【解析】上海市闵行区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题

闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(文科)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 4i ( i 为虚数单位),则 z ? _________________. 【答案】 2 ? 2i 解:由 (1 ? i) z ? 4i 得 z ?

4i 4i(1 ? i) 4i ? 4i 2 4 ? 4i ? ? ? ? 2 ? 2i 。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2
.

2.函数 y ? log2 (1 ? x2 ) 的定义域为 【答案】 (?1,1)

2 2 解:要使函数有意义,则有 1 ? x ? 0 ,即 x ? 1 ,所以 ?1 ? x ? 1 。即函数的定义域为 (?1,1) 。

3.已知集合 A ? {a, b, c, d , e}, B ? {c, d , e, f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? ( A ? B) 中元素的个数为 U __________________. 【答案】 3

? 解 : 因 为 U ? A

B 所 以 U? A ? ,

? { , a , b , c , d , 所f 以 A ? B { c d , 所 以 B ,e } ? , , } e

? ( A ? B) ? {a, b, f } ,所以集合 ? ( A ? B) 中元素的个数为 3 个。 U U
4.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的圆心重合,则 m 的值是 【答案】 ?2 解:抛物线的焦点坐标为 (1, 0) 。圆的标准方程为 ( x ? 以由 ? .

m m 2 m2 ) ? y2 ? 4 ? ,所以圆心坐标为 ( ? , 0) ,所 2 2 4

m ? 1 得 m ? ?2 。 2

x 5 . 已 知 函 数 y ? g ( x) 的 图 像 与 函 数 y ? 3 ? 1 的 图 像 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则 g (10) 的 值

为 【答案】 2

.

x x 解: 因为 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? 3 ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称, y ? g ( x) 与 y ? 3 ? 1 互为反函 则 x 数。所以由 y ? 3 ? 1 ? 10 得 3 ? 9 ,解得 x ? 2 ,所以 g (10) ? 2 。
x

第1页

6. (文)若二项式 x ? 1 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系数中最大的
2

?

?

n

是 【答案】 20

. (用数字作答)

3 解:令 x ? 1 ,得二项式的各项系数为 (1 ? 1)n ? 2n ? 64 ,所以 n ? 6 。所以二项式系数最大的为 C6 ? 20 。

7. (文)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? (?3)n ? r ( r 是常数),则数列 {an } 是等比数列的充要条 件是 【答案】 r ? ?1 解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ? r 。当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (?3)n ? (?3)n?1 ? ?4 ? (?3)n?1 ,所以要使 .

{an } 是等比数列,则当 n ? 1 时, an ? ?4 ? (?3)n?1 ? a1 ,即 ?4 ? ?3 ? r ,所以 r ? ?1 。
8.某算法的程序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的值为 .

【答案】 5 解:第一次循环,满足条件, S ? 2, i ? 2 ;第二次循环,满足条件, S ? 2 ? 22 ? 6, i ? 3 ;第三次循环,满 足条件, S ? 6 ? 23 ? 14, i ? 4 ;第四次循环,满足条件, S ? 14 ? 24 ? 30, i ? 5 ;第五次循环,满足条件,

S ? 30 ? 25 ? 62, i ? 6 第六次循环,不满足条件,输出 S ? 62 ,所以此时 n ? 5 。
9. (文)某高校随机抽查 720 名的在校大学生,询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息,得到的 结果如右表,已知这 720 名大学生中随机抽取一名,了解商品最新信息的概率是

11 ,则 p ? 18

.

第2页

【答案】200 解:了解商品最新信息的人数有 160 ? 480 ? p ? 640 ? p ,由 10.已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ?1) 与 y ?

640 ? p 11 ? ,解得 p ? 200 720 18

?

2

8 的图像的交点为 P ,过 P 作 PP ? x 轴于 P ,直 1 1 3
.

线 PP 与 y ? tan x 的图像交于点 P ,则线段 PP 的长为 1 1 2 2

【答案】

2 4

8 1 1 1 8 ,得 sin x ? ,所以 x ? arc sin ,即 P (arc sin , ) ,因为 PP ? x 轴于 P , 1 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 s ) 所 以 P ( a r c i n , 0, 所 以 P 的 纵 坐 标 为 y ? t a n ( a r c s i n, ) P2 (arcsin , tan(arcsin )) , 所 以 即 1 2 3 3 3 3
解:由 y ? 2(sin x ? 1) ?

