2014江苏高三数学一轮复习解答题专项训练3


2014 江苏高三数学一轮复习解答题专项训练(三)
1.(2012· 江苏百校联考)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B=ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),求当 m· 取最大值时,tan C n 的值. 2.(2012· 江苏省南京市 5 月高三考前综合题 5)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD, AB=BC=AD=2,CD=4,E 为边 DC 的中点,如图 1.将△ADE 沿 AE 折起 到△AEP 位置,连 PB、PC,点 Q 是棱 AE 的中点,点 M 在棱 PC 上,如图 2. (1)若 PA∥平面 MQB,求 PM∶MC; (2)若平面 AEP⊥平面 ABCE, M 是 PC 的中点, 点 求三棱锥 A MQB 的体积.

图1

图2

3.如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方 种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花,若 BC=a, ∠ABC=θ,设△ABC 的面积为 S1,正方形的 PQRS 面积为 S2.

(1)用 a,θ 表示 S1 和 S2; S1 (2)当 a 固定,θ 变化时,求S 的最小值.
2

4. (2012· 南京考前综合)若两个椭圆的离心率相等, 则称它们为“相似椭圆”. 如 x2 y2 图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 6 + 3 =1,A1,A2 分别为椭圆 C1 的左、右顶点.椭圆 C2 以线段 A1A2 为短轴且与椭圆 C1 为“相似椭圆”.

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 P 为椭圆 C2 上异于 A1,A2 的任意一点,过 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q, 线段 PQ 交椭圆 C1 于点 H.求证: 为△PA1A2 的垂心. H (垂心为三角形三条高 的交点) 1 5.已知函数 f(x)=aln x= x(a 为常数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y-5=0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 x≥1 时,f(x)≤2x-3 恒成立,求 a 的取值范围. 6. (2012· 江苏百校联考)已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)若数列{an}是等差数列, 且对任意正整数 n 都有 Sn3=(Sn)3 成立, 求数列{an} 的通项公式; (2)对任意正整数 n,从集合{a1,a2,?,an}中不重复地任取若干个数,这些 数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数 与 a1,a2,?,an 一起恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求 a1,a2 的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式. 参考答案 2014 江苏高三数学一轮复习解答题专项训练(三) 1.解 (1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B, (2 分) 所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. (3 分)

因为 0<A<π,所以 sin A≠0. 2 所以 cos B= 2 . (5 分) π 因为 0<B<π,所以 B=4. (6 分) (2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A, (8 分) 所以 m· n=-10cos2A+12cos A+5 3? 43 ? =-10?cos A-5?2+ 5 . ? ? (10 分) 3 所以当 cos A=5时,m· 取最大值. n 4 π 4 此时 sin A=5(0<A<2),于是 tan A=3. (12 分) 所以 tan C=-tan(A+B)=- tan A+tan B =7. 1-tan Atan B (14 分) 2.解 (1)连 AC、BQ,设 AC∩BQ=F,连 MF.

则平面 PAC∩平面 MQB=MF,因为 PA∥平面 MQB,PA?平面 PAC,所以 PA∥MF. (2 分) 在等腰梯形 ABCD 中,E 为边 DC 的中点,所以由题设,AB=EC=2. 所以四边形 ABCE 为平行四边形,则 AE∥BC. (4 分) 从而△AFQ∽△CFB,AF∶FC=AQ∶CB=1∶2. 又 PA∥MF,所以△FMC∽△APC,所以 PM∶MC=AF∶FC=1∶2. (7 分) (2)由(1)知,△AED 是边长为 2 的正三角形,从而 PQ⊥AE.

因为平面 AEP⊥平面 ABCE,交线为 AE,所以 PQ⊥平面 ABCE,PQ⊥QB, 且 PQ= 3. 因为 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 ABCE,交线为 QC.(9 分) 过点 M 作 MN⊥QC 于 N,则 MN⊥平面 ABCE,所以 MN 是三棱锥 M ABQ 的高. 因为 PQ⊥平面 ABCE,MN⊥平面 ABCE,所以 PQ∥MN. 1 3 因为点 M 是 PC 的中点,所以 MN=2PQ= 2 . (11 分) 3 由(1)知,△ABE 为正三角形,且边长为 2.所以,S△ABQ= 2 . 1 3 3 1 三棱锥 A MQB 的体积 VA - =VM - =3× 2 × 2 =4. MQB ABQ (14 分) 3.解 1 1 (1)S1=2asin θ· acos θ=4a2sin 2θ,

x 设正方形边长为 x,则 BQ=tan θ,RC=xtan θ, x a asin 2θ ∴tan θ+xtan θ+x=a,∴x= 1 = , 2+sin 2θ tan θ+tan θ+1 (4 分) a2sin22θ ? asin 2θ ? S2=?2+sin 2θ?2= , ? ? 4+sin22θ+4sin 2θ (6 分) S1 1? 4 ? ? (2)当 a 固定,θ 变化时,S =4?sin 2θ+sin 2θ+4?,令 sin 2θ=t, ? 2 S1 1?4 9 ? ?S1? ? 则S =4? t +t+4?(0<t≤1),利用单调性求得 t=1 时,?S ?min=4 ? ? 2? 2 .(14 分) 4.(1)解 由题意可知 A1(- 6,0),A2( 6,0),

