2.4.1抛物线的标准方程 ppt课件(苏教版选修2-1) 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-1_图文

2.4.1 抛物线的标准方程 1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的 几何图形和标准方程. 2.会求简单的抛物线方程. 1.本课重点是掌握抛物线标准方程,能根据抛物线方程求出焦 点及准线方程,并会求简单的抛物线方程. 2.本课难点是抛物线标准方程的推导和定义法求抛物线标准方 程. 四种抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点 坐标 p ( ,0) 2 准线 方程 p x?? 2 开口 方向 y2=2px (p>0) 向右 y2=-2px (p>0) p (? ,0) 2 x? p 2 向左 标准方程 图形 焦点 坐标 准线 方程 开口 方向 x2=2py (p>0) p (0, ) 2 y?? p 2 向上 x2=-2py (p>0) p (0, ? ) 2 y? p 2 向下 1.确定抛物线的标准方程,需要确定什么? 提示:抛物线的标准方程,只含有一个参数p,所以要确定标 准方程,需要确定①开口方向;② p的值. 2.抛物线x2=-4y的焦点坐标是______,准线方程是_________. 【解析】x2=-4y中,2p=4,即p=2,开口方向向下. ∴焦点坐标为(0,-1),准线方程是y=1. 答案:(0,-1) y=1 3.焦点坐标为(-3,0)的抛物线的标准方程为________. 【解析】∵抛物线的焦点坐标为(-3,0),∴开口向左, 且 p ? 3 即p=6,∴标准方程为y2=-12x. 2 答案:y2=-12x 4.以y=-2为准线的抛物线的标准方程是_______. 【解析】∵抛物线的准线方程为y=-2, ∴其焦点坐标是(0,2),开口向上,且 p ? 2 即p=4. 2 ∴抛物线的标准方程为x2=8y. 答案:x2=8y 1.抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系 先把解析式化成抛物线的标准方程形式,再根据一次项的系数 判断. (1)如果一次项含有x,则说明抛物线的焦点在x轴上,系数为 正,则焦点在正半轴上,开口向右;系数为负,则焦点在负半 轴上,开口向左; (2)如果一次项含有y,则说明抛物线的焦点在y轴上,系数为 正,则焦点在正半轴上,开口向上;系数为负,则焦点在负半 轴上,开口向下. 2.四种位置的抛物线标准方程的对比 求抛物线的标准方程 【技法点拨】 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 设方程 根据焦点位置,设出标准方程; 列方程 根据条件建立关于参数p的方程 解方程 解关于参数p的方程,求出p的值 得方程 根据参数p的值,写出所求的标准方程 【典例训练】 1.焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是________. 2.已知焦点到准线的距离为3,则抛物线的标准方程为_____ ___________. 3.求过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的标准方程. 【解析】1.因为抛物线的焦点是(0,5),所以抛物线开口向上, 可设标准方程为x2=2py(p>0). p ? 5,? p ? 10, 2 ∴抛物线的标准方程是x2=20y. 答案:x2=20y 2.根据p的几何意义知p=3. ∵抛物线的焦点既可以在x轴上 ,也可以在y轴上. ∴抛物线的标准方程是y2=±6x或x2=±6y. 答案:y2=±6x或x2=±6y 3.由已知得,圆的圆心为(1,-3),即抛物线经过点(1,-3).若 抛物线的焦点在y轴上,则可设其标准方程为x2=-2py(p>0), 将(1,-3)代入得 p ? , 所以x 2 ? ? y; 若抛物线的焦点在x轴上,则可设其标准方程为y2=2px(p>0), 将(1,-3)代入得 p ? , 所以y 2 ? 9x. 所以抛物线的标准方程为 x 2 ? ? 1 y或y 2 ? 9x. 3 9 2 1 6 1 3 【思考】求抛物线标准方程的关键是什么?求解第2题应注意 什么? 提示:(1)求抛物线标准方程的关键是首先明确抛物线焦点的 位置. (2)要注意焦点位置不确定,应分类讨论. 求抛物线的焦点坐标和准线方程 【技法点拨】 1.求焦点坐标和准线方程的方法步骤 化标准 把所给方程化成标准形式 明方向 明确抛物线的开口方向 求p值 由方程得p的值 写性质 写出焦点坐标和准线方程 2.判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项,符号确定开口方向, 如果y是一次项,负时向下,正向上, 如果x是一次项,负时向左,正向右. 【典例训练】 1.抛物线y2=-10x的焦点到准线的距离为________. 2.(2012·临沂高二检测)抛物线x2=ay的准线方程是_________. 3.根据下列抛物线方程,写出焦点坐标和准线方程. (1)y2+4x=0;(2)2x2-5y=0. 【解析】1.方程y2=-10x中,p=5,根据p的几何意义知,焦点 到准线的距离是5. 答案:5 a a 2.x2=ay中,a>0时, p ? ,准线方程为 y ? ? . 2 4 a<0时,p ? ? a , 准线方程为 y ? ? a . a 答案: y?? 2 4 4 3.(1)由于p=2,抛物线焦点在x轴上,开口向左,所以其焦点坐 标为(-1,0),准线方程为x=1. (2)方程2x2-5y=0化为标准式为 x 2 ? 5 y, p ? 5 , 2 4 该抛物线的焦点在y轴上,开口向上, 5 5 准线方程为 所以其焦点坐标为 y?? . (0, ) , 8 8 【归纳】解答题3及题2应注意的问题. 提示:(1)解题3时要注意抛物线标准方程的结构形式及抛物线 的开口方向等. (2)解题2的注意点是a的符号不确定,要分类讨论. 与抛物线有关的轨迹问题 【技法点拨】 抛物线的一点重要性质 由抛物线的定义可得出抛物线的一个重要性质是“抛物线上的 点到焦点的距离等于到准线的距离

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