广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学理试题含答案


2014 年广东省肇庆市普通高中全国招生统一考试第一次模拟考试

理科数学能力测试
参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},集合 M={大于 ?1 且小于 4 的整数},则 CU M ? A .? B.{-2,-1,5,6} C.{0,1,2,3,4} D.{-2,-1,4,5,6}

2.定义域为 R 的四个函数 y ? x2 ? 1 , y ? 3x , y ?| x ? 1| , y ? 2 cos x 中,偶函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 3.设 i 是虚数单位, z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? A. 2 ? 1 4.二项式 ? x ? B. 2 ? 3 C. 2 2 ? 1 D. 2 2 ? 1

? ?

1? 3 ? 的展开式中 x 的系数是 x?

9

A.84 B.-84 C.126 D.-126 5.某四棱锥的三视图如图 1 所示(单位:cm),则该四棱锥的体积是 A. 27 cm
3

B. 9 cm

3

C. 3 2 cm

3

D. 3 cm

3

6.若如图 2 所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中 M 表示的“条件”应该是 A. n ? 3 C. n ? 5 B. n ? 4 D. n ? 6

7.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R , e
x0

? 0;
2

B. ?x ? R , 2 ? x ;
x

C.“ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充分不必要条件; D.设 a , b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是“ a // b ”的必要不充分条件 8 .设向量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一种向量积: a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量

? ? ,则 y ? f ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值是 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) 6 3
A.4 B.2 C. 2 2 D. 2 3

1 ? m ? ( ,4) , n ? ( ,0) , 点 P 在 y ? cos x 的 图 象 上 运 动 , 点 Q 在 y ? f ( x) 的 图 象 上 运 动 , 且 满 足 2 6

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 y ?

x 2 ? 3x ? 2 的定义域为 ▲ .
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10.曲线 f ( x ) ?

ex 在 x ? 0 处的切线方程为 ▲ . x ?1
▲ .

11.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a5 ?

?y ? 3 ? 0 ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为不等式组 ?3 x ? y ? 6 ? 0 所表示的平面区域内一动点,则线段|OP|的最小值等 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
于 ▲ . 13.已知集合 A={4},B={1,2},C={1,3,5},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标, 则确定的不同点的个数为 ▲ .

14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,曲线 C 在点(2, 处的切线为 l,以极点为坐标原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则 l 的直角坐标方程为 ▲ . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D,若 DB ? 3 ,则 DC= ▲ .

? ) 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos( x ?

?
6

), 0) ,n ? (2,0) ,x ? R , 函数 f ( x) ? m ? n .

(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (? ) 的值; (3)若 f (? ?

2? 6 ? ) ? , ? ? ( ? ,0) ,求 f (2? ) 的值. 3 5 2

17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本,其分组 区间和频数是: ?50,60? ,2; ?60,70? ,7; ?70,80? ,10; ?80,90? ,x;[90, 100],2. 其频率分布直方图受到破坏,可见部分如下图 4 所示,据此解答如下问 题. (1)求样本的人数及 x 的值; (2)估计样本的众数,并计算频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高; (3)从成绩不低于 80 分的样本中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含

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90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 18. (本小题满分 13 分) 如图 5,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D、E 分别 是 BC 和 CC1 的中点,已知 AB=AC=AA1=4,?BAC=90?. (1)求证: B1D ⊥平面 AED ; (2)求二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值; (3)求三棱锥 A ? B1DE 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 2 , nan?1 ? S n ? n(n ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 Tn 为数列{

an }的前 n 项和,求 Tn ; 2n
,证明: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

(3)设 bn ?

1 a n a n ?1 a n ? 2

1 . 32

20. (本小题满分 14 分) 设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一个焦点坐标为( 3 ,0) ,离心率 e ? 3 , A、B 是双曲线上 a2 b2

的两点,AB 的中点 M(1,2). (1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 AB 方程; (3)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆?为什么? 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

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肇庆市 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题 题 1 号 答 D 案 C A B D B C A 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题 9. ?? ?,1? ? ?2,??? 13.33 10. 2 x ? y ? 1 ? 0 14. x ? y ? 2 2 ? 0 11.16 15. 3 12.

3 10 5

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ m ? (cos( x ?

?
6

), 0) , n ? (2,0) , x ? R ,

∴ f ( x) ? m ? n ? 2 cos( x ? (2) f (? ) ? 2cos ? ? ? (3)∵ f (? ?

?
6

) ,即函数 f ( x) ? 2 cos( x ?

?
6

).

(3 分)

? ?

??

? ? ?2cos ? ? 3 6? 6

?

(6 分)

2? 2? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ) ? ?2 sin ? , 3 3 6 2 2? 6 6 3 ) ? ,∴ ? 2 sin ? ? ,即 sin ? ? ? . 又 f (? ? (7 分) 3 5 5 5

4 ? 3? ∵ ? ? ( ? ,0) ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2 5 ? 5?
2

?

2

(8 分)

∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ? ?
2

24 ? 3? 4 ?? , 25 ? 5? 5

(9 分)

7 ?4? . cos 2? ? 2cos ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?
2

(10 分)

∴ f (2? ) ? 2cos ? 2? ?

? ?

??

? ? 2cos 2? cos ? 2sin 2? sin 6? 6 6

?

?

(11 分)

? 2?

7 3 ? 24 ? 1 7 3 ? 24 . ? ? 2?? ? ?? ? 25 2 25 ? 25 ? 2
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(12 分)
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17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意得,分数在 [50,60) 之间的频数为 2, 频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , (1 分) 所以样本人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

(2 分) (4 分) (6 分) (7 分) (8 分)

x 的值为 x ? 25 ? (2 ? 7 ? 10 ? 2) ? 4 (人).
(2)从分组区间和频数可知,样本众数的估计值为 75 . 由(1)知分数在 [80,90) 之间的频数为 4,频率为 所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为

4 ? 0.16 25

0.16 ? 0.016 10

(3)成绩不低于 80 分的样本人数为 4+2=6(人) ,成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 2 人,所以 ? 的取值为 0,1, 2. (9 分)
2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 1 , , (10 分) ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

? P(? ? 0) ?

