2014届高考理科学数学第一轮复习导学案9.doc


学案 10

函数的图象

导学目标: 1.掌握作函数图象的两种基本方法:描点法,图象 变换法.2.掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质.

自主梳理 1.应掌握的基本函数的图象有:一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数等. 2.利用描点法作图:①确定函数的定义域;②化简函数的解析 式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);④画出函数的图 象. 3.利用基本函数图象的变换作图: (1) 平移变换:函数 y = f(x + a) 的图象可由 y = f(x) 的图象向 ____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到;函数 y=f(x)+a 的图 象可由函数 y=f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位 得到. (2)伸缩变换:函数 y=f(ax) (a>0)的图象可由 y=f(x)的图象沿 x 1 轴伸长(0<a<1)或缩短(____)到原来的a倍得到;函数 y=af(x) (a>0)的 图象可由函数 y=f(x)的图象沿 y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来 的____倍得到.(可以结合三角函数中的图象变换加以理解) (3)对称变换:①奇函数的图象关于______对称;偶函数的图象 关于____轴对称; ②f(x)与 f(-x)的图象关于____轴对称; ③f(x)与-f(x)的图象关于____轴对称; ④f(x)与-f(-x)的图象关于______对称; ⑤f(x)与 f(2a-x)的图象关于直线______对称; ⑥曲线 f(x,y)=0 与曲线 f(2a-x,2b-y)=0 关于点______对称; ⑦|f(x)|的图象先保留 f(x)原来在 x 轴______的图象,作出 x 轴下 方的图象关于 x 轴的对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; ⑧f(|x|)的图象先保留 f(x)在 y 轴______的图象,擦去 y 轴左方的 图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到. 自我检测 x+3 1.(2009· 北京改编)为了得到函数 y=lg 10 的图象,只需把函数 y = lg x 的图 象上所 有 的点 向 ( 填“左 ” 或“ 右”)________ 平 移 ________ 个 单 位 长 度 , 再 向 ( 填 “ 上 ” 或 “ 下 ”)________ 平 移

________个单位长度. 2.(2010· 烟台一模)已知图 1 是函数 y=f(x)的图象,则图 2 中的 图象对应的函数可能是________(填序号).

①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=f(-|x|);④y=-f(-|x|). 1 3.函数 f(x)=x -x 的图象关于________对称. 4.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________. 5.(2011· 淮安模拟)已知 f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1), 若 f(4)· g(-4)<0,则 y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是 ________(填序号).

探究点一 作图 例 1 (1)作函数 y=|x-x2|的图象; (2)作函数 y=x2-|x|的图象; ?1? (3)作函数 y=?2?|x|的图象. ? ?

1 变式迁移 1 作函数 y= 的图象. |x|-1

探究点二 识图 例 2 (1)函数 y ? 2 log x |的图象大致是________(填入正确的序号).
2

(2)函数 f(x)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式是下列四 者之一,正确的序号为________.

①f(x)=x+sin x; cos x ②f(x)= x ; ③f(x)=xcos x; π 3π ④f(x)=x· (x-2)· (x- 2 ). 变式迁移 2 已知 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(1-x)的图象 为________(填序号).

探究点三 图象的应用 例 3 若关于 x 的方程|x2-4x+3|-a=x 至少有三个不相等的实 数根,试求实数 a 的取值范围.

变式迁移 3 (2010· 全国Ⅰ)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四 个交点,则 a 的取值范围为________. 数形结合思想 例 (5 分)(2010· 北京东城区一模)定义在 R 上的函数 y=f(x)是减 函数,且函数 y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,若 s,t 满足不 t 等式 f(s2-2s)≤-f(2t-t2). 则当 1≤s≤4 时, s的取值范围为________. ? 1 ? 答案 ?-2,1? ? ? 解析 因函数 y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,所以该函 数的图象向左平移一个单位后的解析式为 y=f(x), 即 y=f(x)的图象关 于(0,0)对称,所以 y=f(x)是奇函数.又 y=f(x)是 R 上的减函数,所 以 s2-2s≥t2-2t,令 y=x2-2x=(x-1)2-1, 图象的对称轴为 x=1, 当 1≤s≤4 时,要使 s2-2s≥t2-2t,即 s-1≥|t-1|, 1 t 当 t≥1 时,有 s≥t≥1,所以4≤s≤1; 当 t<1 时,即 s-1≥1-t,即 s+t≥2, 问题转化成了线性规划问题,画出由 1≤s≤4,t<1,s+t≥2 组 t 1 成的不等式组的可行域.s为可行域内的点到原点连线的斜率, 易知-2 t ≤s<1.

