云南省云天化中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 含解析 精品

云天化中学 2016—2017 学年上学期期末考试试卷 高 二 数学(理)
说明:1.时间:120 分钟; 分值:150 分; 2.本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将答案作答在答题卡上,在试卷上作答无效. 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意. )
1. 高二某班共有学生 56 人,座号分别为 1,2,3,…,56,现根据座号,用系统抽样的

方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 4 号、18 号、46 号同学在样本中,那么样本 中还有一个同学的座号是(
A. 30 B. 31 C. 32



D. 33

【答案】C 【解析】由题意得,样本间隔为 C. 2. 设 ,则另外一个号码为 ,则选

则“ ≥1 且 ≥1”是“
B. 充分不必要条件

≥ ”的(



A. 必要不充分条件 C. 充要条件 【答案】B

D. 既不充分又不必要条件

【解析】由题意得, 因为 ≥1 且 ≥1, 所以

, 充分性成立; ,因此“ ≥1 且 ≥1”是

但由 “

≥ 不一定得到 ≥1 且 ≥1,比如 ≥ ”的充分不必要条件,故选 B.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充要条件,属于基础题,判断充要条件要注意: 1.确定条件和结论分别是什么; 2.依据所学知识合理推导条件的成立性, 或通过举反例来判 定条件的不成立性. 3. 设 A. 5

是等差数列
B. 7 C. 9

的前 项和,
D. 11

,则

为(



【答案】A

【解析】由题意得,设数列的首项 又 4. 在区间 A. B.

,公差为 ,则 ,故选 A.

上随机取两个数
C. D.

,则事件“

≤ ”的概率是(



【答案】D 【解析】由题意得,如图所示: D. ,故选

5. 如果执行如图的程序框图,那么输出的 S=(



A. 22

B. 46

C. 94

D. 190

【答案】C 【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S 值. 解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 第二圈 3 10 第三圈 4 22 第四圈 5 46 第五圈 6 94 故输入的 S 值为 94 故选 C. 考点:循环结构;设计程序框图解决实际问题. 6. 如上图是一名篮球运动员在最近 5 场比赛中所得分数的茎叶图,若该运动员在这 是 是 是 是 否

5 场比赛中的得分的中位数为 12,则该运动员这 5 场比赛得分的平均数不可能为 (
A.


B. C. 14 D.

【答案】D 【解析】试题分析:若平均数为 ,可得 可得 ,中位数为 ,中位数为 ,可得 ,合题意;若平均数为 , ,中位数为 ,合题意;

,合题意;若平均数为 ,中位数为

若平均数为 ,可得 均数不可能为 ,故选 D.

,不合题意;所以该运动员这 场比赛得分的平

考点:1、茎叶图的应用;2、中位数与平均值的性质.

7. 已知

是椭圆 C:
1.若

的两个焦点, 为椭圆 C 上的一点, )


A. 3 B. 6

的面积为 9,则 =(
D. 2

C. 3

【答案】A 【解析】如图,

∵ 又 在

,∴ 的面积为 9,∴

为直角三角形,

中,由勾股定理得: ,

故选 A. 8. 直线 A. 【答案】B 【解析】由题意得,圆的方程可化为 圆心到直线 直线被圆截得的弦长为 的距离 ,故选 B. ,则圆心 ,半径为 B.

被圆
C. D.

截得的弦长等于(



9. 已知变量

满足
B. C.

,则
D.

的取值范围是(



A. 【答案】A

【解析】试题分析:由题意得,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,设目标函数

,当 ;当

过点

时,目标函数取得最大值,此时最大值为 过点 时,目标函数取得最小值,此时最小值为 ,故选 A.

,所以

的取值范围是

考点:简单的线性规划求最值. 10. 如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为





A. 8 C.

B. 4 D.

【答案】C 【解析】由三视图可知:该几何体的直观图如图所示, 由三视图特征可知, 平面 , 平面 , ,

,面积最小的为侧面 ∴ 故选:D.

