河南师大附中2011-2012学年高三第二次月考文科数学试卷

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河南师大附中高三数学月考试卷(文科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:试卷分第 1 卷和第 2 卷,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。

第Ⅰ卷

共 60 分

一、选择题: 每小题 5 分,共 60 分;在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只 ( 有一项符合题目要求 )
1.设复数 z ? 1 ? b i ( b ? R ) 且 | z | ? 2 ,则复数的虚部为 A. ? i B. ? 3i C. ? 1 ( )

D. ? 3 (
1 b

2.若 a , b , c , d ? R , 且 a ? b , c ? d ,则下列结论正确的是 A. a c ? b c
2 2



B. a c ? b d

C.

1 a

?

D. a ? c ? b ? d )

3.曲线 y ? x ? x ? 2 上点 P0 处的切线斜率为 4,则点 P0 的一个坐标是 (
3

A. (0,-2)

B. 1) (1,

C. (-1, -4)

D. 4) (1,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0 ,则

4.定义在 R 上的偶函数满足:对任意 x1 , x 2 ? [0, ? ? ) ,且 x1 ? x 2 都有

( A. f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) C. f ( ? 2 ) ? f (1) ? f (3) 5.函数 f ( x ) ? x ? ln x 的零点所在的大致区间为 A. ? 0 ,1 ? B. ? 1, 2 ? C. ? 1, e ? B. f (1) ? f ( ? 2 ) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ? 2 ) (



) D. ? 2 , e ?

6.已知 x 的不等式 x ? b ? 0 的解集是( 1, ? ? ) ,则关于 x 的不等式 ( x ? b )( x ? 2 ) ? 0 的解 集是 A. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? ) C. (1,2)
? ?
?
?
?

( B. (—1,2) D. ( ? ? ,1) ? ( 2 , ? ? )
? ?



7.设向量 a , b 满足 a ? 2 5 , b ? ( 2,1) ,则 ― a ? ( 4 , 2 ) ‖是 ― a ∥ b ‖成立的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件



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x

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2 8.已知命题 p : “ ? x ? ? 0,1 ? , a ? e ” ,命题 q : “ ? x ? R , x ? 4 x ? a ? 0 ” ,若命题 p , q 均

是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. [ 4, ? ? )
? ?

( C. [ e , 4 ] D. ( ? ? ,1]



B. [1, 4 ]
π? 2 ? ? s in ? ? 6? 5
2 5

9.已知 c o s ? ? ?

7π ? ? 3 ,则 s in ? ? ? ? 的值是 6 ? ? 3 5





A. ?

2 5

B.

C. ?

D.
??? ? ????

3 5

10.在 ? A B C 中, A B ? 1 , B C ? 2 , E 为 A C 的中点 ,则 B E ? ( B A ? B C ) = ( A.3 11.函数 y ?
?
12

??? ?



B.

3 2

C.-3

D. ?

3 2

3 s in 2 x ? c o s 2 x 向左平移 m ( m ? 0 )个单位后所得到的图像关于原点对

称,则 m 的最小正值是 A. B.
? sin ? x ? log
2010


?
3
0? x ?1 x x ?1



C.

2? 3

D.

?
6

12.已知函数 f ( x ) ? ?

,若 a , b , c 互不相等,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ,则 ( (C)( 2 , 2011 ) )

a ? b ? c 的取值范围是

(A) (1, 2010 )

(B) (1, 2011 )

(D)[ 2 , 2011 )

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wx.jtyjy.com 第Ⅱ卷
共 90 分

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.已知等差数列 { a n } 中, a1 ? a 9 9 ? 2 0 ,则
1 2 a 50 ? a 20 ? a80 ?



?x ? 0 ? 14.已知实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 0 ,则 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?



15.已知向量 a = ( x ? 2 ,1), b = (1, y ) ,若 a ? b ,则 3 ? 3 的最小值为
x y

?

?

?

?



16.若函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , | ? |? 如图所示,则 ? ? , ? ?

?
2

) 的图象(部分)



三、解答题: (本大题共 6 题,第 17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分)
17.已知等差数列 ?a n ? 满足 a 2 ? 7 , a 6 ? ? 1 (1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)求 ?a n ? 的前 n 和 S n 的最大值.

18.设 a =(2cos x ,1), b =(cos x , 3 sin2 x ), f ( x ) = a · b , x ? R. ⑴ 若 f ( x ) =0 且 x ? [ 0 ,
?
2

?

?

?

?

],求 x 的值;
?
3 ) ? k ( ? ? 0 , k ? R )与 f ( x ) 的最小正周期相同, g ( x ) 的 且

⑵ 若函数 g ( x ) = c o s ( ? x ?

? 图象过点( ,2),求函数 g ( x ) 的值域及单调递增区间. 6

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4 5 ,b ? 3 。

19.设 ? ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ?
0

(1)当 A ? 30 时,求 a 的值; (2)当 ? ABC 面积为 3 时,求 a ? c 的值.

20. 已 知 数 列 { a n } 是 首 项 a 1 ? 1 的 正 项 等 比 数 列 , { b n } 是 首 项 b1 ? 1 的 等 差 数 列 , 又
a 5 ? b3 ? 2 1, a 3 ? b5 ? 1 3 .

(1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式;(2)求数列 {

b

n

2an

} 的前 n 项和为 Sn.

21.设函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? b ( a ? 0 ) .
3

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( x )) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

22. 已知函数 f ? x ? ?

