4

2. 已知 a,b∈R,则 “a>b”是“a>b?1”成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

2 正视图

3

4 侧视图

3. 若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为 A.80 B.40 C.
80 3

D.

40 3

俯视图

(第 3 题图)

4. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S19>0,S20<0,则使 Sn 取得最大项的 n 为 A.8 B.9 C.10 D.11 5. 若 m、n 是两条不同的直线,?、?、? 是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 m??,?⊥?,则 m⊥? B.若?∩?=m,? ∩?=n,m∥n,则?∥? C.若 m⊥?,m∥?,则?⊥? D.若?⊥?,?⊥?,则?∥?
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6. 已知函数 f(x)=loga(2x+b?1)的部分图像如图所示,则 a,b 所 满足的关系为 A.0<b?1<a<1 B.0<a?1<b<1 C.0<b<a?1<1 D.0<a?1<b?1<1

y

O ?1

1

x

(第 6 题图)

x2 y 2 7. 已知 F1、 F2 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点, P 为双曲线 C 右支上一点, 且 PF2⊥F1F2, a b
PF1 与 y 轴交于点 Q,点 M 满足 F1M ? 3MF2 ,若 MQ⊥PF1,则双曲线 C 的离心率为 A.
2

B.

3

C.

2? 3 2

D.

2? 6 2

8. 已知函数 f(x)= A.1

t ? sin x ? t ? 1? 的最大值和最小值分别是 M,m,则 M?m 为 t ? cos x B.2 C.?1 D.?2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题卷 的相应位置. 9. 函数 f(x)=lg(9?x2)的定义域为__▲__,单调递增区间为__▲__,3f(2)+f(1) = ▲ . 10.已知直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a?1)y+a2?1=0,若 l1⊥l2, 则 a= ▲ ,若 l1∥l2,则 a= ▲ , 此时 l1 和 l2 之间的距离为 ▲ .
y
1

? 11.设?>0,函数 y ? sin(? x ? ? ) (?? ? ? ? ?) 的图象向左平移 个 3 单位后,得到右边的图像,则?= ▲ ,?= ▲ .

?

? 6

O

? 3

x

? x ≥1 ? 12. 已知实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ≤0 ,此不等式组表示的平面区域的面积为 ?x ? y ? 4 ≤ 0 ?

?1

(第 11 题图)




C

A D B

目标函数 Z=2x?y 的最小值为

▲ .

13.如图,在正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,D 为 AB 的中点,AA1=4,AB=6, 则异面直线 B1D 与 AC1 所成角的余弦值为
2


2



x y 14.已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,且 AB⊥x 轴, a b AC ? AB AC∥x 轴,则 的最大值为 ▲ . 2 BC

A1 B1 (第 13 题图)

C1

15.在△ABC 中,AB=BC=2,AC=3.设 O 是△ABC 的内心,若 AO ? pAB ? qAC ,则 为 ▲ .
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p 的值 q

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 在△ABC 中, a , b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3cos A . (Ⅰ)若 a 2 ? c2 ? b2 ? mbc ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求△ABC 面积的最大值.

17. (本题满分 15 分) 如图,三棱锥 P?ABC 中,E,D 分别是棱 BC,AC 的中点,PB=PC=AB=4,AC=8, BC= 4 3 , PA= 2 6 .
P

(Ⅰ)求证:BC⊥平面 PED; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值.

A

E D B

C

18. (本题满分 15 分) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,其中 a1=1,且
Sn ? ? an ?1 ( n∈N*). an

(Ⅰ)求常数 ? 的值,并写出{an}的通项公式; 1 2 (Ⅱ)记 bn ? an(? ? 1) , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 若对任意的 n≥2, 都有 Tn ? 成立, 求? ? 3 的取值范围.

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19. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0),曲线 M:x2+2x+y2=0(y>0).过点 P(?3,0)与曲线 M 相切于点 A 的 直线 l,与抛物线 C 有且只有一个公共点 B. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程及点 A,B 的坐标; (Ⅱ)过点 B 作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线 C 于 S, T 两点 (不同于坐标原点) , 求证: 直线 ST∥直线 AO.
y

B A P O S x

T

20. (本题满分 14 分) 巳知二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a>0,b,c∈R). (Ⅰ)已知 a=2,f(2)=2,若 f(x)≥2 对 x∈R 恒成立,求 f(x)的表达式; (Ⅱ)已知方程 f(x)=0 的两实根 x1 , x2 满足 x1 ? 求证:m<x1.

1 ? x2 .设 f(x)在 R 上的最小值为 m, a

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数学(文科)卷评分标准与参考答案
一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A

二、填空题(9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.(?3,3),(?3,0),3; 11.2, 13.
6 5 2 10. , ?1, ; 5 3 4 12. , ?1 ; 3

2? ; 3
14.

