【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1练习:3.2 第2课时 导数的四则运算法则]

第三章

3.2

第 2 课时

一、选择题 1 1.函数 f(x)= 3 的导数是( x +2x+1 1 A. 3 ?x +2x+1?2 -3x2-2 C. 3 ?x +2x+1?2 [答案] C -?x3+2x+1?′ -3x2-2 [解析] f′(x)= . 3 2 = 3 ?x +2x+1? ?x +2x+1?2 2.函数 y=(x-a)(x-b)在 x=a 处的导数为( A.ab C.0 [答案] D [解析] ∵y=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab ∴y′=2x-(a+b),y′|x=a=2a-a-b=a-b. cosx 3.函数 y= 的导数是( x sinx A.- 2 x xsinx+cosx C.- x2 [答案] C cosx? ?cosx?′x-cosx· ?x?′ [解析] y′=? ? x ?′= x2 = -xsinx-cosx . x2 ) ) B.-sinx xcosx+cosx D.- x2 ) ) 3x2+2 B. 3 ?x +2x+1?2 -3x2 D. 3 ?x +2x+1?2

B.-a(a-b) D.a-b

4.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是( 19 A. 3 13 C. 3 [答案] D [解析] f′(x)=3ax2+6x,∵f′(-1)=3a-6, 16 B. 3 10 D. 3

10 ∴3a-6=4,∴a= . 3 5.函数 y=(2+x3)2 的导数为( A.6x5+12x2 C.2(2+x3)2 [答案] A [解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6, ∴y′=6x5+12x2. 6.f(x)=ax3+x2+3,若 f′(1)=5,则 a 的值为( A.-1 C.-2 [答案] D [解析] ∵f′(x)=3ax2+2x,f′(1)=3a+2=5, ∴a=1. 二、填空题 1-sinx 7.若函数 f(x)= ,则 f′(π)________________. x [答案] π-1 π2 B.2 D.1 ) ) B.4+2x3 D.2(2+x3)· 3x

?1-sinx?′· x-?1-sinx?x′ [解析] f′(x)= x2 = sinx-xcosx-1 , x2

sinπ-πcosπ-1 π-1 ∴f′(π)= = 2 . π2 π 8.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为______________. [答案] 4x-y-3=0 [解析] y′=3lnx+4,故 y′|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=4(x- 1),化为一般式方程为 4x-y-3=0. 三、解答题 9.函数 f(x)=x3-x2-x+1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0),在区间(0,1)内求实数 a, 使得函数 f(x)的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB. [解析] 直线 AB 的斜率 kAB=-1, f′(x)=3x2-2x-1, 令 f′(a)=-1(0<a<1), 2 即 3a2-2a-1=-1,解得 a= . 3

一、选择题 1.若物体的运动方程是 s(t)=tsint,则物体在 t=2 时的瞬时速度为( A.cos2+2sin2 C.sin2+2cos2 [答案] C [解析] ∵s′(t)=t′· sint+t(sint)′=sint+tcost, ∴s′(2)=sin2+2cos2. 2.下列函数在点 x=0 处没有切线的是( A.y=3x2+cosx 1 C.y= +2x x [答案] C 1 [解析] ∵函数 y= +2x 在 x=0 处不可导, x 1 ∴函数 y= +2x 在点 x=0 处没有切线. x 3.下列结论不正确的是( A.若 y=3,则 y′=0 B.若 y= 1 1 ,则 y′=- x 2 x ) ) B.y=xsinx 1 D.y= cosx B.2sin2-cos2 D.2cos2-sin2 )

1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x D.若 y=3x,则 y′|x=1=3 [答案] B [解析] y= 1 1 ,y′=- . x 2x x

4.(2013~2014 学年度湖南浏阳一中高二期中测试)若曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处 的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=2 C.a=1,b=-2 [答案] B [解析] ∵y′=2x+a,∴曲线在点(1,b)处的切线斜率 k=2+a, ∴2+a=1,∴a=-1. ∴曲线 y=x2-x+b,∴1-b+1=0,∴b=2. 二、填空题 ) B.a=-1,b=2 D.a=-1,b=-2

5.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、 直线 x=2 所围成的三角形的面积为________. [答案] 8 3

[解析] ∵y′|x=1=3x2|x=1=3, ∴切线为 y=3x-2,如右图所示. 2 A( ,0),B(2,4), 3 1 2 8 ∴S△= (2- )×4= . 2 3 3 6.若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,0) [解析] 本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识. 1 f′(x)=2ax+ =0 有解(x>0), x 即 2ax2=-1 有解,∴a<0. 三、解答题 7.已知函数 y=x3-3x2+2x-9 在 x=x0 处的导数为 11,求 x0 的值. [解析] ∵y′=(x3-3x2+2x-9)′=3x2-6x+2, ∴y′|x=x0=3x2 0-6x0+2. 由题知 3x2 0-6x0+2=11,
2 ∴3x2 0-6x0-9=0,x0-2x0-3=0,

∴x0=-1 或 x0=3. 8.求下列函数的导数. (1)y=tanx; (2)y=xsinx- 2 . cosx

sinx [解析] (1)∵y=tanx= , cosx ?sinx?′· cosx-sinx· ?cosx?′ sinx ∴y′=( )′= cosx cos2x = cos2x+sin2x 1 = 2 . cos2x cos x

2 2sinx (2)y′=(xsinx)′-( )′=sinx+xcosx- 2 . cosx cos x 9.曲线 y=x(1-ax)2(a>0),且 y′|x=2=5,求实数 a 的值. [解析] ∵y′=(1-ax)2+x[(1-ax)2]′ =(1-ax)2+x(1-2ax+a2x2)′ =(1-ax)2+x(-2a+2a2x),

∴y′|x=2=(1-2a)2+2(-2a+4a2)=5, 即 3a2-2a-1=0.∵a>0,∴a=1.


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