2 椭圆 C1 的离心率 e= 2 .(3 分)

y2 x2 设椭圆 C2 的方程为a2+b2=1(a>b>0),则 b= 6. b 2 因为a= 1-e2= 2 ,所以 a=2 3. y2 x2 所以椭圆 C2 的方程为12+ 6 =1. (6 分) (2)证明 y2 x2 0 0 2 设 P(x0,y0),y0≠0,则12+ 6 =1,从而 y0=12-2x2. 0

x2 y2 x2 y2 x2 y2 y0 0 0 0 将 x=x0 代入 + =1 得 + =1,从而 y2=3- = ,即 y=± . 6 3 6 3 2 4 2 y0 y0 因为 P,H 在 x 轴的同侧,所以取 y= 2 ,即 H(x0, 2 ).(12 分) 1 2y0 12-2x2 y0 y2 0 0 所以 kA1P· 2H= kA · = 2 = 2 =-1,从而 A1P⊥A2H. x0- 6 x0+ 6 2?x0-6? 2?x0-6? 又因为 PH⊥A1A2,所以 H 为△PA1A2 的垂心. (16 分) 5.解 ax+1 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)= x2 .

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y-5=0 垂直, 所以 f′(1)=a+1=2,即 a=1. (4 分) ax+1 (2)由 f′(x)= x2 (x>0), 当 a≥0 时, f′(x)>0 恒成立,所以 f(x)的单调增区间为(0,+∞). 当 a<0 时, 1 由 f′(x)>0,得 0<x<-a, 1? ? 所以 f(x)的单调增区间为?0,-a?; ? ? 1 由 f′(x)<0,得 x>-a,

? 1 ? 所以 f(x)的单调减区间为?-a,+∞?. ? ? (10 分) 1 (3)设 g(x)=aln x- x-2x+3,x∈[1,+∞), -2x2+ax+1 a 1 则 g′(x)= x+x2-2= . x2 令 h(x)=-2x2+ax+1,考虑到 h(0)=1>0, 当 a≤1 时, a h(x)=-2x2+ax+1 的对称轴 x=4<1, h(x)在[1,+∞)上是减函数,h(x)≤h(1)=a-1≤0, 所以 g′(x)≤0,g(x)在[1,+∞)上是减函数, 所以 g(x)≤g(1)=0,即 f(x)≤2x2-3 恒成立. 当 a>1 时, 令 h(x)=-2x2+ax+1=0, a+ a2+8 a- a2+8 得 x1= >1,x2= <0, 4 4 当 x∈[1,x1)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,g(x)在[1,x1)上是增函数; 当 x∈(x1,+∞)时,h(x)<0,即 g′(x)<0,g(x)在(x1,+∞)上是减函数. 所以 0=g(1)<g(x1),即 f(x1)>2x1-3,不满足题意. 综上,a 的取值范围为 a≤1. (16 分) 6.解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为 d,因为 Sn3=(Sn)3 对任意正整数 n 都成

3 ?a1=a1, 立,所以分别取 n=1,n=2 时,则有:? 3 ?8a1+28d=?2a1+d? .

因为数列{an}的各项均为正整数,所以 d≥0. 可得 a1=1,d=0 或 d=2. (4 分) 当 a1=1,d=0 时,an=1,Sn3=(Sn)3 成立; 当 a1=1,d=2 时,Sn=n2,所以 Sn3=(Sn)3. 因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an=1 或 an=2n-1.

(6 分) (2)(ⅰ)记 An={1,2,?,Sn},显然 a1=S1=1. (7 分) 对于 S2=a1+a2=1+a2,有 A2={1,2,?,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}= {1,2,3,4}, 故 1+a2=4,所以 a2=3. (9 分) (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,?,an}按上述规则,共产生 Sn 个正整数. (10 分) 而集合{a1, 2, a ?, n, n+1}按上述规则产生的 Sn+1 个正整数中, 1,2, a a 除 ?, Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an-1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,?,Sn),共 2Sn+ 1 个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1. (12 分) 1? 1? 1 1 1 1 ? ? 又 Sn+1+2=3?Sn+2?,所以 Sn=?S1+2?·n-1-2=2·n-2. 3 3 ? ? ? ? (14 分) 1 1 ?1 - 1? 3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·n-2-?2·n 1-2?=3n-1. 3 ? ? (15 分) 而 a1=1 也满足 an=3n-1. 所以,数列{an}的通项公式是 an=3n-1. (16 分)


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