高中数学常用结论(新课标文科版)


高中数学常用结论(文科版)

1.德摩根公式 C U ( A ? B ) ? C U A ? C U B ; C U ( A ? B ) ? C U A ? C U B . 2. A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? C U B ? C U A ? A ? C U B ? ? ? C U A ? B ? R 3. 若A={ a1 , a 2 , a 3 ? a n },则A的子集有 2 n 个,真子集有( 2 n -1)个,非空真子集有( 2 n -2) 个 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 ① 一 般 式 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? c ( a ? 0 ) ; ② 顶 点 式
f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0)
2

10. a n ? ?

? s1 ,

n ?1

? s n ? s n ?1 , n ? 2

( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ).

11.等差数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d n ? a1 ? d ( n ? N * ) ; 12.等差数列 ?a n ? 的变通项公式 a n ? a m ? ( n ? m ) d 对于等差数列 ?a n ? ,若 n ? m ? p ? q ,(m,n,p,q 为正整数)则 a n ? a m ? a p ? a q 。 13.若数列 ?a n ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k 成 等差数列。如下图所示:
S

;③零点式 f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 )( a ? 0) .
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

5.设 x1 ? x 2 ? ?a , b ?, x1 ? x 2 那么
( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
? 0 ? f ( x )在 ? a , b ?

上是增函数;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a k ? a k ? 1 ? ? ? a 2 k ? a 2 k ? 1 ? ? ? a 3 k ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2k

( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?

? 0 ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上是减函数.

设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; 如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. 6.函数 y ? f ( x ) 的图象的对称性: ①函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? f (2 a ? x ) ? f ( x ) ②函数 y ? f ( x ) 的图象关于直 x ?
a?b 2

其前 n 项和公式 s n ?

n ( a1 ? a n ) 2

? n a1 ?

n ( n ? 1) 2

d ?

d 2

n ? ( a1 ?
2

1 2

d )n

.

14.数列 ?a n ? 是等差数列 ? a n ? kn ? b ,数列 ?a n ? 是等差数列 ? S n = A n 2 ? B n 15.等比数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? a1 q n ? 1 ? 等比数列 ?a n ? 的变通项公式 a n 其前 n
? am q
n?m

a1 q

? q (n ? N ) ;
n *

对称 ? f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? f ( a ? b ? x ) ? f ( x ) .

③函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , 0 ) 对称 ? f ( x ) ? ? f (2 a ? x ) 函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称 ? f ( x ) ? 2 b ? f (2 a ? x )
m

? a 1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q ,q ? 1 ,q ? 1 ? ? 项的和公式 s n ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

7.分数指数幂 a n ?
? m n

n

a

m

( a ? 0, m , n ? N ? ,且 n ? 1 ).

16. 对于等比数列 ?a n ? ,若 n ? m ? u ? v (n,m,u,v 为正整数),则 a n ? a m ? a u ? a v
1 ? ? ? ? ?? n? ? ? ?? ,a ,a 。如图所示: a 1 , a 2 ? 3 , ?? ? 2 , a n ?1 , a n ? ?? n ? ? ? ?

a

?

1
m

a ?a

( a ? 0, m , n ? N ? ,且 n ? 1 ). 也就是: a 1 ? a n
? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ?

a

n

8. lo g a N ? b ? a b ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0 ) .
lo g a M ? lo g a N ? lo g a M N ( a ? 0.a ? 1, M ? 0, N ? 0)
lo g a M ? lo g a N ? lo g a M N
lo g m N lo g m a

a 2 ?a n ?1

17. 数列 ?a n ? 是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k 数列。如下图所示:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a k ? a k ? 1 ? ? ? a 2 k ? a 2 k ? 1 ? ? ? a 3 k ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2k S

? Sk

, S 3k

? S 2k

成等比

( a ? 0.a ? 1, M ? 0, N ? 0)

9.对数的换底公式 lo g a N ? 对数恒等式 a lo g
a

.推论 lo g a b n ?
m

n m

lo g a b

.

N

? N

( a ? 0, a ? 1 )

18. 同角三角函数的基本关系式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = 19. 正弦、余弦的诱导公式
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sin ? cos ?



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n ? ( ? 1) 2 sin ? , n 为 偶 数 ? sin ( ??) ? ? n ?1 2 ? ( ? 1) 2 co s ? , n 为 奇 数 ?

n?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? k?Z ? 2 2 ? ? ?

,对称轴为 x ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

,对称中心为 ? k ? , 0 ? ( k ? Z )

24. y ? cos x 的单调递增区间为 ? 2 k ? ? ? , 2 k ? ? k ? Z 单调递减区间为 ? 2 k ? , 2 k ? ? ? ? k ? Z , 对称轴为 x ? k ? ( k ? Z ) ,对称中心为 ? k ? ?
? ?

n ? 2 ? ( ? 1) co s ? , n 为 偶 数 co s( ??) ? ? n ?1 2 ? 2 sin ? , n 为 奇 数 ? ( ? 1)

n?