5 13 26 三. 解答题(74 分)

1 2

15.

3 2

16.解:(Ⅰ)由 2 sin A ? 3cos A 两边平方得: 2sin 2 A ? 3cos A ,

1 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得: cos A ? . ???????????? 2
而 a 2 ? c2 ? b2 ? mbc 可以变形为 即 cos A ?

4分

b2 ? c 2 ? a 2 m ? , 2bc 2
??????????????????? 7分 9分 12 分 15 分

m 1 ? ,所以 m=1 . 2 2

3 b2 ? c 2 ? a 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? ,则 sin A ? ,又 ? , ??????? 2 2 2bc 2
bc ?a 所以 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ≥ 2
2

即 bc ≤ a 2 .

?????????????

故 S ?ABC ?

bc a 3 3 3 sin A ≤ ? ? . 2 2 2 4

2

???????????????

17.解: (Ⅰ)∵AC=8,BC= 4 3 ,AB=4,由勾股定理可得 AB⊥BC, 又 E,D 分别是棱 BC,AD 的中点,∴DE∥AB, ∴DE⊥BC. ????????? 又已知 PB=PC,且 D 是棱 BC 的中点,∴PD⊥BC, ∴BC⊥平面 PED. ???????? 7分 (Ⅱ)法一:在△PAC 中,∵AC=8,PC=4,PA= 2 6 , 由余弦定理可得 cos∠PCA= 又∵E 是 AC 的中点, 由余弦定理可求得 PE=2,???? 10 分 易求得 PD=DE=2,∴△PDE 是等边三角形, 取 PD 中点 F,则 EF⊥PD,
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3分 5分

???????????
P

7 , 8
A E

F C D

又 BC⊥平面 PED,BC⊥EF, ∴EF⊥平面 PBC, ∴∠ECF 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角, ????????????? ∴sin∠ECF=
EF 3 ? . EC 4
3 . ????????????? 4

13 分

故直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为

15 分

法二:以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DE 为 x,y 轴正半轴,如图建立空间直角坐标系. 则 B (?2 3, 0, 0) ,C (2 3, 0, 0) , E(0,2,0), A (?2 3, 4, 0) ,设点 P(0,y, z),?????
2 2 ? ?12 ? y ? z ? 16 由 PC=4, PA= 2 6 可得方程组 ? , 2 2 ? ?12 ? ( y ? 4) ? z ? 24

9分

P

z

? ?y ?1 y 解得: ? ,即点 P(0,1, 3 ) , ??? 11 分 z ? 3 ? ? 设平面 PBC 的法向量为 n=(x1,y1,z1), A E F ∵ BC =(4 3 ,0,0), BP =(2 3 ,1, 3 ), D G ? x1 ? 0 ? B ? ?4 3 x1 ? 0 ∴? ,可得一组解为: ? y1 ? ? 3 ,?????????? ? ? z =1 ?2 3 x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ?1

C

x

13 分

即 n=(0, ? 3 ,1) . 而 AC = (4 3, ? 4, 0) , ∴cos AC,n =
3 . 4 3 . 4

故直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 18. (Ⅰ)由 a1=1 及

????????????

15 分 2分 4分 6分

Sn 1 1 ? ? an ?1 得: a2 ? , a3 ? 1 ? . ??????????? an ? ?

1 ,即 ? = , ??????????? 2 ∴a2=2,d=1,an=n.. ??????????????? S n(n ?1)d 另解:设公差为 d ,由 n ? ? an ?1 得: n ? ? ? ?1? (n ? 1) d ?? 1 ? nd ? an 2
∵{an}是等差数列,∴

2

?

?2?

1

?

d d 即: n2 ? (1 ? ) n ? ? d 2 n2 ? ?(2 d ? d2) n ? (1 ? d ) ? 2 2 ? ?(1 ? d )? ? 0 ?d ? 1 ? ?d ? ∴ ? ? ?d 2 解得: ? 1 ,∴an=n . ??????????? 2 ?? ? ? ? 2 ? d 1 ? ? ? (2d ? d 2 ) ? ? 2 1 1 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n ,∴ bn ? n ,∴ Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n , ? ? ? ? ?
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6分

∵ Tn ?1 ? Tn ? (或由 Tn ?

1

? n ?1

? 0 ,∴Tn 是关于 n 的递增函数.

1 ? 1 ?1 ? n ? ?1? ?

? ? ( ? ? 1) 直接说明 Tn 是关于 n 的递增函数).????? ?

