三角函数公式专题总结

三角公式汇总
1、L 弧长= ? R= nπ R 180 S 扇=

1 1 n? ? R 2 LR= R2 ? = 2 2 360

2、正弦定理:

b c a = = = 2R(R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
2

3、余弦定理:a

=b

2

+c

2

-2bc cos A

b

2

=a

2

+c

2

-2ac cos B

c

2

=a

2

+b

2

-2ab cos C

cos A ?
4、S⊿=

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

1 1 1 a ? ha = ab sin C = bc sin A 2 2 2
y sin ? x cos ? ? cos ? ? csc? = = sin ? ? sec ? ② cot? ? ? x cos ? y sin ?
④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

5、同角关系: ⑴商的关系:① tan ? = ③ sin ? ? ⑤ cos ? ?

y ? cos ? ? tan ? r x ? sin ? ? cot ? r

r 1 ? ? tan ? ? csc ? x cos ?

r 1 ? ? cot ? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? cot ? ? 1 ⑶平方关系: sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ? ? 1
2 2 2 2 2 2

⑷ a sin ? ? b cos? ?

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中辅助角 ? 满足 cos ? ?

a a ?b
2 2

,sin ? ?

b a ? b2
2



6、函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 )

2? 1 , 频率 f= , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ? ? T ? 3? ,2? 求出 x 与 y,依点 ? x, y ? 作图 7、五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 , ? , 2 2
振幅 A,周期 T= 8、诱导公式 sin -? - sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos? tg - tan ? + + ctg - cot ? + + 三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前面加上一个 把 ? 看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名 不变,符号看象限

? -?
? +?
2? -? 2k ? + ?

tan ?

cot ?

tan ? tan ? tan ?

cot ? cot ? cot ?
1

sin

? ?
2

??

+ cos? + cos? - cos? - cos?

con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

tg + + -

ctg + + -

cot ? cot ? cot ? cot ?

tan ? tan ? tan ? tan ?

三角函数值等于 ? 的异名三角函数值,前面加上一个 把 ? 看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名 改变,符号看象限 总之:奇变偶不变,符号看象限

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

9、和差角公式 ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tan(? ? ? ) ? ② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?
2

④ tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? )

10、二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
2 2

② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ?
2

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?
⑤ cos ? ?
2

2 tan ? ③ tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

tan 2 ? 1 ? cos 2? ? ④ sin ? ? 2 1 ? tan ? 2
2

1 ? cos 2? 2

11、半角公式: (符号的选择由

? 所在的象限确定) (不要求记忆) 2
2

① sin ④ cos

?
2
2

??
?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin

?
2

?

1 ? cos ? 2
2

③ cos

?
2

??

1 ? cos? 2
2

?
2

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos

?
2

⑦ 1 ? sin ? ?

(cos ? sin ) 2 ? cos ? sin 2 2 2 2

?

?

?

?

⑧ tan

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?
1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 cos ? sin ? ?

12、积化和差公式: (不要求记忆)

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? 2

13、和差化积公式: (不要求记忆)
2

① sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 2 2 ??? ??? ??? ??? cos sin ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos ④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin 2 2 2 2
14、反三角函数: 名称 反正弦 条件 X 范围 X 的值

cos

???

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???

sin

???

sin x ? a(?1 ? a ? 1)
cos x ? a(?1 ? a ? 1)

? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

x ? arcsin a
x ? arccos a

反余弦 反正切

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

tan x ? a(a ? R)

x ? arctan a

练习:
一、三角函数定义及符号判断 1、已知 ? 的终边过点 P(-4t,3t) t ? R, 且t ? 0 ,则 2sin ? ? cos ? = 2、函数 y ?

sin x cos x tan x cot x 的值域为 ? ? ? sin x cos x tan x cot x

二、弧度制下扇形的面积和弧长公式 已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

三、同角三角函数的基本关系式 1、已知 cos ? ? ?

8 , 求 sin ? , tan ? 的值。 17

2、已知 tan ? ? ?

3 , 求 sin ? , cos ? , tan ? 的值。 4

3

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2 tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 4、已知 =____ ; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =___ tan ? ? 1 sin ? ? cos ?
3、已知 sin ? ? 四、三角函数诱导公式 1、 cos

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ 4 6

2、 tan 315? ? tan(?300? ) ? cot(?330? ) = 3、若 sin ? ?

3 ,则 3

cos(? ? ? ) cos(2? ? ? ) 的值为 ? 3? ? 3? cos ? [sin( ? ? ) ? 1] cos(? ? ? )sin( ? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2 2
?

4、 cos 900 ? sin(?1560 ) ? cot( ?
?

53 ? ) ? sin(?450? ) = 6

五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 1、已知 ? , ? 都是锐角,且 sin ? ?

5 10 ,求 ? ? ? 。 ,sin ? ? 5 10

2、 ?、? 均为锐角,且 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ?

1 2

1 , 求 cos(? ? ? )和 tan(? ? ? ) 的值。 2

3、

cos15? ? sin15? cos15? ? sin15?

=

4

4、

tan 2 52.5? ? tan 2 7.5? 1 ? tan 2 52.5? tan 2 7.5?

=

5、求值: (1) cos

?
11
?

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos ; 11 11 11 11
? ? ?

(2) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78

6、化简: cos2 ( A ? 15? ) ? cos2 ( A ?15? ) ? cos30? cos 2 A

六、. 三角函数的化简、计算、证明中的一些技巧 1、巧变角:

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 ? 3? ? ? 3 3? 5 , 0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , 求 sin(? ? ? ). (2)已知 ? ? ? 4 4 4 4 5 4 13
(1)已知 tan(? ? ? ) ?

5

(3)已知 sin(? ?

?

tan

? ??
2

4 ? 12 ? ? ) ? ,cos( ? ? ) ? ? , 且? ? 和 ? ? 分别为第二、第三象限角,求 2 5 2 13 2 2

的值。

2、三角函数名互化(切割化弦), (1)求值: sin50? (1 ? 3 tan10? ) = ; ;

2sin ? ? 3cos ? ? (2)已知 tan ? ? 2 ,则 4sin ? ? 9 cos ? 1 ? tan15? (3)求值: 1 ? tan15?

2sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? 4sin 2 ? ? 9cos 2 ?



3、公式变形使用 (1)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? 角形。 (2)已知 A、B 为锐角,证明 A ? B ?

3 ,则此三角形是____三 4

?
4

的充要条件是 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 。

6

4、升幂降幂公式的应用 (1)求函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

5 3( x ? R ) 的单调递增区间; 2

(2)化简:①

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4?

② 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2?

5、 “1”的妙用 (1)已知 tan ? ? 2 ,求 ① sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?
2 2

② sin ? cos ?

③ 2sin ? ? 3cos ?

7

(2)化简

1 ? 2sin 40? cos 40? cos 40? ? 1 ? sin 2 50?

6、辅助角公式的应用: (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ (3)化简:

2 ? 6 ? sin( ? x) ? cos( ? x) 4 4 4 4

7、sinx + cosx , sinx – cosx , sinxcosx 三者之间相互转化 已知 ? 为某三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

1 , 求 sin ?、 cos ?、 tan ? 的值。 5

8、三角代换 (1)已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1 ,求证: a ? b ? 1
2 2

(2)若 a ? b ? 1, x ? y ? 1, 则ax ? by 的取值范围是
2 2 2 2

(3)已知 x ? y ? 1, 求x ? 3 y ? 3 的最值。
2 2 2

8


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