[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科) 第二章 第12讲 函数模型及其应用[配套课件]_图文

第 12 讲 函数模型及其应用 考纲要求 考情风向标 1.了解指数函数、对数函 函数模型的实际应用问题,主要抓 数以及幂函数的增长特征, 好常见函数模型的训练,解答应用问题 知道直线上升、指数增长、 的重点在信息整理与建模上,建模后利 对数增长等不同函数类型 用函数知识分析解决问题.复习时应重 增长的含义. 点关注: 2.了解函数模型(如指数函 1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 数、对数函数、幂函数、 2.考查分段函数模型的建立及最值问题. 分段函数等在社会生活中 3.考查指数函数、对数函数、幂函数、 普遍使用的函数模型)的广 “对勾”型函数模型的建立及最值问题. 泛应用. 1.常见的几种函数模型 一次函数模型 常见 函数 模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 y=ax+b(a≠0) k y= (k≠0) x y=ax2 +bx+c(a≠0) y=N(1+p)x (x>0,p≠0)(增长率问题) (续表) 对数函数模型 常见 函数 模型 幂函数模型 y=blogax(x>0,a>0,且 a≠1) y=axn+b (a,b 为常数,a≠0) a y=x+ (x≠0) x 略 对勾函数模型 分段函数模型 2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的单调性 递增 单调________ y=logax(a>1) 单调递增 慢 越来越____ y=xn(n>0) 单调递增 增长速度 越来越快 相对平稳 随 n 值变化 而不同 随 x 值增大,图 随 x 值增大,图象 图象的变化 象与 y 轴接近平 与____ x 轴接近平 行 行 1.某一种商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价( D ) A.10% C.11% B.9% 1 D.119% 2 2.计算机的价格大约每3年下降 ,那么今年花8100元买 3 300 元. 的一台计算机,9年后的价格大约是________ 3.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机的可变成本为 3000 元,每台计算机 的售价为 5000 元.则: (1)总成本 C(单位:万元)关于总产量 x(单位:台)的函数关 C=200+0.3x(x∈N*) ; 系式为____________________ (2)单位成本 P(单位:万元)关于总产量 x(单位:台)的函数 200 P= +0.3(x∈N*) x 关系式为____________________ ; (3)销售收入 R(单位:万元)关于总产量 x(单位:台)的函数 R=0.5x(x∈N*) 关系式为____________________ ; (4)利润 L(单位:万元)关于总产量 x(单位:台)的函数关系 L=0.2x-200(x∈N*) 式为____________________. 4.已知函数 y1=2x 和 y2=x2. y2=x2 当 x∈(2,4]时,函数____________ 的值增长快; x y = 2 1 当 x∈(4,+∞)时,函数___________ 的值增长快. 考点 1 正比例、反比例和一次函数类的实际问题 例 1:(2013 年广东佛山一模)某工厂生产某种产品,每日 的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式 C =3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关系式为 k ? ?3x+ +5,?0<x<6?, x-8 S=? ? ?x≥6?. ?14, 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求 出最大值. k ? ?2x+ +2,0<x<6, x-8 解:(1)由题意,得L=? ? ?11-x,x≥6. k ∵当x=2时,L=3,∴3=2×2+ +2. 2-8 解得k=18. 18 (2)当0<x<6时,L=2x+ +2,则 x-8 ? 18 ? 18 ? L=2(x-8)+ +18=-?2?8-x?+8-x? ?+18 x-8 ? ? ≤-2 18 2?8-x?· +18=6. 8-x 18 当且仅当2(8-x)= ,即x=5时取得等号. 8-x 当x≥6时,L=11-x≤5. ∴当x=5时,L取得最大值,最大值为6. 答:当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万 元. a 【规律方法】对勾函数f?x?=x+ ?a>0?是正比例与反比例 x 函数的综合题型,解决这类问题首先考虑基本不等式,当基本 不等式中等号不成立时要利用函数的单调性求最值,当然也可 以利用导数求最值. 【互动探究】 1.(2014 年广东广州水平测试)做一个体积为 32 m3、高为 2 m 的无盖长方体的纸盒,用纸面积最小为( B ) A.64 m2 C.32 m2 B.48 m2 D.16 m2 16 解析:底面积为16,设一底边长为x,则另一底边为 x , ? ? ?16 ? 16 则用纸面积S=2 ?2× x +2x? +16=4 ? x +x? +16≥4×2 ? ? ? ? 16 · x x +16=48.故选B. 考点 2 二次函数类的实际应用题 例 2:(2013 年上海)如图 2-12-1,某校有一块形如直角三角 形 ABC 的空地,其中角 B 为直角,AB 长 40 m,BC 长 50 m. 现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为 矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积. 图 2-12-1 解:如图D6,设矩形为EBFP,FP长为x m,其中 0<x<40,健身房占地面积为y m2. FP CF x 50-BF ∵△CFP∽△CBA,∴BA=CB,即40= 50 . 5 求得BF=50- x. 4 ? 5 ? 5 2 ? ? 从而y=BF· FP= 50-4x x

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