安徽省池州市第八中学2011年11月高中数学 函数的零点优质课大赛课件_图文

3.1.1 方程的根与函数的零点

提出问题 引入新课
问题 1 求下列方程的根. (1) 6 x ? 1 ? 0 ; (2) 3 x ? 6 x ? 1 ? 0 ;
2

(3) 3 x ? 6 x ? 1 ? 0 ;
5

怎么解呢?

方程解法史话:

花拉子米(约780~约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。

阿贝尔(1802~1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。

问题2:求下面这个方程的实数根

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

怎么解呢?

问题3

怎么解一般的方程 f ( x ) ? 0 ?

转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。 即:通过研究相应函数去解方程。

问题4

方 程 f (x) ? 0 的 根 与 函 数
y ? f ( x ) 之间有什么样的关系呢?

思考探究一

一元二次方程 与二次函数 有什么关系?

ax

2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的根
2

y ? ax

? bx ? c ( a ? 0 )的图像

思考探究一

先观察几个具体的一元二次方程及其相应 的二次函数
()方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 1
2

f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

(2)方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1
2

2

( 3 ) 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

方程 函数 函 数 的 图 象

x2-2x-3=0

x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
y y y

.
2
-1

. .0
-3 -4

1
-1 -2

. .
1 2 3

2 1

. .

.
3 2

5

x
-1

.

4

0

.
1

.
2

.
1

.
2

.

x
-1

1

.

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根

无交点

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的图象,以 a ? 0为例画图
判别式?
y=ax2+bx+c 的图象
x1

.

?>0
y

??0
y

?<0
y

0

x2 x

0

x1

x

0

x

ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点

两个不相等的 实数根x1 、x2

有两个相等的 实数根x1 = x2
b ? ? 一个交点 ? ? ,0 ? ? 2a ?

无实数根 无交点

两个交点 (x1,0) , (x2,0)

结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横 坐标。若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图像与X轴无 交点。

推广到更一般的情况,得:

方程 f ( x ) ? 0的实数根 ? 函数 y ? f ( x )的图象与 x 轴交点的横坐标

1.函数的零点:
对于函数 y ? f ( x ), 把使 f ( x ) ? 0 成立的 实数 x

叫做函数

y ? f ( x )的零点 .

零点是一个点吗?
(1)零点是一个实数

( 2 ) 方程 f ( x ) ? 0的实数根 ? 函数 y ? f ( x )的图象与 ? 函数 y ? f ( x )的零点 x 轴交点的横坐标

所以:
方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x )的图象与 ? 函数 y ? f ( x )的有零点 x 轴有交点

练习1
1 2 1.函数 y ? 2 x ? 1 的零点是:_____

2.函数 y ? log

2

1 x 的零点是:_____

3.函数 y ? 2 x ? 1

0 的零点是:_____

0 4.函数 y ? x 2 ? x ? 1的零点个数是:_____

2 5.函数 f ( x ) ? 2 x 2 ? 3 x ? 2 的零点个数是:____

练习2

函数y=f( x)的图象如下, 则其零点为 -2,1,3 .
y ?2 O x 3

1

思考探究二

所有函数都存在零点吗? 什么条件下才能确定零点的存在呢?

思考探究二

观察二次函数 图象,可以发现

f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2



-1 ① 在区间[-2,1]上有零点______。 5 -4 计算 f ( ? 2 ) ? _______, f (1) ? _______, < (<或>) 发现 f ( ? 2 ) ·f (1) _____0 . ② 在区间[2,4]上是否也具有这种 特点呢?

思考探究二
观察下面函数 y ? f ( x )的图象

有 (1) 在区间 [ a , b ]上 ___( 有 / 无 ) 零点;

? f ( a ) ? f ( b ) __ 0 ( ? 或 ? )
有 ( 2 ) 在区间 ?b , c ?上 ____ (有 / 无)零点;

f (b ) ? f (c ) ? 0 ( ? 或 ? ) __
( 3 ) 在区间 ?c , d ?上 有(有 / 无)零点; __
y

f ( c ) ? f ( d ) ___ 0 ( ? 或 ? ) ?
a 0

b

c

d

x

思考探究二
若函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ]上有定 义,而且满足 y ? f ? x ?在区间 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 , 则函数

? a , b ?内一定存在零点吗?
y

y

0 a y 0a

b

x

0 a

b

x

b

x

2.零点存在性定理:
如果函数
y ? f ( x ) 在区间

?a , b ?上的图象是 连续不断

那么 y ? f ( x ) 在区间 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0, (a,b)内有零点,即存在 c ? ( a , b ), 使得 f ( c ) ? 0 , 这个 c也就是方程
f ( x ) ? 0 的根。

(1)两个前提条件缺一不可 (2)“有零点”是指有几个零点呢?
只有一个吗?
至少有一个, 可以有多个。

(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?
如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ?a , b ?上的图象是 连续不断 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0,并且是单调函数,那么
y ? f ( x ) 在区间(a,b)内有且只有一个零点。

y

0 a

b

x

(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点,一 定能得出f( a )· b )<0的结论吗? f(

y

反之不成立!
bbb

bb
bb

b
b b bb

0

a

x

(5)定理的作用:判定零点的存在, 并找出零点所在的区间。

练习2:

练习1:在下列哪个区间内,函数f (x)= x3+3x-5 一定有零点( C ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(2,3) 练习2:已知函数f(x)的图象是连续不断的, 且有如下的x ,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x) 23 9 那么该函数在区间[1,6]上有( B )零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定

小结
1.知识和要求:掌握函数零点的概念;了解 函数零点与方程根的关系;学会图象连续的 函数在某区间上存在零点的判定方法。
2.数学思想方法:由特殊到一般的归纳思想, 数形结合的思想,函数与方程的思想。

作业
第88页练习1;第92页A组第二题。


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