1 2 P P2 ? tan(arcsin ) . 1 3 4
11. (文)已知不等式 x ? a ? x ? 1对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 a ? 1 或 a ? 3 解: 0 ? x ? 1 时,?1 ? x ? 1 ? 0 , 当 此时不等式 x ? a ? x ? 1成立, 所以只考虑 1 ? x ? 2 时, x ? a ? 0 , 若 则不等式 x ? a ? x ?1 等价为 x ? a ? x ?1 ,此时 a ? 1 。若 x ? a ? 0 ,则不等式 x ? a ? x ? 1 等价为 .

? x ? a ? x ?1 ,即 a ? 2 x ? 1 ,因为 1 ? x ? 2 ,所以 1 ? 2 x ? 1 ? 3 ,所以 a ? 3 。所以实数 a 的取值范围
是 a ? 1或 a ? 3。

?x ? , ?1 ? x ? 1 ?cos 2 2 12. (文)已知函数 f ( x ) ? ? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实根的个 ? x 2 ? 1, | x |? 1 ?
数是___ 【答案】5 解:由 _.

f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 得 f ( x) ? 1 或 f ( x) ? 2 。 当 ?1 ? x ? 1 时 , ?

?
2

?

?x
2

?

?
2

,此时

, 0 ? f (x )? 1 由 f ( x) ? 1 ,得 x ? 0 。当 x ? 1 时,若 f ( x) ? 1 ,得 x 2 ? 1 ? 1 ,即 x 2 ? 2 ,此时 x ? ? 2 。 若 f ( x) ? 2 ,得 x ? 1 ? 2 ,即 x ? 3 ,此时 x ? ? 3 。所以关于 x 的方程
2

2

f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实

第3页

根的个数共有 5 个。

n 14. (文) 如下图, 对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的 “分裂” (其中 m、 ? N ): 例如 7
*

2

的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 m ?
3

.

22

32

1 3 1 3 5

23

3

5 9 11
7

24

7

33

34

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13

【答案】 15 解:解:由 2 ? 3 ? 5 ,分裂中的第一个数是: 3 ? 2 ?1 ? 1 ,
3

33 ? 7 ? 9 ? 11,分裂中的第一个数是: 7 ? 3 ? 2 ? 1 , 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,分裂中的第一个数是: 13 ? 4 ? 3 ? 1 ,
? 发现奇数的个数与前面的底数相同,每一组分裂中的第一个数是底数×(底数﹣1)+1, ∴ 15 ,分裂中的第一个数是: 31 ? 15 ?14 ? 1 ? 211 ,
3

∴若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 m 的值是 15. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 A, B, C , D 是空间四点,命题甲: A, B, C , D 四点不共面,命题乙:直线 AC 和 BD 不相交,则 甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 解:若 A, B, C , D 四点不共面,则直线 AC 和 BD 不共面,所以 AC 和 BD 不相交。若直线 AC 和 BD 不 相交, AC 和 BD 平行时, A, B, C , D 四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件,选 A. 16.(文)若向量 m, n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? m ? n ? [答](
0

3

[答](

)

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?? ?

??

?

??

?

?? ?? ?? ?



(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 2

(D) 1 ?

3 2

第4页

【答案】B

1 3 ? ,选 B. 2 2 17.(文)已知函数 f ( x) ?| arctan x | ,若存在 x1 , x2 ?[a, b] ,且 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则以下
解: m ? m ? m ? n ? m ? m n cos 60 ? 1 ?
?

?? ?? ?? ?

?? 2

?? ?

对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) b ? 0

[答]( (D) b ? 0



【答案】A 解:由函数 f ( x ) 的图象可知当 x ? 0 时,函数单调递增,当 x ? 0 时,函数递减。若 a ? 0 ,则函数在 [ a, b] 上单调递增,所以条件不成立。所以必有 a ? 0 ,所以选 A. 18. (文)数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 则 S2013 的值为 (A) 2013 【答案】D 解 : 因 为 (B) 671 (C) ?671

2n? (n ? N ? ) ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 3
)
671 2

[答] (

(D) ?

a3n? ?

2

a n? ?

3

a n 1?

