数学新课堂同步人教A版必修一实用课件:第2章 2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

阶 段 一 第 2 课时 指数函数及其性质的应用 学 业 分 层 测 评 阶 段 二 1.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解 不等式.(重点) 2.通过本节内容的学习,进一步体会函数图象是研究函数的重要工具,并能运 用指数函数研究一些实际问题.(难点) [小组合作型] 比较大小与解不等式 (1)设 A.c<b<a C.b<c<a c= ,则a,b,c的大小顺序为( B.c<a<b D.b<a<c ) (2)设0<a<1,使不等式 成立的x的集合是______. 【精彩点拨】 (1)利用指数函数的单调性即可判断. (2)先根据0<a<1,得到y=ax为减函数,再根据指数函数的单调性得到x2- 2x+1<x2-3x+5,解得即可. 【自主解答】 ?4? 1 1 ? ?x ∵指数函数y=?3? 为增函数, > ,∴a>b>1,∴a>b>c,故选A. 3 4 ? ? (2)∵0<a<1,∴y=ax为减函数.∵ax2-2x+1>ax2-3x+5, ∴x2-2x+1<x2-3x+5,解得x<4. 【答案】 (1)A (2)(-∞,4) 1.比较幂的大小的方法 (1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较,可以利用指数函数的单调性 来判断. (2)对于底数不同,指数相同的幂的大小的比较,可利用指数函数的图象的变 化规律来判断. (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较,则应通过中间值来判断. 2.指数型不等式 af(x)>ag(x)(a>0,且 a≠1)的解法 (1)当 a>1 时,f(x)>g(x); (2)当 0<a<1 时,f(x)<g(x). [再练一题] 1.设a=9 ,b=27 A.a>b>c C.b>a>c 0.9 0.48 ?1? ?-1.5 ,c=? ?3? ,则a,b,c的大小顺序为( ? ? ) B.a>c>b D.c>a>b 【解析】 因为函数y=3x在R上单调递增,a=31.8,b=270.48=31.44, c=31.5.∴a>c>b. 【答案】 B a-2x 已知函数f(x)= x(a∈R),且x∈R时,总有f(-x)=-f(x)成立. 1+2 (1)求a的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)求f(x)在[0,2]上的值域. 与指数函数有关的最值或值域问 题 【精彩点拨】 (1)根据条件建立方程关系即可求a的值; (2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f(x)的单调性; (3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f(x)在[0,2]上的值域. a-2-x a-2x 【自主解答】 (1)∵f(-x)=-f(x),∴ -x=- x, 1+2 1+2 a· 2x-1 2x-a 1-2x 即 x = x,∴a=1,∴f(x)= x. 1+2 1+2 1+2 (2)函数f(x)为R上的减函数, 证明如下:∵f(x)的定义域为R, 1-2x2 1-2x1 2?2x1-2x2? ∴任取x1,x2∈R,且x2>x1,∴f(x2)-f(x1)= - = . 1+2x2 1+2x1 ?1+2x1??1+2x2? ∵x2>x1,∴2x2>2x1>0. ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). ∴函数f(x)为R上的减函数. (3)由(2)知,函数f(x)在[0,2]上为减函数, ∴f(2)≤f(x)≤f(0), ? 3 ? 3 ? - , 0 即- ≤f(x)≤0,即函数的值域为? . ? ? 5 ? 5 ? 1.指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇 偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质. 2. 一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复合而成的函数的 单调性. [再练一题] 2.已知函数f(x)=a· 4x-a· 2x+1+2在区间[-2,2]上的最大值为3,求实数a的值. 【解】 ?1 ? ? 2 , 4 令t=2 .∵x∈[-2,2],∴t∈? ,则 g ( t ) = at -2at+2. ?4 ? ? ? x 当a=0时,g(t)=2≠3,故舍去a=0; 当a≠0时,g(t)=a(t-1)2+2-a; 1 当a>0时,g(t)max=g(4)=8a+2=3,∴a= . 8 1 当a<0时,g(t)max=2-a=3,∴a=-1.综上,a= 或a=-1. 8 [探究共研型] 指数函数单调性的综合应 用 探究1 函数f(x)= 的单调区间是什么? 【提示】 ?1? ?t 2 因为函数y= ? 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上单调递减,函数 t = x -2x+1在 ?2? ? ? (-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以复合函数f(x)= (-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 在 探究2 函数y= 关系? (a>0,且a≠1)的单调性与y=-x2的单调性存在怎样的 【提示】 分两类:(1)当a>1时,函数y= 一致; (2)当0<a<1时,函数y= 的单调性与y=-x2的单调性 的单调性与y=-x2的单调性相反. 已知函数 x ? ?a ,?x<0? f(x)=? ? ??a-3?x+4a,?x≥0?, 满足对任意的 x1≠x2 都有 f?x1?-f?x2? <0 成立,则 a 的取值范围是( x1-x2 ? 1? ? A.?0,4? ? ? ? ?1 ? ? C.?4,1? ? ? ? ) B.(0,1) D.(0,3) 【精彩点拨】 由题目所给的条件判定函数f(x)的单调性可求a的取值范围, 但要注意两段最值的大小关系. f?x1?-f?x2? 【自主解答】 ∵f(x)对任意的x1≠x2都有 <0成立, x1-x2 x ? a ? ,?x<0? ∴f(x)=? ? ??a-3?x+4a,?x≥0? 为R上的减函数, ?0<a

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