高二数学上册寒假作业天天练习题7

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 均值不等式 一、基础知识: 1、均值不等式(均值定理) :如果 a ? 0, b ? 0 ,那么 ab ____ 时等号成立. 2、若 a , b 是正数,则 a?b ,当且仅当_____ 2 a?b 叫做_______________, ab 叫做_______________,均值不等式 2 也可表述为_________________________________. 3、已知 x ? 0, y ? 0 ,则 (1)若 x ? y ? s (和为定值),则当______时,积 xy 取最大值______; (2)若 xy ? p (积为定值),则当______时,和 x ? y 取最小值______。 二、巩固练习: 1、已知 ab ? 0 ,则 b a ? 有( ) a b D.最大值 2 A.最小值 2 B.最小值-2 C.最大值-2 2、下列函数中,最小值为 2 的是( ) A. y ? x ? 1 , ( x ? 0) x B. y ? lg x ? 1 , (1 ? x ? 10) lg x 1 ? x ?x , (0 ? x ? ) D. y ? 2 ? 2 sin x 2 1 3、设 x ? 0 ,则 y ? 3 ? 3 x ? 的最大值是( ) x C. y ? sin x ? A.3 B. 3 ? 3 2 C. 3 ? 2 3 D. -1 4、设 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,且 a ? b ,下列各式的值最大的是( ) A. a ? b 2 2 B. a ? b C. 2ab D. 2 ab a b 5、设实数 a , b 满足 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是( ) A. 4 2 B. 6 C. 2 6 D. 8 ) 6、设正数 x, y 满足 x ? 4 y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值是( A.40 B.10 C.4 D.2 7、若 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? xy ? 2 ,则 x ? y 的最小值为( ) A. 3 2 B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2 D. 2 ? 3 8、设 a ? b ? c, n ? N ? ,且 A.5 B.4 C.3 1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( ) a?b b?c a?c D.2 9、若 x, y ? N ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的最大值为_______ 10、函数 y ? x ? 3 的值域为____________________ x 11、若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 8 ? ab ,则 a ? b 的最小值为_______ 12、若直角三角形的周长为 1,则它的面积的最大值为_________ 13、已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,求证: (1 ? 1 1 )(1 ? ) ? 9 a b 14、(1)已知 x ? 1 8 ,求函数 y ? x ? 的最小值及取得最小值时的 x 的值; 2 2x ? 1 (2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y 15、某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为 160 平方米的水产养殖网箱,为了避免混 养,箱中要安装一些筛网,平面图如图示.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每 米长 112 元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米长 96 元,网箱底面建造单价为每平方 米 100 元,网衣及筛网的厚度忽略不计. 长x米 (1)把建造网箱的总造价 y (元)表示为网箱的长 x (如图示,单位为米)的函数,并求出最 低造价;(2)若要求网箱的长与宽都不能超过 15 米,则当网箱的长与宽各为多少米时,可使总 造价最低(精确到 0.01 米)? 参考答案: 1. C 2. D 9. 3. C 4. B 5. A 6. D 7. C 11.8 12. 8. B 1 16 10. (??,?2 3] ? [2 3,??) 3?2 2 4 13.证明:? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ? ab ? ( a?b 2 1 ) ? 2 4 1 1 1 1 1 a?b 1 2 ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? 1? 8 ? 9 a b a b ab ab ab ab 1 当且仅当 a ? b ? 时,式中等号成立 2 1 14. 解:(1)设 t ? 2 x ? 1,? x ? ,? t ? 0 , 2 ?y ? t ?1 8 t 8 1 t 8 1 9 ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 t 2 t 2 2 t 2 2 t 8 5 9 ? ? 即 t ? 4 也即 x ? 时取“=” ,? ynm i 2 2 2 t 当且仅当 (2)? x ? 0, y ? 0 ,且 1 9 ? ?1 x y 1 9 y 9x ? x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y x y 当且仅当 y 9x 1 9 ? ,又 ? ? 1 ,即 x ? 4, y ? 12时上式取“=” x y x y 故当 x ? 4, y ? 12时 ( x ? y) min ? 16 15. 解(1) y ? 112 (2 x ? 160 160 ? 2) ? 96( x ? ? 3) ? 100 ? 160 x x 256 ) ? 16000 ? 26240 x 26 当且仅当 x ? 即 x ? 16 时上式取“=” x ? 320 ( x ? 所以网箱长 16 米时总造价最低,最低造价 26240 元 ? x?0 ? 32 ? ? x ? 15 (2

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