1 3

ax ?
3

1 2

a x ? x ? 1 ,其中 a ? R .
2

(1)是否存在实数 a ,使得 f ? x ? 在 x ? (2)若 f ? x ? 在[-1,
1 2

1 2

处取极值?证明你的结论;

]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

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参考答案
一、选择题 1—5、DDCBA 二、填空题 13.25 三、解答题 17 解: (1)等差数列 ?a n ? 公差 d ?
a6 ? a2 6?2 ? ? 2 ????3 分

6—10、ACCAD

11—12、AC
1 2

14.1

15. 6

16.

;

?
6

∴ ?a n ? 的通项公式为 a n ? 1 1 ? 2 n ????5 分 (2)由 ?
? a5 ? 1 ? 0 ? a6 ? ?1 ? 0

得当 n ? 5 时 S n 有最大值????8 分

∴ ? S n ? m ax ? S 5 ? 5 ?

? 2 5 ????10 分 2 ? ? 2 18、解: (1) f ( x ) = a · b = 2 co s x ? 3 sin 2 x

9 ?1

? 1 ? co s 2 x ?

3 sin 2 x = 2 s in ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ???3 分

由 f ( x ) ? 0 得 2 s in ( 2 x ? ∴ s in ( 2 x ? ∵ x ? [0 , ∴2x ? ∴x ?
?
6 ?

?
6

) ? 1 =0

?
6

)? ?

1 2

?
2

]∴ 2 x ?

?
6

?

? ? 7? ? , ?6 6 ? ? ?

7? 6

?
2

????6 分
2? ? 2 ??8 分

(2)由(1)知 T ? ? ∴ ? ?
g(

?

?
6

) ? cos(

?
3

?

?
3

) ? k ? 2 ∴ k ? 1 ??10 分

∴ g ( x ) = cos(2 x ?

?
3

)?1

cos(2 x ?

?
3

) ? ? ? 1,1 ?

∴ g ( x ) 的值域为 ? 0 , 2 ? ,单调递增区间为 ? k ? ?
?

?

?
3

, k? ?

? ?
6? ?

( k ? z ) .????12 分

19、解: (1)由 cos B ? 代入得 a ?
5 2

4 5

得 sin B ?

3 5

,由正弦定理

a sin A

?

b sin B



a sin 30
0

?

3 sin B



( 2 )
第 5 页 共 7 页

? S ? ABC ?

1 2

ac sin B ?

3 10

ac ? 3 , , ? ac ? 10 , 由 余 弦 定 理 得

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b
2

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2

? a

2

? c

2

? 2 ac cos B ? a

? c

2

?

8 5

ac ? a

2

? c

2

? 16 ? 9 ,

2 2 2 2 2 故 a ? c ? 25 ,故 ( a ? c ) ? a ? 2 ac ? c ? 25 ? 20 ? 45 , a ? c ? 3 5

20、解: (1)设数列 { a n } 的公比为 q , 则?
?q ? 1 ? 2d ? 21 ?
4

{ b n } 的公差为 d

?q ? 1 ? 4d ? 13 ?
2

消去 d ,得 2 q ? q ? 2 8 ? 0
4 2

?q ? 4
2

?q ? 0

?q ? 2

?d ? 2

?an ? 2 ? ?? ? bn ? 2 n ? 1 ?

n ?1

(2)?
1 2

bn 2an

?

2n ? 1 2
n

? Sn ?

?

3 2
2

?

5 2
3

? ... ?

2n ? 1 2
n



① ? 2 得:
2Sn ? 1 ? 3 2 1 2
'

?

5 2
2

? ... ?

2n ? 1 2
n ?1



②—①得:
S n ? 1 ? (1 ? ? ... ? 2 1
n?2

)?
2

2n ? 1 2
n

=3 ?

2n ? 3 2
n

21、解: (1) f ? x ? ? 3 x ? 3 a , ∵曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( x )) 处与直线 y ? 8 相切,
?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? a ? 4, ? ? ? ? ? ?8 ? 6 a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ?2? ? 8 ? ? ? f ?
'

∴?
'

?2? ?

0

(2)∵ f ? x ? ? 3 ? x ? a ? ? a ? 0 ? ,
2

当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 上单调递增,
'

此时函数 f ( x ) 没有极值点.无极值。 当 a ? 0 时,由 f ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,
'

当 x ? ? ? ? , ? a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
'

当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减,
'

当 x ? ? a , ? ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
'

第 6 页 共 7 页

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∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点,f(x)极大值= 2 a a ? b
x ? a 是 f ( x ) 的极小值点. f(x)极小值= ? 2 a a ?b

22、解: (Ⅰ)f ′ x) = ax2 – ax + 1 ( 假设存在实数 a,使 f (x)在 x = f′ (
1 2 1 2

处取极值,则

)=–

a 4

+ 1 = 0, ∴a = 4
2

--------------------------------------------------- 3 分

此时,f ′ x) = ( 2 x ? 1) ( 当x< ∴x =
1 2 1 2

时,f ′(x) > 0;当

1 2

<x<1 时,f ′ x) > 0. (

不是 f (x)的极值点,
1 2

故不存在实数 a,使 f (x)在 x = (Ⅱ)依题意知:当 x∈[-1,
1 2

处极值

-------------------------------- 6 分

]时,f ′ x) = ax2 – ax + 1≥0 恒成立, (

(1)当 a = 0 时,f ′ x) = 1>0 成立; ( (2)当 a>0 时,f ′ x) = a (x ? ( g (x)min = g (
1 2 1 2 2

) + 1?

a 4

在[?1 ,

1 2

]

上递减,则

) = 1?

a 4

≥0

∴0<a≤4
1 2 2

----------------------------------9 分
a 4 1 2

(3)当 a<0 时,f ′ x) = a (x ? ( g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0 综上, ?
1 2

) + 1?

在[?1 ,

1 2

]

上递增,则

∴0>a≥ ?

≤a≤4 为所求

-------------------------------------------------- 12 分

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