2011《金版新学案》高三数学一轮复习 2.8 函数与方程课件 (理)福建版_图文

第八节 函数与方程

1.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=
f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有 零点.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.

y=f(x)在[a,b]上图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,仅

是y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分条件,不满足这个条件,函数f(x)
在区间(a,b)内也可能有零点. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

3.二分法 (1)二分法的定义

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把
函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步,确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1; 第三步,计算f(x1): ①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; ②若f(a)f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若f(x1)f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b); 第四步,判断是否达到精确过度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a( 或b);否则重复第二、三、四步.

用二分法求一个方程的近似解时,选择的区间可 大可小,在同一精确度下,最好在满足|a-b|<ε的同时,再保证

区间(a,b)的两个端点a,b在精确度ε下的近似值相同.这样所选
的区间不同,但所得结果相同.

1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零 点是( A.0 C.0,-1 【解析】 ) B.-1 D.0,1 ∵f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点为3,

∴3a-b=0,3a=b. 令g(x)=0得bx2+3ax=0, 即bx2+bx=0,bx(x+1)=0,

∴x=0或x=-1.
∴g(x)的零点为0或-1 【答案】 C

2.函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)

【解析】 条件.

∵B中x0左右两边的函数值均大于零,不适合二分法求零点的

【答案】

B

3.函数f(x)=lg x- A.(0,1]

的零点所在的区间是( B.(1,10]

)

C.(10,100]

D.(100,+∞)

【解析】 由于f(1)f(10)=(-1)×

<0根据二分法得函数在区

间(1,10]内存在零点.

【答案】 B

4.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a的取值是____.

【解析】 若a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数仅有一
个零点;若a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其中有一个零点,则方 程ax2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,得a=-

.综上可知a=0或a=-

.

【答案】 0或-

5.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)

<0,给定精确度?=0.01,取区间(2,4)的中点x1=
计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).

=3,

【解析】 由f(2)·f(3)<0可知.

【答案】 (2,3)

判断下列函数在给定区间是否存在零点.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

【思路点拨】 第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,

第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.

【解析】 (1)∵f(1)=-20<0, f(8)=22>0,

∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. (2)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0,

f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,
故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有零 点,求实数m的取值范围.

【解析】 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2]. (1)f(x)=0在区间[0,2]上有一解. ∵f(0)=1>0,

? b ? 4ac-b2 ? 对于二次函数(方程),Δ ≥0?f ?- ? = ≤0(a> ? 4a ? 2a? ? m-1? ? 0).也就是说,在(2)的不等式组中,Δ ≥0 可以由 f ?- ? ?≤0 代替, 2 ? ? ? m-1? ? ? 这样, 方程 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解相当于在 ?0,- ?上有一解, 2 ? ? ? m-1 ? ? 且在?- ,2?上有一解. ? 2 ? ?

1.m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.

(1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1大;
【解析】 (1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点?方程f(x)=0有两 个相等实根?Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m =-1. (2)方法一:设f(x)的两个零点分别为x1,x2, 则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点; (2)若对x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=有两个不等实根,

证明必有一实根属于(x1,x2).
【证明】 (1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.

又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0. 又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根, 所以函数f(x)有两个零点.

可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借 助函数的图象和性质进行解答.

2.x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,

且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.
求证:方程 【证明】 所以有 x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间. 由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根,

函数、方程与不等式之间的联系是不可分割的,对函数是否存
在零点,有多少个零点的判断自然会涉及到函数的图象和性质,对 函数零点问题的考查,涉及的知识面之宽、方法这多、灵活性之大

都是可以想像的.

1.(2009年山东卷)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零 点,则实数a的取值范围是________.

【解析】 设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数
f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0,且 a≠1)与函数y=x+a有两个交点,由图象可知当0<a<1时两函数只

有一个交点,不符合;如图所示,当a>1时,因为函数y=ax(a>
1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.

【答案】 a>1

2.(2009年福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差 的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 C.f(x)=ex-1 B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln )

【答案】 A

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