陕西省宝鸡市西关中学2013届高三5月模拟数学理试题

2013 届高三数学(理科)模拟试题 宝鸡市西关中学
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) ?i ?( 1. 复数 ) 1? i 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 函数 y ? sin 2 x cos 2 x 是 A. 周期为 ? 的奇函数 C.周期为 B.周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

D.周期为 ? 的偶函数

??? ??? ? ? 3. 在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为
A. ?20 B. 20 C. 20 3 D. ?20 3

4. 已 知 命 题 p : 对 任 意 x ? [ 1 , 2 ] x2 ? a ≥ 0, 命 题 q : 存 在 x ? R , ,
x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若命题 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围为(

) D.

A. a ≤ ?2 或 1 ≤ a ≤ 2 ?2 ≤ a ≤ 1

B. a ≤ ?2 或 a ? 1

C. a ≥ 1 )

5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? log2 x 在定义域内的零点个数为( A.0 B. 2 C. 1 D. 3

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开始 A=1

S=1 主视图 A=A+2 左视图

输出 A

S=S+1

是 S≤5? 否 结束 (第 6 题图)

俯视图 第 7 题图

6. 按照程序框图执行,第三个输出的数是( A. 7 B. 6 C. 1 D. 3



7. 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等 的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 A. 12? B. 4 3? C. 3? D. 12 3?

8. 数列 {an } 的首项为 a , n 项和 Sn 满足 Sn ? a2 ? an ?1(n ? N? ) . 若实数 x, y 满足 前
? x ? y ? 1≥ 0 ? ? x ? y ≥ 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ? x≤a ?

A.5

B. 1

C. ?1

D.

1 2

9. 已知点 F 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,抛物线 y 2 ? 2cx(c ? 0) 的 2 a b

准线交该双曲线于 A, B 两点,若 ?ABF 是锐角三角形且 c2 ? a 2 ? b2 ,则该双曲线 离心率 e 的取值范围是 A. (1, 3) 10. 若 x ? A, B. (1 ? 2, ??) C. ( 3, 2 2) D. (1,1 ? 2)

1 ?A , 则 称 A 是 “ 伙 伴 关 系 集 合 ” , 在 集 合 x

1 1 ? ? 则该集合是 “伙伴关系 M ? ??1, 0, , ,1, 2, 3, 4? 的所有非空子集任选一个集合, 3 2 ? ?
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集合”的概率为 1 1 7 4 A. B. C. D. 51 17 255 255 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应 题号后的横线上)

? 2x , x ? 0 11. 设 f ( x) ? ? ,则 f (2) ? f (?2) ? ? f ( x ? 1), x ≤ 0
12. 已知 a ? ? (sin t ? cos t )dt ,则 ( x ?
0

?

1 6 ) 的展开式中常数项为 ax

13. 已知 x 与 y 之间的一组数据如右表,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的 线性回归方程为 y ? bx ? 0.35 ,那么 b 的值为

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

14. 观察下列不等式: 1 ? 规律,第 n 个不等式为

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ?,照此 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评阅记分) A. 不等式选做题) ( 若不等式 | 2a ? 1|≤ x ? 的取值范围是
P A B

1 对一切非零实数 x 恒成立, 则实数 a x

B.(几何证明选做题)如图 PAB、PCD 为 ? O 的两条割线, 若 PA ? 5, AB ? 7, CD ? 11, AC ? 2, 则 BD 等于去

O
C
?

D

? x ? cos ? C. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 曲 线 ? ( ? 为参数)与曲线 ? y ? 1 ? sin ?

? 2 ? 2? cos? ? 0 的交点个数为

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a5 ? 9, S12 ? 144 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an (Ⅱ)设 bn ? 6 ? 2an ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

17.(本小题满分 12 分)设 a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边,
?? ? C C C C ?? ? ? m ? (cos , sin , n ? (cos , ? sin ), m 与 n 的夹角为 . ) 2 2 2 2 3 (Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)已知 c ?

7 3 3 , ?ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 的值. 2 2

18.(本小题满分 12 分)如图,ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD,
AF ∥ DE , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60? .
E

(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BED 夹角的余弦值.
F A D B C

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19.(本小题满分 12 分)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽出 60 名 学生,将其化学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后 得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的人数; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次 考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在 ?40,60? 记 0 分,在

?60,80? 记 1 分,在 ?80,100? 记 2 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分
布列和数学期望.
频率/组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100 分数

20.(本小题满分 13 分)已知焦距为 2 6 的椭圆中心在原点 O,短轴的一个端点 为 (0, 2) ,点 M 为直线 y ?
1 x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行 OM 的直线 2

l 交椭圆与 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求证:直线 MA , MB 与 x 轴围成的三角形恒为等腰三角形.

21. (本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x ) ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值;

1? a . x

(Ⅱ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718 ??? )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的 取值范围.

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2013 届高三数学(理科)模拟试题

参考答案及评分标准
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11. 6 15. 选做题 三、解答题 16. 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 首项为 a1 ,公差为 d ,由题意得 12. 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 0 C D B 9 1

?

5 2

13. 0.7 B. 6

14. 1 ? C. 2

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ? ??? ? ? 2 2 2 3 (n ? 1) n ?1

1 3 A. [? , ] 2 2

?a1 ? 4d ? 9 ? -----------------------3 分 ? 12 ?11 ?12a1 ? 2 d ? 144 ?
? a1 ? 1 解得 ? ,∴ an ? 2n ? 1-----------------------------------------6 分 ?d ? 2

(Ⅱ) bn ? 6 ? 2an ? 2n ? 3? 4n ? 2n --------------------------------8 分 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

? 3(4 ? 42 ???? ? 4n ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ???? ? n) ----------------------------10 分
? 4n?1 ? 4 ? n2 ? n -----------------------------------------------------12 分
?? ? C C 17. 解:(Ⅰ)由条件得 m ? n ? cos 2 ? sin 2 ? cos C , 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 又 m ? n ?| m || n | cos ? ---------------------------------------4 分 3 2 1 ? ∴ cos C ? , 0 ? C ? ? ,因此 C ? ,----------------------------6 分 2 3

(Ⅱ) S? ?

