2015年高考数学三角函数问题练习题(含解析)

高考中的三角函数问题(解答题) 1.三角函数求值及函数的性质 (1)同角三角函数关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? ? (2)两角和与差的三角公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? s in ? ② cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? m sin ? s in ? (3)三角函数的性质 ① y ? A sin(? x ? ? ) ? k 与 y ? A cos(? x ? ? ) ? k 的最小正周期为 T ? ③ tan(? ? ? ) ? sin ? cos ? tan ? ? tan ? 1 m tan ? tan ? 2? |? | ② y ? A ? tan(? x ? ? ) ? k 的最小正周期为 T ? ? |? | ? 6 ),的最小正周期为 10? ,其中 ? x? 例 1. (2012·广东高考 ) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos( ? ? 0 , x ? R (1)求 ? 的值; ? 5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. (2)设 ?,? ? [0 , ] , f (5? ? (3)若 0 ? x ? 20? ,求 f ( x) 的最大值与最小值 3 2 3 5 6 17 解:(1)∵ f ( x ) ? 2 cos(? x ? ? 6 ? 1 ? ? 5? 6 ] f (5? ? ) ? ? , (2) 由 (1) 知 f ( x ) ? 2 cos( x ? ) , 而 ?,? ? [ 0 , , 5 6 2 3 5 5? 16 1 5? ? 16 1 5? ? 6 f (5? ? ) ? ,∴ 2 cos[ (5? ? ) ? ] ? ? , 2 cos[ (5? ? ) ? ] ? 3 17 5 3 6 17 5 3 6 5 ? 3 8 3 4 15 即 cos(? ? ) ? ? , cos? ? ,于是 sin ? ? , cos? ? , sin? ? , 2 5 17 5 5 17 4 8 3 15 13 ? ? ?? . ∴ cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin? ? ? 5 17 5 17 85 1 ? 20? ? x ? 3? (3)由(1)得 f ( x ) ? 2 cos( x ? ) ,由 0 ? x ? ,得 ? ? ? 5 6 3 6 5 6 2 x ? 25? 当 ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x)min ? ?2 ; 5 6 6 x ? ? ? 当 ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x) max ? 2 ? cos ? 3 5 6 6 6 2. 三角函数的图像与性质 五点法作图: 作函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 与 y ? A cos(? x ? ? ) ? k 的简图的五个点如何作 ) , ? ? 0 的最小正周期 T ? 10? ? 2? ,∴ ? ? 1 . 5 1 出? [例 2] 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间 (3)求函数 f ( x) 的图象的对称中心的坐标与对称轴方程 【解析】 (1)依题意: A ? 1 , 最小正周期 T ? 4( ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , ? 2 ) 的部分图象如图所示. ? 3 ? ? 12 ) ? ? , ∴? ? 2? 2? ? ? 2, T ? ) ? sin( ? ? ) ? 1 ,且 | ? |? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) . 12 6 2 3 3 ? ? 3? ? 7? ? 2k ? , k ? Z ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z (2)令 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 3 2 12 12 ? 7? ? k? ](k ? Z ) 所以函数 f ( x) 的单调递减区间 [ ? k? , 12 12 ? 1 ? (3)令 2 x ? ? k? , k ? Z ,得 x ? k? ? , k ? Z , 3 2 6 1 ? 所以函数 f ( x) 的图象的对称中心的坐标为 ( k? ? , 0) ( k ? Z ) ; 2 6 ? ? 1 ? , k ?Z , 令 2 x ? ? k? ? , k ? Z ,得 x ? k? ? 3 2 2 12 1 ? , k ?Z 所以函数 f ( x) 的图象的对称轴方程为 x ? k? ? 2 12 ∵ f( 3. 向量、三角变换与求值、三角函数的性质 (1)化一公式:如何将 a sin ? ? b cos ? 化为同一个角的三角函数? ? ? ? ? ? a sin ? ? b cos ? ? a2 ? b2 sin(? ? ? ) 2 2 2 2 (2) sin 2? ? 2sin ? cos ? , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 1 (3)降幂公式: sin 2 ? 2 r r r r r r (4)设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? x1x2 ? y1 y2 [例 3]已知 a ? (2 cos ? 1 ? 1 (1 ? cos ? ) , cos 2 ? (1 ? cos ? ) 2 2 2 r r r r x x , ? 3) , b ? (cos , sin x) 函数 f ( x) ? a ? b 2 2

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