二项式定理的应用练习题

二项式定理的应用练习题
一、选择题

? 2 1?n 1.若?x - ? 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项为( x? ?
A.-84 C.-36 答案:B B.84 D.36

)

2. (2009 年丰台模拟)设(5x- x) 的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N, 若 M-N=240, 则展开式中 x 的系数为( A.-150 C.-500 答案:B 3.若 n 为奇数,则 7 +Cn7 A.0 C.7 解析:∵7 +Cn7
1 n-1 n n 1 n-1 n 1 n-1 3

n

)

B.150 D.500

+Cn7

2 n-2

+…+Cn 7 被 9 除得的余数是(

n-1

)

B.2 D.8 +Cn7
2 n-2

+…+Cn 7=8 -1=(9-1) -1=9 -Cn9
n-1 n n n

1 n-1

+…+(-1)

n-

C

9+(-1) -1
n

因为 n 为奇数, 所以原式=[9 -Cn9
n 1 n-1

+…+(-1)

n-1 n-1 n

C

9]-2,

所以,其余数为 7,故选 C. 答案:C 4.若(2x+ 3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值为( A.1 C.0 答案:A 5.(2009 年南靖一中月考)设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同, 则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod m).已知 a=1+C20+C20·2+C20·2 +…+C20·2 , b≡a(mod 10),则 b 的值可以是( A.2015 C.2008 答案:B 二、填空题 6. (2009 年成都模拟)如果 x+x +x +…+x +x =a0+a1(1+x)+a2(1+x) +…+a9(1
2 3 9 10 2 1 2 3 2 20 19 4 2 3 4 2 2

)

B.-1 D.2

) B.2011 D.2006

+x) +a10(1+x) ,则 a9=________. 解析:令 1+x=y,则 x=y-1, 原式变为(y-1)+(y-1) +…+(y-1) +(y-1) =a0+a1y+a2y +…+a9y +a10y , 可知 a9=1+C10(-1)=-9. 答案:-9 7.设函数 f(x)=(1-2x) ,则导函数 f′(x)的展开式 x 项的系数为________. 解析:f′(x)=10·(1-2x) ·(-2)=-20(1-2x) , x 项的系数为-20·C9(-2) =-2880. 答案:-2880 8.3 被 7 除的余数为________. 解析:3 =3×27 , 27 =(28-1) =(4×7-1) 被 7 除的余数为 6, 故 3×27 被 7 除的余数等于 18 被 7 除的余数即 4. 答案:4 三、解答题 9.若(1+x) (1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a11x .求: (1)a1+a2+a3+…+a11; (2)a0+a2+a4+…+a10. 解析:(1)(1+x) (1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a11x . 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a11=-2 ,① 又令 x=0,得 a0=1, 所以 a1+a2+…+a11=-2 -1=-65. (2)再令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…-a11=0② 1 6 ①+②得 a0+a2+…+a10= (-2 +0)=-32. 2 10.设 an=1+q+q +…+q (1)用 q 和 n 表示 An; An (2)又设 b1+b2+…+bn= n.求证:数列{bn}是等比数列. 2 1-q 解析:(1)∵q≠1,∴an= . 1-q 1-q 1 1-q 2 1-q n ∴An= Cn+ Cn+…+ Cn 1-q 1-q 1-q
2 n n 2 n-1 6 6 6 5 2 11 6 5 2 11 33 33 33 33 100 33 100 2 2 2 9 9 10 2 9 2 9 10 2 9 10

9

10

(n∈N+,q≠±1),An=C1a1+C2na2+…+Cnan. n n

= =

1 1 2 n 1 2 2 n n [(Cn+Cn+…+Cn)-(Cnq+Cnq +…+Cnq )] 1-q 1 n n [2 -(1+q) ]. 1-q

(2)证明:∵b1+b2+…+bn An 1 ? ?1+q?n? = n= ?1-? ? ?, 2 1-q? ? 2 ? ? 1 ? ?1+q?n-1? ∴b1+b2+…+bn-1= ?1-? ? ?(n≥2) 1-q? ? 2 ? ? 1?1+q?n-1 两式相减得:bn= ? ? (n≥2) 2? 2 ? ∴ bn+1 1+q = ≠0, bn 2

∴{bn}是等比数列。


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