?

? , 0 ? (k ? Z ) 2 ?

即:奇变偶不变,符号看象限,如 20. 和角与差角公式

co s(? ?

?
2

) ? ? sin ? , sin (? ?

?
2

25. y ? tan x 的单调递增区间为 ? k ? ?
) ? co s ?
?

?

?
2

, k? ?

? ?

?k ? Z 2 ?

,对称中心为 ( ? , 0 )( k ? Z )
2

k

sin ( ? ? ? ) ? sin ? , co s( ? ? ? ) ? ? co s ?

26. 正弦定理

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R

27. 余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A ; b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos C . ; ; (2) S ?
2

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

28.面积定理(1) S ?
1 2 a b sin C ?

1 2 1 2

a ha ?

1 2

b hb ? 1 2

1 2

ch c

( h a、 hb、 hc 分别表示 a、b、c 边上的高). .

tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2

. (平方正弦公式); .
b a

b c sin A ?

ca sin B

sin (? ? ? ) sin (? ? ? ) ? sin ? ? sin ?
2 2

29.三角形内角和定理

在△ABC 中,有
C 2 ?

cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ?
a sin ? ? b cos ?

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B) ?

?
2

?

A?B 2

? 2 C ? 2? ? 2( A ? B ) .

= a 2 ? b 2 sin (? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 的象限决定, tan ? ?
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 2

).

30.平面两点间的距离公式
d A,B

21. 二倍角公式
2

.
2

= | A B |?

??? ?

??? ??? ? ? AB ? AB ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2

2

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ).

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?

.(升幂公式)

31.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0,则 a∥b ? b=λ a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . 32.若 O A ? xO B ? y O B 则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1 33. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、B(x 2 ,y 2 ) 、C(x 3 ,y 3 ) , 则△ABC 的重心的坐标是 G ( 34.常用不等式:
? ?
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

co s ? ?
2

1 ? co s 2 ? 2

, sin ? ?
2

1 ? co s 2 ? 2

(降幂公式)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

.

??? ?

??? ?

??? ?

22. 三函数的周期公式 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? A co s(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?
2?

?

;若ω 未说明大于 0,则 T ?
?
2 ,k ? Z
? ?

2? |? |

(1) a , b ? R ? a 2 ? b 2 ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). . (2) a , b ? R ? ?
a?b 2 ? ab

函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k ? ?

(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?
?
2 , 2k? ?

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

23. y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2 k ? ?

? ?
2? ?

k?Z

单调递减区间为

(3) a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3 abc ( a ? 0, b ? 0, c ? 0).
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(4)

2 1 a ? 1 b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

( a ? 0, b ? 0 )

d ?

| C 2 ? C1 | A ?B
2 2

(直线 l 1 : A x ? B y ? C 1 ? 0, l 2 A x ? B y ? C 2 ? 0, C 1 ? C 2 ) ).

2

42. 圆的四种方程 已知 x , y 都是正数,则有 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). (3)圆的参数方程 ?
? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

35.极值定理

(1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 .
4 1

.

36.一元二次不等式 a x 2 ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) ( a ? 0, ? ? b 2 ? 4 ac ? 0) ,如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同 号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同
2

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 ) ( x ? x2 ) ? ( y ? y1 ) ( y ? y2 ) ? 0(圆的直径的端点是 A ( x1 , y1 ) 、
B ( x 2 , y 2 ) ).

号两根之外,异号两根之间.
x1 ? x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0( x1 ? x 2 ) ; x ? x1 , 或 x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0( x1 ? x 2 ) .

43.圆中有关重要结论: (1)若 P( x 0 , y 0 )是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的点,则过点 P( x 0 , y 0 )的切线方程为 xx 0 ? yy 0 ? r 2 (2) 若 P( x 0 , y 0 ) 是 圆 ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? r2 上 的 点 , 则 过 点 P( x 0 , y 0 ) 的 切 线 方 程 为
( x 0 ? a )( x ? a ) ? ( y 0 ? b )( y ? b ) ? r
2

37.斜率公式 k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) )
b

直线的方向向量 v=(a,b),则直线的斜率为 k = ( a ? 0 )
a

(3) 若 P( x 0 , y 0 )是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外一点,由 P( x 0 , y 0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 xx 0 ? yy 0 ? r 2 (4) 若 P( x 0 , y 0 )是圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 外一点, 由 P( x 0 , y 0 )向圆引两条切线, 切点分 别为 A,B 则直线 AB 的方程为 ( x 0 ? a )( x ? a ) ? ( y 0 ? b )( y ? b ) ? r 2 44.椭圆
x a
2 2

38.直线方程的五种形式: (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式 (5)一般式
x a

y ? y1 y 2 ? y1
? y b

?

x ? x1 x 2 ? x1

( y1 ? y 2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 )).