?

a3 ? n

, an ? ? 所 ? 3 ,

2

以 n? a 以

3

?

a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ? a3n?2 ? a3n?2?1 ? a3n?2?2

? cos

2(3n ? 2)? 4? 4? 1 ? cos(2n? ? ) ? cos(? ) ? ? 3 3 3 2



1 671 S2013 ? 671? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 671? (? ) ? ? ,选 D. 2 2
三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

2sin x sin x ? cos x

3(sin x ? cos x) ; cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ? 解:

?

) , x ?[0, ] 的值域. 2 2

?

第5页

20.(文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分.

x2 y 2 ? ? 1, 已知椭圆 E 的方程为 右焦点为 F , 直线 l 的 4 3
角为

y

倾斜

? , 直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q , Q 在 y 轴的右侧, 且 4

O F Q A B

l

x

设直

线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A, B . (1)求直线 l 的方程; (2)求 ?ABF 的面积. 解:

21.(文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. . 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开 始上课时, 学生的注意力逐步增强, 随后学生的注意力开始分散。 经过实验分析, 得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学生处于“理想 听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题?(精确到 1 分钟) 解:

第6页

22.(文) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)用定义证明函数 f ( x ) 在 D 上是增函数; (3)如果当 x ? (t , a) 时,函数 f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值. 解: 23.(文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分.
2 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * )

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式;
2 (2)是否存在 k ? N ,使得 Sk 2 ? ak ?2048 ,若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由;
*

(3)证明:对任意 m、、 ? N *, ? p ? 2k ,都有 k p m

1 1 2 ? ? . Sm S p Sk

解:

第7页

闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分标 准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生 的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响 程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就 不给分. 一、 1 题至第 14 题) 1.2 ? 2i ; (第 7.文 r ? ?1 ; 8. 5 ; 2.(?1,1) ; 10. 3.3 ; 4.?2 ; 5.2 ; 6.20 ; 12.文

9.文 200 ;

2 ; 4

11.文 a ? 1 或 a ? 3 ;

1 ; 3

13.文 5 ;

14.文 15 . 15.A; 16.B; 17.A; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x) ?

2sin x sin x ? cos x

3(sin x ? cos x) ? sin2 x ? 3cos2 x ? 2sin(2 x ? ? ) ?3 分 cos x 3
???????3 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? (2) y ? f ( x ?

?

? ? 2? ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) ?????????2 分 2 2 3 3
2? 2? ? 2? 3 ? 2x ? ? , ?1 ? sin(2 x ? ) ? ?????2 分 3 3 3 3 2
???????2 分

∵ x ?[0, ] ,∴ ?

?

2

∴ y?[?2, 3] . 另解: y ? f ( x ?

?

) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? ?2sin(2 x ? ) ?2 分 2 2 3 3 3

?

?

?

?

∵ x ?[0, ] ,∴

?

?
3

2

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ????????2 分 ,? 3 2 3
??????????2 分

∴ ?2 ? ?2sin(2 x ?

?
3

) ? 3 ,即 y?[?2, 3] .

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ;
第8页

????2 分

2 当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分

1 8

所以 x ? ?6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

?

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ??0,6? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24) 即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分
2

1 8

解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

(文) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ?????????????2 分

? y ? x? 6 ? 2 由 ? x2 y2 得 7 x ? 8 6 x ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

??????????2 分

x1 ? x2 ?

8 6 12 , x1 x2 ? 7 7 4 6 7
?????2 分

| AB |? 1 ? 1 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
又 F (1, 0) ,所以 F 到直线 l 的距离 d ? 所以 ?ABF 的面积为

|1 ? 6 | 1 ? (2 3 ? 2) 2 2

??2 分

1 2 | AB | d ? (3 2 ? 2 3) 2 7

?????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,
第9页

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 ?????????????2 分
2 2

(2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |? OA ? OQ ?

x12 ? y12 ? 3

[

1 x12 y12 又 ? ? 1 得 | AQ |? x1 2 4 3
| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y12


?????????????????2 分

1 x12 y12 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 ?????2 分 2 4 3
?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 (文) (答案与评分标准同理科第 20 题) 22. [解](理) (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? ?????2 分 1? x

对任意 x ? D, f (? x) ? log a

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?