9分

又∵对任意的 n ≥ 2 ,都有 Tn ? 即: 解得
1

2 2 成立,∴ T2 ? . 3 3
????????????? 12 分

?

?

1

?2

?

2 ,∴ 2? 2 ? 3? ? 3 ? 0 . 3

3 ? 33 3 ? 33 3 ? 33 ??? ,又∵ ? ? 1 ,∴1 ? ? ? . ??????? 15 分 4 4 4 19.解:(Ⅰ) 曲线 M 方程化为(x+1)2+y2=1(y>0),设 l 的方程为 y=k(x+3) ,即 kx?y+3k=0,

由题意得 k>0,又 d M ?l ? 故 l 的方程为 y ?

?k ? 3k 1? k
2

? 1 ,解得 k ?

3 , 3

3 ( x ? 3) , ????????????????????? 3 代入抛物线 C:y2=2px(p>0)方程得:x2+(6?6p)x+9=0,

3分

则△=(6?6p)2?36=0 得 p=2,

?????????????????????

5分 6分

? 3 ? 3 3? ( x ? 3) ?y ? 进而得 B(3,2 3) ,由 ? 解得 A ? 3 ?? 2, 2 ? ? ,?????? ? x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0( y ? 0) ? ? ?

? 3 3? 故抛物线 C 的方程为 y2=4x,点 A 坐标为 ? ?? 2, 2 ? ? ,点 B 坐标为 (3,2 3) . ?? 7 分 ? ?
(Ⅱ)设直线 BS、BT 的两条直线斜率分别为 k , ? k ,则直线 BS 为: y ? 2 3 ? k( x ? 3) , 代入 y 2 ? 4 x ,消去 x 得: ky 2 ? 4y ? 8 3 ?12 k ? 0 , ∴ y B ? yS ?

4 4 ,∴ yS ? ? 2 3 ,??????????????????? k k

11 分

4 同理 yT ? ? ? 2 3 , k
∴ kST ?

yS ? yT y ? yT 4 4 3 .?????????? ? S ? ? ?? yS 2 ? yT 2 yS ? yT ?4 3 xS ? xT 3 4

13 分

? 3 3? 3 k ?? 由(Ⅰ)知 A ? ,∴ kOA ? kST ,由题意知两直线 ST,OA 不重合, ?? 2, 2 ? ? ,∴ OA 3 ? ?
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故直线 ST∥直线 AO. ???????????????????????? 15 分 20. 解:(Ⅰ)由 f(x)≥f(2)=2,又 a=2,可知 f(x)在 x=2 时取最小值 2, ∴f(x)=2(x?2)2+2,即 f(x)=2x2?8x+10. ????????????????? 5 分 (Ⅱ)法一:∵方程 f(x)=0 的两实根为 x1 , x2 ,设 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,??? 7 分
a ?x ?x ? 所以 m ? f ( x)min ? f ? 1 2 ? ? ? ( x2 ? x1 )2 .?????????????? 9 分 4 ? 2 ?

由 x1 ?

1 1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? ? x1 ? 0 ,又 a ? 0 , a a
2 2

a a?1 a?1 ? ? ∴ m ? ? ( x2 ? x1 )2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? ? x1 ? ? x1 ≤ x1 ,即 m<x1. ???? 14 分 4 4?a 4?a ? ?

法二:因为方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0 的两实根 x1 , x2 满足 x1 ?
?1? 所以 f ? ? ? 0 及 a>0,得1 ? b ? ac ? 0 , ?a?

1 ? x2 , a

另外,由求根公式,得 x1 ?
2

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac , x2 ? .?????? 7 分 2a 2a

b ? 4ac ? b 2 4ac ?b 2 ? 由 f ( x) ? a ? x ? ,得 f(x)的最小值 m ? .?????? 9 分 ? ? 2a ? 4a 4a ?

所以, x1 ? m ? 又 a>0,

b2 ? 4ac ? 2 b ? 2 b2 ?4 ac ( b2 ?4 ac ? 1) ? 4a 4a

2

? 2 b? 1



1 当 ?2b ? 1 ? 0 ,即 b ? ? 时,显然有 x1?m>0; ?????????????? 11 分 2 1 当 ?2b ? 1 ≤ 0 ,即 b ≥ ? 时,由1 ? b ? ac ? 0 ,得 2 3 b2 ? 4ac ? b2 ? 4b ? 4 ? b ? 2 ≥ ? 1 2
所以,

?

b2 ? 4ac ? 1 ? 2b ? 1 ? (b ? 2 ? 1) 2? 2 b?1 ? b 2 ≥ 0 ,从而 x1 ? m ? 0 。
14 分

?

2

总之,m<x1. ????????????????????????????

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