? x a
2 2

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) y b
2 2

的参数方程是 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?
a

.
2

? 1( a , b 分 别 为 x 轴 y 轴 上 的 截 距 , 且 a ? 0 , b ? 0 )

45.双曲线 双曲线
x b

? y a

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的准线方程为 x ? ?

c

2 2

2 2

Ax ? By ? C ? 0

(其中 A、B 不同时为 0).

? x a
2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) y b
2 2

的准线方程为 y ? ?

a

2

39.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ① l1 ? l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ;② l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 , ① l1 ? l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C 2 ? A2 C 1 ? 0 ;② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ; 40.点到直线的距离 d ? 41.两条平行线的间距离
| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

c ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的渐近线方程为 y ? ?
b a x

46. 双曲线 双曲线
x b
2 2

? y a
2 2

?

? 1( a ? 0, b ? 0 )

的的渐近线方程为 y ? ?
y?
2

a b

x

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ).

47. 抛 物 线 y 2 ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P (
y? ? 2 p x? .
2

2p

, y? )

或 P ( 2 pt 2 , 2 pt ) 或

P ( x? , y? ) , 其 中

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48. P( x 0 , y 0 )是抛物线 y 2 ? 2 px 上的一点,F 是它的焦点,则|PF|= x 0 + 49.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 A B ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 或
A B ? | x1 ? x 2 | 1 ? k
2

p 2

也和这条斜线垂直(4)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它 也和这条斜线的射影垂直(5)一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一 条垂直. 58.判定线面垂直的方法: (1)定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则 线面垂直(2)如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直(3)如果两 条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面(4)一条直线垂直于两 个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面(5)如果两个平面垂直,那么在一个 平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 (6) 如果两个相交平面都垂直于另一个平 面,那么它们的交线垂直于另一个平面. 59.判定面面垂直的方法: (1)定义:两面成直二面角,则两面垂直(2)一个平面经过另 一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面. 60.面面垂直的性质: (1)二面角的平面角为 90 ? (2)在一个平面内垂直于交线的直线必 垂直于另一个平面(3)相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面. 61.等可能性事件的概率 P ( A ) ?
m n S h ,V柱 ? S h

?

? a

1? k

2

(弦端点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由方程 ?

? y ? kx ? b ?F(x, y) ? 0

消去 y

得到 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为直线的斜率). 若(弦端点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由方程 ? 直线的斜率).则 A B ? | y 1 ? y 2 | 1 ? 50.共线向量定理
? y ? kx ? b ?F(x, y) ? 0

消去 x 得到 a y 2 ? b y ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为
1 k
2

1 k
2

?

? a

1?

对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.
S
'

51. 面积射影定理 S ?

co s ?

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 52.球的半径是 R,则其体积是 V ?
4 3



? R ,其表面积是 S ? 4? R . V 锥 ?
3
2

1 3

62.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 63.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 64.函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ?( x 0 ) , 相 应的切线方程是 y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) . 65.导数与函数的单调性的关系:㈠ f ? ( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f ? ( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件. 66.几个容易记错的求导公式: 67.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:
( a ) ? ? a ln a
x x

53.判定两线平行的方法: (1)平行于同一直线的两条直线互相平行(2)垂直于同一平面 的两条直线互相平行(3)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行(5)在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明. 54.判定线面平行的方法: (1)据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点(2)如果平 面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行(3)两面平 行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(4)平面外的两条平行直线中的一条 平行于平面,则另一条也平行于该平面(5)平面外的一条直线和两个平行平面中的一个 平面平行,则也平行于另一个平面. 55.判定面面平行的方法: (1)定义:没有公共点(2)如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,则两面平行(3)垂直于同一直线的两个平面平行(4)平行于同一 平面的两个平面平行. 56.面面平行的性质: (1)两平行平面没有公共点(2)两平面平行,则一个平面上的任一 直线平行于另一平面(3)两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行(4)垂直于两 平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面. 57.判定两线垂直的方法: (1)定义:成 90 ? 角(2)直线和平面垂直,则该线与平面内任 一直线垂直(3)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它

(e )? ? e
x

x

(log

a

x)? ?

1 x ln a

(ln x ) ? ?

1 x

① f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 正比例函数 f ( x ) ? kx ( k ? 0 ) ② f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x ) ? a x ③ f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; f (
x1 x2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x ) ? log a x
1 n

68.n 个数据 x1 , x 2 , x 3 ? x n ,则它们的平均数为 x ?
1 n

( x1 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ) ,

方差 s 2 = [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ( x 3 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ]

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