11. 在平面直角坐标系

中,已知直线

与点

,若直线上存在 )

点 满足
A. C. 【答案】D 【解析】设 ∵直线 ∴ 整理,得 ∵直线上存在点 M,满足 ∴方程①有解, ∴ 解得: 故选:D. 12. 若以 , , B. D.

( 为坐标原点) ,则实数 的取值范围是(

与点

,直线上存在点 满足
, ①, ,





为焦点的双曲线与直线

有公共点,则该双曲线的

离心率的最小值为( )
A. B. C. D.

【答案】B 【解析】由题意,得 ,





∴ 越大 越小,而双曲线与直线相切时, 最大 设双曲线为 ,把直线 代入,化简整理可得

由△=0,解得: 于是 故选:B. .



【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,考查了双曲线的几何性质,联立方程利 用根的判别式 此时 最小. 求解,解题的关键是分析确定双曲线与直线相切时, 最大,进而得到

第Ⅱ卷 客观题(共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,4 小题共 20 分)
13. 在 【答案】 【解析】由题意可得, 14. 已知双曲线 ,则由正弦定理得, .

中,





,则边 的长为______.

(a>0, b>0)的一条渐近线过点

, 且双曲线的一个焦

点为
【答案】

,则双曲线的方程为______.

【解析】由题意可得,双曲线的渐近线方程为: ,又 ,则

,将点

代入到 .

得,

,双曲线的方程为:

15. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生, 将他们期中考试的数学成绩 (均为

整数)分成六段: [40,50) ,[50,60) ,…,[90,100]后得到频率分布直方图(如 右图所示) ,则分数在[70,80)内的人数是_______.
【答案】 【解析】试题分析:由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率,所有小长方形面积

80) 和为 1, 因此分数在[70, 内的概率为 人数为 考点:频率分布直方图 16. 椭圆



( 为定值, 且

)的左焦点为 , 直线

与椭圆交于



点,
【答案】

的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率为_____.

【解析】根据椭圆定义知:4a="12," 得 a="3" , 又

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

三、解答题(第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答应写出证明过程或演 算步骤)
17. 已知命题 :

,命题 :



) .

(1)若 是 的充分条件,求实数 的取值范围; (2)若
【答案】 (1) 【解析】试题分析:先解得 件, 故 由于 真, 假,故 , 由此解得 ; (2) 当



为真命题, ;(2)

为假命题,求实数 的取值范围. .
.(1)由于 是 的充分条 时, .

一真一假.分别令 真 假和 假 真,求得 的取值范围. ,对于 ∴ . , ,

试题解析: (1)对于 由已知, (2)若 真: 由已知, 、 一真一假. ①若 真 假,则 ②若 假 真,则 ,∴

,若 真:

,无解; ,∴ 的取值范围为 .

18. 某产品的三个质量指标分别为

,用综合指标

评价该产品的等

级,若

,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样

本,其质量指标列表如下:

产品编号 质量指标 (1,1,2) ( ) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)

产品编号 质量指标 (1,2,2) ( ) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”. 求事件 发生的概率.
【答案】(1)

(2)见解析.
的 、 、

【解析】 试题分析: (1) 首先将 3 项指标相加,求出综合指标 S.然后找出其中 产品,便可估计出该批产品的一等品率.(2) (1)根据(1)题结果可知, 、 、 、

为一等品,共 6 件.从这 6 件一等品中随机抽取 2 件产品的所有可能结果为: , , , ,共 15 种.(2)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分

别为







,则事件 B 发生的所有可能结果为 共 6 种.由古典概型概率公式可得

事件 B 发生的概率................... 试题解析: (1)10 件产品的综合指标 S 如下表所示: 产品编 号

S

4

4

6

3

4

5

4

5

3

5

其中

的有







、 .



