【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第四篇 平面向量、复数 检测试题 Word版含解析

第四篇 检测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

【选题明细表】 知识点、方法 向量的概念及线性运算 向量的基本定理及坐标运算 向量的数量积及应用 复数的概念及运算 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2012 年高考天津卷)i 是虚数单位,复数 等于( B ) (A)2+i (B)2-i 题号 3、7 5、18 2、9、10、11、12、15、16、19 1、4、13、14、17 6、8、20、21、22

(C)-2+i (D)-2-i 解析: = 2. = =2-i.故选 B.

已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为θ,则下列结论不正确的是

( D ) (A)e1 在 e2 方向上的投影为 cos θ (B) = (C)(e1+e2)⊥(e1-e2) (D)e1· 2=1 e

解析:由题可知 e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ,则 D 项错误.故选 D. 3.设 a,b 是两个非零向量,则下列选项正确的是( C ) (A)若|a-b|=|a|-|b|,则 a⊥b (B)若 a⊥b,则|a-b|=|a|+|b| (C)若|a-b|=|a|-|b|,则 a,b 共线 (D)若 a,b 平行,则|a+b|=|a|+|b| 解析:若|a-b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,所以选项 A 是错误的;若 a⊥b,则 以 a,b 为邻边构成长方形的对角线的长不可能等于两个邻边长的和,所 以选项 B 是错误的;若 a,b 平行,则 a,b 的方向可能相同,也可能相反, 如果 a,b 的方向相反,则|a-b|=|a|+|b|,所以选项 D 是错误的.故选 C. 4.(2013 皖北协作区联考)复数 等于( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为 = = =2i=x+yi, =x+yi(x,y∈R,i 为虚数单位),则 x+y

所以 x=0,y=2,x+y=2. 故选 C. 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, =(2,4), =(1,3),则 于( C ) (A)(2,4) (B)(3,5) (C)(-3,-5) (D)(-2,-4) 等

解析:因为 所以 =

= = - =(1,3)-(2,4)=(-1,-1), - =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),故选 C.

6. 若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则 9x+3y 的最小值为( D ) (A)12 (B)2 (C)3 (D)6 解析:由题可得 4(x-1)+2y=0, 即 2x+y=2, 9x+3y=32x+3y≥2 =2 =6.故选 D.

7. 已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 = (A)AB 边中线的中点 (B)AB 边中线的三等分点(非重心) (C)重心 (D)AB 边的中点 解析:取 AB 边的中点 M,则 + 由 = 3 =3 ∴ = +2 , , 可得 =2 , ,则点 P 一定为三角形 ABC 的( B )

即点 P 为三角形 ABC 中 AB 边上的中线的非重心的一个三等分点.故选 B.

8.(2012 安徽淮南质检)已知向量 、 λ +μ ( D ) (A)以 (B)以 (C)以 (D)以 为圆心,半径为 1 的圆上 为圆心,半径为 1 的圆上 为圆心,半径为 1 的圆上 为圆心,半径为 1 的圆上

满足| |=|

|=1, · =0, =

(λ、μ∈R),若 M 为 AB 的中点,并且|

|=1,则点(λ,μ)在

解析:由于 M 是 AB 的中点, ∴△AOM 中, ∴| ∴ ∴ + |=| =( + |= =1, =1,故选 D. ), =1,

9.设 a、b、c 是单位向量,且 a· b=0,则(a-c)· (b-c)的最小值为( D ) (A)-2 (B) -2 (C)-1 (D)1-

解析:依题意,设 a=(1,0),b=(0,1),c=(sin θ,cos θ), 则 a-c=(1-sin θ,-cos θ), b-c=(-sin θ,1-cos θ),

所以(a-c)·(b-c) =-sin θ(1-sin θ)-cos θ(1-cos θ) =1-(sin θ+cos θ) =1- sin ,

则其最小值是 1- ,故选 D. 10.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那 么 · 的最小值为( D ) (A)-4+ (B)-3+

(C)-4+2 (D)-3+2 解析:如图所示,设 PA=PB=k,

∠APO=α,∠APB=β, 则 sin α= cos α= , ,

cos β=cos 2α=

, .

∴ · =k2cos β=k2· 设 t=k2+1,则 t>1, ∴ · = =

=t+ -3≥2 -3, 当且仅当 t= 时取等号. 故选 D. 11. 设 A 、 B 、 C =(n,1), 是 同 一 直 线 上 的 三 个 点 , 且 =(5,-1),若 ⊥ ,则实数 m,n 的值分别为

=(-2,m), ( C ) (A) (C) 或 或

(B) (D)

或 或

解析:由题意知 =

- =(n+2,1-m), =(5-n,-2),

∵A、B、C 三点共线, ∴-2(n+2)=(1-m)(5-n).① 又 ⊥ ,

∴-2n+m=0,② 由①②得 故选 C. 12.(2012 年高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β,定义 α。β= .若两个非零的平面向量 a、b 满足 a 与 b 的夹角θ∈ , 或

且 a。b 和 b。a 都在集合{ n∈Z}中,则 a。b 等于( D )

(A)

(B)

(C)1 (D) = cos θ= cos θ,b。a= cos θ,

解析:a。b=

因为|a|>0,|b|>0,0<cos θ< , 且 a。b、b。a∈{ n∈Z}, 所以 cos θ= (n∈Z), cos θ= (m∈Z), 其中 m、n∈N*,两式相乘,得 =cos2θ,

因为 0<cos θ< ,所以 0<cos2θ< , 得到 0<m·n<2,故 m=n=1, 即 a。b= ,故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2012 北京西城二模)已知复数 z 满足(1-i)· z=1,则 z= 解析:由题意得 z= = 答案: + i 14.(2012 苏锡常镇四市二调)若复数 z 满足 -2=i(1+i)(i 为虚数单位), 则 z= . = + i. .