1 3 3 3 ab sin C ? ab ? , 2 4 2

ab ? 6 .-------------------------8 分

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab --------10 分

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121 11 ,∴ a ? b ? -----------------------------------------12 分 4 2 18.(Ⅰ)证明:因为 DE ? 平面 ABCD 所以 DE ? AC ------------------------------------------------------------2 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD

得出: (a ? b) 2 ?

DE ? BD ? D ,从而 AC ? 平面 BDE ---------------------------------------4 分

(Ⅱ)因为 DA, DC , DE 两两垂直,所以建立空间直角直角坐标系 D ? xyz 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60? ,即 ?BDE ? 60? -----------------------6 分 所以
ED ? 3 . 由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 DB

则 A(3,0,0), F (3,0, 6), E(0,0,3 6), B(3,3,0), C(0,3,0)

??? ? ??? ? 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3,0, ?2 6)
? ??? ? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ??? ,即 ? , ? n ? EF ? 0 3x ? 2 6 z ? 0 ? ? ? ? ? 令 z ? 6 ,则 n ? (4, 2, 6)

??? ? ??? ? 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3,0) ,

? ??? ? ? ??? ? n ? CA 6 13 ? 所以 cos ? n, CA ?? ? ??? ? 。 ? | n || CA | 3 2 ? 26 13
所以平面 BEF 与平面 BED 夹角的余弦为
13 ----------------------------------12 分 13

19. 解:(Ⅰ)设分数在 ?70,80? 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 3 , 所以分数在 ?70,80? 内 的人数为 60 ? 0.3 ? 18 -------------------------------------------------------------------3 分 ( Ⅱ ) 平 均 分 为

x?4

5?

0 ?

.

?

1

?----------6 分 5? 5

0

?

(Ⅲ)学生成绩在 ?40,60? 的有 0.25 ? 60 ? 15 人,在 ?60,80? 的有 60 ? 0.45 ? 27 人 在

?80,100?

0 的 有 6 ?

? . 3 0 1 人 , 8并 且

X

的 可 能 取 值 为

0,1,2,3,4.-------------------------8 分

第 7 页 共 10 页

则 P( X ? 0) ?

2 C15 C1 C 4 C1 C1 ? C 2 207 7 27 ; P( x ? 1) ? 15 2 27 ? ; P( X ? 2) ? 15 18 2 27 ? ; ? 2 C60 118 C60 118 C60 590

P( X ? 3) ?

1 1 C18C27 C2 81 51 ; P( X ? 4) ? 18 ? . ? 2 2 C60 295 C60 590

所以 X 的分布列为
X
P

0
7 118

1
27 118

2
207 590

3

4

81 51 295 590 ----------------------------10


EX ? 0 ? 7 27 207 81 51 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 2.1 -------------------------------12 118 118 590 295 590


x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

20。 解:(Ⅰ)设椭圆方程为

?2c ? 2 6 x2 y 2 ? ?1. 则解 ? ,得 a ? 2 2 。 所以椭圆方程为 ? 8 2 b? 2 ? ?

--------------------5

分 (Ⅱ)由题意 M (2,1) ,设直线 l 的方程为 y ?
1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 ,得 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0, 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
1 x ? m. 2

设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 k1 ?
y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0, 可得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4
k1 ? k2 ? y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
第 8 页 共 10 页

?

x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

2m2 ? 4 ? 2m2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ? 0 ,即 k1 ? k2 ? 0 ------------------------------------13 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
21。 解(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??), ----------------------------------------1 分 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x,
f ?( x) ? 1 ? 1 x ?1 ? ------------------------------2 分 x x

列表如下,分析 f ?( x ) 的符号、 f ( x) 的单调性和极值点。

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?
?

0 极 小值

?
?

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1 (Ⅱ)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 即在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 令 h( x ) ? x ?
1? a ? a ln x0 ? 0 x0

1? a ? a ln x, 则转化为在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 , x 1? a ) ? x ? la n x?1,e? 上 的 最 小 值 小 于 零 . 即 函 数 h( x? 在 , x --------------------------------6 分

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] h?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? x x x2 x2

①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h?( x) ? 0 ( 1 ? x ? e ), h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ?
1? a e2 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? 2 e e ?1

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 a ? 2 ;------------------------------------------------------9 分 e2 ? 1 e ?1

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②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h?( x) ? 0 ( 1 ? x ? e ), h( x) 在 ?1,e? 上单调递增,
1 1 ? ? 所以 h( x) 的最小值为 h(1) ,由 h() ? 1 ? a 0 可得 a ? ?2 ;------------------------11


h ③当 1 ? 1 ? a ? e , 0 ? a ? e ? 1 时, ?( x) ? 0 1 ? x ? 1 ? a ) h?() 0 ( 1 ? a ? x ? e ) 即 ( , x ?

h( x) 在 ?1,1 ? a? 上单调递减, h( x) 在 [1 ? a, e] 上单调递增

可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 , 此时 h(1 ? a) ? 0 不成立。 ---------------------------13 分 综上可知, a 的取值范围是 a ?
e2 ? 1 或 a ? ?2 e2 ? 1

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