,共 6 件,故该样本的一等品率为

,从

而可估计该批产品的一等品率为

(2) (1)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 , , ,共 15 种.(2)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分 别为 、 、 、 ,则事件 B 发生的所有可能结果为 共 6 种.所以 考点:1、频率;2、基本随机事件;3、古典概型. 19. 已知椭圆 的中心在原点,焦点在 轴上,长轴长为 ,且点 .

在椭圆 上.

(1)求椭圆 的方程; (2)斜率为 1 的直线 过椭圆的右焦点,交椭圆于
【答案】 (1)椭圆 的方程为

两点,求



; (2 )

【解析】试题分析: (1)利用椭圆长轴长设出椭圆方程,利用点在椭圆上,求出 ,即可得 到椭圆方程; (2)设出 ,直线的方程,联立直线与椭圆方程,设出 度即可. 试题解析:(1)因为椭圆 的焦点在 轴上且长轴长为 , 故可设椭圆 的方程为: 因为点 解得 在椭圆 上,所以 , . , , , 坐标,求出线段的长

∴椭圆 的方程为 (2)由题意直线的斜率是 ,过 故直线的方程是: 将 代入到方程

, 中,则

故 故 20. 设 .



的内角 所对应的边长

分别是 (1)求角 ; (2)若 ,





的面积为 的周长.

,求

【答案】 (1)

;(2)

.

【解析】试题分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公 式及诱导公式化简,根据 不为 0 求出 的值,即可确定出 的度数; 的值,即可

(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出 求 的周长.

试题解析: (1)

由正弦定理得:

,∵ ∴ (2)由余弦定理得: ∴ , ,

, ,∵

, ,∴ ,

,∴ ∴
21. 设数列

,∴



周长为 的前 项和为 ,且 .

(1) 求 的值,并用 (2) 求数列 (3) 设

表示 ;

的通项公式; ,求证: .

【答案】(1)

(

);(2)

;

(3) 见解析.
和 间的

【解析】试题分析: (1)首先利用赋值法求出数列的首项,进一步建立数列

联系(2)利用叠乘法求出数列的通项公式. (3)利用裂项相消法求出数列的和,进一步利 用放缩法求出结果. 试题解析:(1)由

,得



时, ( ),即 ( ).

(2) 由(Ⅰ),得 , 将以上 (3) ∵ . .
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式,考查了不等式的证明,确定数列的通项,利用递 推关系求数列的通项公式,属于难题,解决本类题目,需要学生掌握常见的递推关系求数列 的通项公式的方法,以及叠乘法,裂项相消法求出数列的和,合理利用放缩法证明不等式成 立是解题的关键. 22. 已知焦点在

, 个式子相乘,得

, .而

, ,故 .

轴上的椭圆 的中心是原点 ,离心率等于 ,直线 .

,以椭圆



长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 圆 交于 两个相异点,且

与 轴交于点 ,与椭

(1) 求椭圆 的方程; (2)是否存在 明理由.
【答案】(Ⅰ)

,使

?若存在,求

的取值范围;若不存在,请说

;(Ⅱ)





.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设出椭圆的标准方程,利用离心率、四边形的周长进行求解;(Ⅱ) 利用平面向量的线性运算得到 的关系,联立直线与椭圆的方程,得到关于 的一元二

次方程,利用椭圆的对称性、平面向量的坐标运算和判别式进行求解. 试题解析: (Ⅰ)根据已知设椭圆 的方程为 由已知得 ,∴ . , ,焦距为 ,

∵以椭圆 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 ∴ ∴椭圆 的方程为 (Ⅱ)根据已知得 ∴ 若 ∴ 若 设 . ,由 .∵ ,由椭圆的对称性得 能使 ,则 ,解得 成立. . ,由 , 由已知得 且 由 ∴ 当 ∵ ∴ 综上述,当 时, ,∴ ,解得 或 或 或 得 ,即 ,即 不成立.∴ ,即 . 时, .…10 分 .∴ . ,即 ,即 ,得 ,∴ .

. , .



.

,

, .

.

考点:1.椭圆的标准方程;2.平面向量的线性运算;3.直线与椭圆的位置关系.

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