?1

所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a 所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?
?????????????2 分

1? x 2 1? x ? ?1 ? 知,函数 g ( x ) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, 1? x x ?1 1? x

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x 1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 )?????2 分 故 g (a) ? 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去) .
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1

?????????????2 分
第 10 页

(3)假设存在 x3 ? (?1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 即 log a

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 ? log a ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 , log a ( ? ) ? log a ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
解得 x3 ?

x1 ? x2 , 1 ? x1 x2

?????????????3 分
2

? x ?x ? x ? x2 ? (?1,1), 即证: 1 2 ? ? 1 . 下证: x3 ? 1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ?
2 2 2 ? x ? x2 ? ( x ? x )2 ? (1 ? x1 x2 )2 x12 ? x2 ? 1 ? x12 x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ?1 ? 1 2 ? ?? 证明: ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 ? 1 ? x1 x2 ? 2

? x1,x2 ? (?1, ,∴ 1 ? x12 ? 0, ? x22 ? 0 , (1 ? x1 x2 )2 ? 0 1) 1
? x ?x ? ? x ?x ? (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ∴ ? 0 ,即 ? 1 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 2 ? ? 1 (1 ? x1 x2 )2 ? 1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2 2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 x2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 . 1 ? x1 x2 ? ?

? x1 , x2 ? (?1,1) ,∴ 1 ? x12 ? 0,1 ? x22 ? 0, ∴ (1 ? x12 )(1 ? x22 ) ? 0 ,
? x ? x2 ? ∴? 1 ? ? 1. 1 ? x1 x2 ? ?
所以存在 x3 ?
2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? 1? x
?1

?????3 分

(文) (1)令

?????2 分

对任意 x ? D, f (? x) ? log a 所以函数 f ( x ) 是奇函数.

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
?????2 分

另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?
第 11 页

所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)设 x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 ,

??????????2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? log a ? log a ( ? ) ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )
????2 分

∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 0 ∴

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?1 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∵0 ? a ?1

∴ log a

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ???2 分 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 D 上是增函数. ??????????????????2 分

(3)由(2)知,函数 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数, 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? , 所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x ) ? 故 g (a) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x

?????2 分 ???????2 分

1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 ) 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去)
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1

???????????????2 分

2 2 23. [解](理) (1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 . 2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,
2 又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

??????????2 分

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2n ?1 (2)由(1)知 S n ?
2

???????????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2
2 2

∴ Sm ? m , k ? k , p ? p S S

??????????2 分
第 12 页

于是

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p2 ? m2 ) ? 2m2 p2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2 k 2

m? p 2 2 ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? , m2 p 2k 2 (

??????????2 分

?


mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ? ? Sm S p Sk
??????????2 分 ??????????1 分

(3)结论成立,证明如下:

[来

设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 S n ? na1 ? 于是 S m ? S p ? 2S k ? ma1 ?

n(a1 ? an ) n(n ?1) d? 2 2

m(m ?1) p( p ?1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ? 1)d ] 2 2
?????????2 分

? (m ? p)a1 ?

m2 ? p 2 ? m ? p d ? (2ka1 ? k 2 d ? kd ) 2

将 m ? p ? 2k 代入得, Sm ? S p ? 2Sk ? ∴ Sm ? S p ? 2Sk 又 Sm S p ?

(m ? p) 2 d ?0, 4
??????????2 分

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4

?

mp[a12 ? (am ? a p )a1 ? am a p ] 4

a ?a m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1ak ? ( m p )2 ] 2 ? 2 4 (
?

2 k 2 (a12 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak )2 ? ? Sk2 4 4

??????????2 分

1 1 Sm ? S p 2Sk 2 ? ? ? 2 ? . Sm S p Sm S p Sk Sk
2

??????????1 分

2 (文)(1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 .

两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,
2 2

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

??????????2 分

2 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列.????????2 分
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∴ an ? 2n ?1 (2) 由(1)知 S n ?

??????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2

??????????2 分

假设正整数 k 满足条件, 则 (k 2 )2 ? [2(k ? 2048) ?1]2 ∴ k 2 ? 2(k ? 2048) ?1 , 解得 k ? 65 ; (3) Sm ? m2, k ? k 2, p ? p2 S S 于是 ??????????3 分 ??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p2 ? m2 ) ? 2m2 p2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2 k 2

m? p 2 2 ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? m2 p 2k 2 (

??????????2 分

?


mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ? ? Sm S p Sk

??????????3 分

??????????1 分

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