高考数学大一轮复习 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文 新人教版_图文

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲要求:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式 .2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公 式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的 内在联系.4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出 积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记 忆). [基础真题体验] 考查角度[ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式] 1 . (2014· 课 标 全 国卷 Ⅱ ) 函 数 f(x) = sin(x + 2φ) - 2sin φcos(x+φ)的最大值为________. 【解析】 ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ] -2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ] =sin x, ∴f(x)的最大值为 1. 【答案】 1 2.(2013· 课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x- 2cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 【解析】 y=sin x-2cos x= 1 2 设 =cos α, =sin α, 5 5 ? 5? ? ? ? 1 2 sin x- cos x? ?, 5 5 ? 则 y= 5(sin xcos α-cos xsin α)= 5sin(x-α). ∵x∈R,∴x-α∈R,∴ymax= 5. 又∵x=θ 时, f(x)取得最大值, ∴f(θ)=sin θ-2cos θ= 5. 又 sin2θ+cos2θ=1, ? ?sin θ= 1 , 5 ? ∴? ?cos θ=- 2 , ? 5 ? 2 5 即 cos θ=- . 5 2 5 【答案】 - 5 3.(2013· 课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 1 = ,则 sin θ+cos θ=________. 2 ? π? ? tan?θ+4? ? ? ? 【解析】 1 =- . 3 ? 1+tan π? ? ? 1 ∵tan?θ+4?= ,∴ 1-tan ? ? 2 θ 1 = ,解得 tan θ θ 2 2 2 sin θ + cos θ+2sin θ· cos θ 2 ∴(sin θ+cos θ) = sin2θ+cos2θ 1 2 tan2θ+2tan θ+1 9-3+1 2 = = = . 1 5 tan2θ+1 +1 9 1 ∵θ 为第二象限角,tan θ=- , 3 3π ∴2kπ+ <θ<2kπ+π,∴sin θ+cos θ<0, 4 10 ∴sin θ+cos θ=- . 5 10 【答案】 - 5 考查角度[ 半角、二倍角公式] ? π? 2 2? 4.(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos ?α+4? ?= 3 ? ? ( 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3 ) ? π? 2 2? 【解析】 ∵sin 2α= , ∴cos ?α+4? ?= 3 ? ? ? π ? 1+cos?2α+ 2 ? ? ? ? ? 2 = 2 1-sin 2α 1-3 1 = = . 2 2 6 【答案】 A α 3 5.(2013· 江西高考)若 sin = ,则 cos α=( 2 3 2 A.- 3 1 B.- 3 2α ) 1 C. 3 ? =1-2×? ? 2 ? 2 D. 3 【解析】 cos α=1-2sin 2 1 3? ?2 =1- = . 3 3 3? ? 【答案】 C [ 命题规律预测] 命题 规律 从近几年高考题看, 和差角公式、 二倍角公 式是高考的热点, 题型全面, 考查三角函数 式的化简、求值,难度中低档. 预测利用和差角公式及二倍角公式进行三 考向 角函数的化简与求值仍是 2016 年的高考命 利用公式的恒等变换解决有关三角 预测 题热点, 函数的性质问题是必考内容. 考向一三角函数的化简求值 [典例剖析] 【例 1】 (1)(2013· 重庆高考)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 2+ 3 B. 2 C. 3 D.2 2-1 ) (2)(2014· 福建高考改编)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x) 1 - ,则 f(x)的最小正周期为________. 2 【思路点拨】 (1)借助商数关系、三角恒等变换及拆角 技巧求解. (2)借助三角恒等变换公式,把函数解析式化简为 f(x)= Asin(ωx+φ)的形式,进而求得周期. sin 40° 【解析】 (1)4cos 50° -tan 40° =4sin 40° - cos 40° 4sin 40° cos 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° = = cos 40° cos 40° sin 80° +sin?60° +20° ?-sin?60° -20° ? = cos 40° sin 80° +2cos 60° sin 20° sin 80° +sin 20° = = cos 40° cos 40° sin?50° +30° ?+sin?50° -30° ? = cos 40° 2sin 50° cos 30° cos 40° = = 3· = 3. cos 40° cos 40° 1+cos 2x 1 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- = sin 2x+ - 2 2 2 2 1 2 π? 1 1 2 ? ? = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+4? ?, 2 2 2 ? ? 2π 所以 T= =π. 2

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