解析:因为 =1+i, 所以 z=1-i.

答案:1-i 15.(2012 年高考浙江卷)在△ABC 中,M 是线段 BC 的中点,AM=3,BC=10, 则 · = . + = ,

解析:如图所示, =

=

+

=

+

, · = -

∴ · =

=32- ×102=-16. 答案:-16 16.已知两个单位向量 和 ,它们的夹角为 120°,如图所示,点 C 在以 O ,其中 x、y∈R,则 x+y 的最大值

为圆心的圆弧 上变动.若 =x +y 为 .

解析:由题意知,| |=| ∴ =(x +y

|=| |=1,向量 、

的夹角为 120°,

)2=x2+y2+2xy·cos 120°

=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy

≥(x+y)2-3· = (x+y)2(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 1≥ (x+y)2,∴(x+y)2≤4, ∴x+y 的最大值为 2. 答案:2 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 且 z1· 2 是实数,求 z2. z 解:由(z1-2)(1+i)=1-i 得 z1-2= , 即 z1= +2= +2=2-i.

设 z2=a+2i(a∈R), 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. 又 z1· 2 是实数, z ∴4-a=0,∴a=4. ∴z2=4+2i. 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在△ABC 中,在 AC 上取点 N,使得 AN= AC,在 AB 上取点 M,使得 AM= AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长线上取点 Q,

使得 MQ=λCM 时, = ,试确定λ的值.

解:∵ = =( = + , )

-

又 =

=



,

∵ = , ∴ 即λ +λ = , )= .

=( -

∴λ= . 19.(本小题满分 12 分) (2013 南 充 市 第 一 次 适 应 性 考 试 ) 已 知 m 、 x ∈ R, 向 量 a=(x,-m),b=((m+1)x,x). (1)当 m>0 时,若|a|<|b|,求 x 的取值范围; (2)若 a· b>1-m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)|a|2=x2+m2,|b|2=(m+1)2x2+x2, 因为|a|<|b|,

所以|a|2<|b|2. 从而 x2+m2<(m+1)2x2+x2. 因为 m>0, 所以 解得 x<<x2, 或 x> .

(2)a· b=(m+1)x2-mx. 由题意,得(m+1)x2-mx>1-m 对任意的实数 x 恒成立, 即(m+1)x2-mx+m-1>0 对任意的实数 x 恒成立. 当 m+1=0, 即 m=-1 时,显然不成立. 从而 解得 所以 m> . 20.(本小题满分 12 分) (2012 自 贡 模 拟 ) 设 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,O 为 原 点 ,N 为 动 点,| N1, = |=6, + = ,过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点

,记点 T 的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程.

解:设 T(x,y), 点 N(x1,y1),

则 N1(x1,0). 又 即 = = , =( x1, y1)∴M1 (0, + =( x1, y1), y1), ( x1,0), =(0,y1).

于是 =

即(x,y)= ( x1, y1), 即

由|

|=6,

得 + =36, ∴5x2+y2=36. 故所求曲线 C 的轨迹方程为 5x2+y2=36. 21.(本小题满分 12 分) 已知复数 z1=sin 2x+ti,z2=m+(m- cos 2x)i(i 为虚数单位,t、m、x∈ R),且 z1=z2. (1)若 t=0 且 0<x<π,求 x 的值; (2)设 t=f(x),已知当 x=α时,t= , 试求 cos 的值.

解:(1)因为 z1=z2, 所以

所以 t=sin 2x- cos 2x, 若 t=0,则 sin 2x- cos 2x=0, 得 tan 2x= . 因为 0<x<π, 所以 0<2x<2π, 所以 2x= 或 2x= , 所以 x= 或 x= . (2)因为 t=f(x)=sin 2x- cos 2x=2sin 因为当 x=α时,t= , 所以 2sin 所以 cos 2sin2 -1=2 = ,sin =cos 2 -1=- . =- . =2cos2 -1= ,

22.(本小题满分 14 分) 已知 O 为坐标原点,向量 α,2),点 P 满足 = . (1)记函数 f(α)= · ,α∈ 域; ,讨论函数 f(α)的单调性,并求其值 =(sin α,1), =(cos α,0), =(-sin

(2)若 O、P、C 三点共线,求| +

|的值.

解:(1) =(cos α-sin α,-1),设 =(x,y), 则 =(x-cos α,y). 由 = 得 x=2cos α-sin α,y=-1, 故 =(2cos α-sin α,-1). =(sin α-cos α,1), =(2sin α,-1), f(α)= · =(sin α-cos α,1)· (2sin α,-1)= 2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)= - sin 又α∈ , ,

故 0<2α+ < , 当 0<2α+ ≤ ,即- <α≤ 时,f(α)单调递减; 当 <2α+ < ,即 <α< 时,f(α)单调递增, 故函数 f(α)的单调递增区间为 单调递减区间为 , ,

因为 sin



,

故函数 f(α)的值域为[- ,1). (2)由(1)知 =(2cos α-sin α,-1), =(-sin α,2), 由 O、P、C 三点共线可得 (-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α), 得 tan α= . sin 2α= = = .

∴| +

|= = .

=


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