【突破思维障碍】 当 s, t 位于对称轴 x=1 的两边时, 如何由 s2-2s≥t2-2t 判断 s, t 之间的关系式, 这时 s, t 与对称轴 x=1 的距离的远近决定着不等式

s2-2s≥t2-2t 成立与否, 通过数形结合判断出关系式 s-1≥1-t, 从 而得出 s+t≥2,此时有一个隐含条件为 t<1,再结合 1≤s≤4 及要求 的式子的取值范围就能联想起线性规划, 从而突破了难点. 要画出 s, t t 所在区域时,要结合s的几何意义为点(s,t)和原点连线的斜率,确 定 s 为横轴,t 为纵轴. 【易错点剖析】 当得到不等式 s2-2s≥t2-2t 后,如果没有函数的思想将无法继 续求解,得到二次函数后也容易只考虑 s,t 都在二次函数 y=x2-2x 的增区间[1,+∞)内,忽略考虑 s,t 在二次函数对称轴两边的情况, 考虑了 s,t 在对称轴的两边,也容易漏掉隐含条件 t<1 及联想不起来 线性规划. 1.掌握作函数图象的两种基本方法 (描点法,图象变换法),在 画函数图象时,要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解 决问题. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图.对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布 范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性. (2)用图.函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系 问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重 要工具,要重视数形结合解题的思想方法,常用函数图象研究含参数 的方程或不等式解集的情况.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 4x+1 1.(2010· 重庆改编)函数 f(x)= 2x 的图象关于______对称. 2. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若当 x∈(0, +∞)时, f (x ) =lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围为__________________. 3.(2010· 北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数 y=logax,y x =a ,y=x+a 的图象,可能正确的是________(填序号).

x>0 -af(x)=0 恰有四个不同的实数解, 则实数 a 的取值范围为________. 2 5.设 b>0,二次函数 y=ax +bx+a2-1 的图象为下列之一,则 a 的值为________.

x ? ?2 , 4.设函数 f(x)=? 2 ? ?x -2x+1,

x≤0

,若关于 x 的方程 f2(x)

1 1 6.为了得到函数 y=3×(3)x 的图象,可以把函数 y=(3)x 的图象 向________平移________个单位长度. 7. (2011· 连云港模拟)若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1) 的图象有 2 个公共点,则 a 的取值范围为________. 8.如图所示,向高为 H 的水瓶 A、B、C、D 同时以等速注水, 注满为止.

(1)若水量 V 与水深 h 函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是 ________; (2)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图的(b), 则水瓶的形状 是________. (3)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图的(c), 则水瓶的形状 是________; (4)若水深 h 与注水时间 t 的函数的图象是图中的(d), 则水瓶的形 状是________.

二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)(2011· 无锡模拟)已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4) =0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求当 x∈[1,5)时函数的值域.

10.(14 分)当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的 取值范围.

e2 11.(14 分)已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0). (1)若 g(x)=m 有根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
2

答案 自主梳理 3.(1)左 右 |a| 上 下 |a| (2)a>1 a>1 ①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x=a ⑥(a,b) ⑦上方 ⑧右方 自我检测 1.左 3 下 1 2.③ 3.坐标原点

0<a<1

a

(3)

解析

?1 ? 1 ∵f(-x)=-x+x=-? x-x?=-f(x), ? ?

∴f(x)是奇函数,即 f(x)的图象关于原点对称. 4.(-1,0) 解析 作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象知满足条件的 x∈(- 1,0).

5.② 解析 由 f(4)· g(-4)<0 得 a2· loga4<0, ∴0<a<1. 课堂活动区 2 ? 0≤x≤1, ?x-x , 例 1 解 (1)y=? 2 ?-?x-x ?,x>1或x<0, ? 1? 1 ? ? x-2?2+ ,0≤x≤1, ?-? 4 ? ? 即 y=? 1? 1 ? ?x- ?2- , x>1或x<0, ? ?? 2? 4 其图象如图所示.

1? 1 ? ? ?x- ?2- ,x≥0, ?? 2? 4 (2)y=? 1? 1 ? ?x+ ?2- ,x<0, ? ?? 2? 4

其图象如图所示.

?1? ?1? (3)作出 y=?2?x 的图象,保留 y=?2?x 图象中 x≥0 的部分,加上 y ? ? ? ? ?1? =?2?x 的图象中 x>0 的部分关于 y 轴的对称部分, ? ? ?1? 即得 y=?2?|x|的图象. ? ?

定义域是{x|x∈R 且 x≠± 1}, 且函数是偶函数. 1 又当 x≥0 且 x≠1 时,y= . x-1 1 先作函数 y=x的图象,并将图象向右平移 1 个单位,得到函数 y 1 = (x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示). x-1

变式迁移 1 解

又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象, 1 得 y= 的图象(如图(b)所示). |x|-1 例 2 解题导引 对于给定的函数的图象,要能从图象的左右、 上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. 答案 (1)③ (2)③ ?1?0<x<1? 解析 (1)y=2|log2x|=?x , ?x?x>1? 所以图象画法正确的应为③. (2)由图象知 f(x)为奇函数,排除④; π 3 又 0,± , ± 2 2π 为方程 f(x)=0 的根,故应为③.

