上海市杨浦区2016届高三4月质量调研(二模)数学理试题(含答案)

杨浦区 2015 学年度第二学期高三年级学业质量调研 数学理 一、填空题 1.函数 f ( x) ? 2016.04.12 x?2 的定义域为 x ?1 . 2.已知线性方程组的增广矩阵为 ? 3.计算 lim ? 1 ?1 3 ? ? ?1 ? ? ,若该线性方程组的解为 ? ? ,则实数 a= ? a 3 4? ?2? . 1? 2 ? 3 ?? ? n = . n2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? π 4.若向量 a 、 b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 ,则 | a ? b |? 3 |z | 5.若复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则复数 1 ? z2 的虚部为 i 1 6 6. ( ? x ) 的展开式中,常数项为 . x n ?? . . 7.已知 △ABC 的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为 a、b、c,若 小是 . a c ?b ? c a b ?a ,则角 C 的大 b 8. 已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 满 足 : a1a7 ? 4 , 则 数 列 {log 的前 7 项之和 2 an } 为 . . 9.在极坐标系中曲线 C: ? ? 2cos ? 上的点到 (1, π ) 距离的最大值为 10.袋中有 5 只大小相同的乒乓球,编号为 1 至 5,从袋中随机抽取 3 只,若以 ? 表示取到球中的最大 号码,则 ? 的数学期望是 11.已知双曲线 x ? 2 . y2 ? 1的右焦点为 F,过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 4 . ???? ? ???? ? ??? ? | PM | ? ? 点 P,M 在直线 PF 上,且满足 OM ? PF ? 0 ,则 ??? | PF | 12.现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务,要求每个班级至多两位老师带队,且教师甲、 乙不能单独带队,则不同的带队方案有 .(用数字作答) 13.若关于 x 的方程 (4 x ? ) ? | 5 x ? 5 x 4 |? m 在 (0, ?≦) 内恰有三个相异实根,则实数 m 的取值范围 x 为 . 14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍 祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内 挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅 原理(图 1) ,即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已 x2 y 2 ? ? 1 ,将此椭圆绕 y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图 2) 知椭圆的标准方程为 ,其体 4 25 积等于 . 二、选择题 15.下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0, ?≦) 上递增的是( A. y ? 2| x| B. y ? ln x C. y ? x 3 1 ) D. y ? x ? 1 x ) 16.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k,则“ ? ? π ”是“ k ? 3 ”的( 3 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 17.设 x,y,z 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( A. x ? 2 ) 1 1 ≥x? 2 x x B. x ? 3 ? x ? 1 ≤ x ? 2 ? x C. | x ? y | ? 1 ≥2 x? y | x?z|?| y?z| D. | x ? y |≤ 18.已知命题: “若 a,b 为异面直线,平面 ? 过直线 a 且与直线 b 平行,则直线 b 与平面 ? 的距离等于 异面直线 a,b 之间的距离”为真命题. 根据上述命题,若 a,b 为异面直线,且它们之间的距离为 d,则空间中与 a,b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 的条数为( ) A0 条 B.1 条 C.多于 1 条,但为有限条 D.无数多条 三、解答题 19.如图,底面是直角三角形的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? 动点. 1 AA1 ? 1 ,D 是棱 AA1 上的 2 (1)证明: DC1 ? BC ; (2)求三棱锥 C ? BDC1 的体积. 20.某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 PA 及 PB,现打算用它们和两面成直角的墙 OM、ON 围成一个 如图所示的四边形菜园 OAPB(假设 OM、ON 这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10 π , ?OAP ? ?OBP .设 ?OAP ? ? ,四边形 OAPB 的面积为 S. 4 (1)将 S 表示为 ? 的函数,并写出自变量 ? 的取值范围; (2)求出 S 的最大值,并指出此时所对应 ? 的值. (米), ?AOP ? ?BOP ? 21.已知函数 f ( x) ? ax ? log2 (2 ?1) ,其中 a ? R . x (1)根据 a 的不同取值,讨论 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; ?1 ?1 (2)已知 a>0,函数 f ( x ) 的反函数为 f ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 1 ? log 2 3 ,求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值. x2 y 2 22.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三 a b OM ? 角形.若直线 l 与椭圆 C 交于 A( x1 , y1 ) 、 且在椭圆 C 上存在点 M, 使得: B( x2 , y2 ) , ???? ? ? 4 ??? ? 3 ??? OA ?

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