变式迁移 2 ① 解析 因为 f(1-x)=f(-(x-1)),故 y=f(1-x)的图象可以由 y =f(x)的图象按照如下变换得到:先将 y=f(x)的图象关于 y 轴翻折, 得 y=f(-x)的图象, 然后将 y=f(-x)的图象向右平移一个单位, 即得 y=f(-x+1)的图象.故应为①. 例 3 解题导引 原方程重新整理为|x2-4x+3|=x+a,将两边 分别设成一个函数并作出它们的图象, 即求两图象至少有三个交点时 a 的取值范围. 方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题,体现了《考 纲》中函数与方程的重要思想方法. 解 原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是,设 y=|x2-4x+3|, y=x+a,在同一坐标系下分别作出它们的图象.如图.

则当直线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 ? ?y=x+a y=-x2+4x-3 相切时, 由? , 得, x2-3x+a+3=0, 2 ?y=-x +4x-3 ? 由 Δ=9-4(a+3)=0, 3 得 a=-4. 3 由图象知当 a∈[-1,-4]时方程至少有三个根. 5 变式迁移 3 (1,4) 12 1 ? ? x - ? + a - , x≥0, ? 2 4 解析 y=x2-|x|+a=? 12 1 ? ? x + ? + a - ? 2 4, x<0. 当其图象如图所示时满足题意.

?a>1, 由图知? 1 ?a-4<1,

5 解得 1<a<4.

课后练习区 1.y 轴 解析 f(x)=2x+2-x,因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.所以 f(x)图象关于 y 轴对称. 2.(-1,0)∪(1,+∞) 解析 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,可以画出函数 f(x)在(0, +∞)上的图象. 又 f(x)为 R 上的奇函数,其图象关于原点对称,根据对称性,画 出函数在(-∞,0)上的图象.如图.

由图象可知,f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 3.④ 解析 ①、②、③中直线方程中的 a 的范围与对数函数中的 a 的 范围矛盾. 4.0<a<1 解析 由 f2(x)-af(x)=0 可得 f(x)=0 或 f(x)=a, 画出函数 y=f(x) 的图象如图所示,

显然当 f(x)=0 时,只有一个实数解,所以 f(x)=a 时应有三个实 数解. 结合图象不难得到 0<a<1. 5.-1 解析 ∵b>0,∴前两个图象不是给出的二次函数图象,又后两 b 个图象的对称轴都在 y 轴右边,∴-2a>0, ∴a<0,又∵图象过原点,∴a2-1=0,∴a=-1. 6.右 1

解析

1 1 ∵y=3×(3)x=(3)x-1,

1 1 ∴y=(3)x 向右平移 1 个单位便得到 y=(3)x-1. 1 7.(0,2) 解析 规范作图如下:

1 由图知 0<2a<1,所以 a∈(0,2). 8.(1)A (2)D (3)B (4)C 9 . 解 (1) ∵ f(4) = 0 , ∴ 4|m - 4| = 0 , 即 m = 4.…………………………………………(3 分) (2)f(x)=x|x-4| = 2 ? x≥4, ?x?x-4?=?x-2? -4, ? ????????????? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4, x<4. ? ?????(7 分) f(x)的图象如图所示.

(3) 由 图 可 知 , f(x) 的 减 区 间 是 [2,4].……………………………………………………(9 分) (4)由图象可知 f(x)>0 的解集为 {x|0<x<4 或 x>4}. ……………………………………………………………………… (12 分) (5)∵f(5)=5>4, 由 图 象 知 , 函 数 在 [1,5) 上 的 值 域 为 [0,5).……………………………………………(14 分) 10.解 设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,

要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,只需 f1(x)=(x -1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可.

当 0<a<1 时 , 由 图 象 知 显 然 不 成 立.……………………………………………………(5 分) 当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)= logax 的下方, 只需 f1(2)≤f2(2), 2 即 (2 - 1)2 ≤ loga2 , log ≥ a 1.………………………………………………………………(12 分) ∴ 1<a ≤ 2.………………………………………………………………………… ……(14 分) e2 11.解 (1)方法一 ∵x>0,∴g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, 等号成立的条件是 x=e. 故 g (x ) 的 值 域 是 [2e , + ∞),……………………………………………………………(4 分) 因 而 只 需 m ≥ 2e , 则 g(x) = m 就 有 根.…………………………………………………(6 分) e2 方法二 作出 g(x)=x+ x 的图象如图:

……………………………………………………………………… ……………………(4 分) 可 知 若 使 g(x) = m 有 根 , 则 只 需 m ≥ 2e.………………………………………………(6 分) 方法三 解方程由 g(x)=m,得 x2-mx+e2=0. 此 方 程 有 大 于 零 的 根 , 故

?m>0 ?2 ?Δ=m2-4e2≥0
等 价

????????????????(4 分)
?m>0 ? ?m≥2e或m≤-2e







m



2e.…………………………………………………(6 分) (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中函数 g(x) 与 f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ x (x>0)的图象.

∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下, 最 大 值 为 m - 1 + 2 e . …………………………………………………………………… (10 分) 故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴ m 的 取 值 范 围 是 ( - e2 + 2e + 1 , +

∞).………………………………………………(14 分)


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