所以 ? 的分布列为:

?
P (? )

0

1

2

6 15

8 15

1 15
(11 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

6 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 3

(13 分)

18. (本小题满分 13 分) 方法一: 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 因为 AB ? AC ? AA1 =4,所以 A(0,0,0) , B(4,0,0) ,E(0,4,2) ,D(2,2,0) , B1(4,0,4). (1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分)

(1) B1 D ? (?2,2,?4) , AD ? (2,2,0) , AE ? (0,4,2) . 因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ,所以 B1D ? AD ,即 B1D ? AD . 因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、AE?平面 AED,且 AD∩AE=A,故 B1D ⊥平面 AED . (2)由(1)知 B1 D ? (?2,2,?4) 为平面 AED 的一个法向量.

???? ?

????

设平面 B1AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? (4,0,4) ,
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所以由 ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) .(7 分) ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24 ? 6 , 6
(8 分)

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为

6 . 6

(9 分)

(3)由 AD ? (2,2,0) , DE ? (?2,2,2) ,得 AD ? DE ? 0 ,所以 AD⊥DE. (10 分) 由 | AD |? 2 2 , | DE |? 2 3 ,得 S ?ADE ?

1 ?2 2?2 3 ? 2 6 . 2

(11 分) (12 分) (13 分)

由(1)得 B1D 为三棱锥 B1-ADE 的高,且 | B1 D |? 2 6 , 所以 V A? B1DE ? VB1 ? ADE ?

1 ?2 6?2 6 ?8. 3

方法二: 依题意得, AA1 ? 平面 ABC, B1C1 ? BC ?

AB2 ? AC 2 ? 4 2 , AD ? BD ? CD ? 2 2 ,

BB1 ? CC1 ? 4 , EC ? EC1 ? 2 .
(1)∵ AB ? AC ,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵B1B⊥平面 ABC,AD?平面 ABC,∴AD⊥B1B. BC、B1B?平面 B1BCC1,且 BC∩B1B=B,所以 AD⊥平面 B1BCC1. 又 B1D?平面 B1BCC1,故 B1D⊥AD .
2

(2 分)
2 2

2 2 2 2 2 2 由 B1 E ? B1C1 ? EC1 ? 36 , B1 D ? B1 B ? BD ? 24 , DE ? DC ? EC ? 12 ,

得 B1 E ? B1 D ? DE ,所以 B1 D ? DE .
2 2 2

(4 分) (5 分)

又 AD、DE?平面 AED,且 AD∩DE=E,故 B1D ⊥平面 AED . (2)过 D 做 DM⊥AE 于点 M,连接 B1M. 由 B1D⊥平面 AED,AE?平面 AED,得 AE ⊥B1D. 又 B1D、DM?平面 B1DM,且 B1D∩DM=D,故 AE⊥平面 B1DM. 因为 B1M?平面 B1DM,所以 B1M⊥AE. 故∠B1MD 为二面角 B1—AE—D 的平面角. 由(1)得,AD⊥平面 B1BCC1,又 DE?平面 B1BCC1,所以 AD⊥DE. 在 Rt△AED 中, DM ?

(7 分)

AD ? DE 2 30 , ? AE 5 B1 D 2 ? DM 2 ? 12 5 , 5

(8 分)

在 Rt△B1DM 中, B1 M ? 所以 cos?B1 MD ?

6 DM 6 ,即二面角 B1—AE—D 的余弦值为 . (9 分) ? 6 B1 M 6
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(3)由(1)得,AD⊥平面 B1BCC1, 所以 AD 为三棱锥 A-B1DE 的高,且 AD ? 2 2 . 由(1)得 S ?B1DE ? 故 V A? B1DE (10 分) (11 分) (13 分)

1 1 B1 D ? DE ? ? 2 6 ? 2 3 ? 6 2 . 2 2 1 1 ? S ?B1DE ? AD ? ? 6 2 ? 2 2 ? 8 . 3 3

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,当 n ? 2 时,有 ?

?nan ?1 ? S n ? n(n ? 1) , ?(n ? 1)a n ? S n ?1 ? (n ? 1)n

(1 分)

两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? an ? 2n, 即 an?1 ? an ? 2 .

(2 分)

?a1 ? 2 ? 由 ?a 2 ? S 1 ? 2 ,得 a2 ? a1 ? 2 . ?S ? a 1 ? 1
所以对一切正整数 n,有 an?1 ? an ? 2 , 故 an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 an ? 2n(n ? N * ) . (2)由(1) ,得 所以 Tn ? 1 ? (3 分) (4 分)

a n 2n n ? n ? n ?1 , n 2 2 2
(5 分) ② (6 分) (7 分)

2 3 n ? 2 ? ? ? n ?1 ① 2 2 2 1 1 1 2 n ?1 n ①两边同乘以 ,得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②,得 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 1? n 1 2 ? n , 所以 Tn ? 1 2n 2 1? 2 n?2 故 Tn ? 4 ? n ?1 . 2
(3)由(1) ,得 bn ?

(8 分)

(9 分)

1 1 1 1 ? [ ? ] (12 分) 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ( ? ) 16 2 (n ? 1)(n ? 2)
(13 分)

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

?

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?

1 1 1 . ? ? 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

?c ? 3 ? 解: (1)依题意得 ? ,解得 a=1. c ?e ? ? 3 a ?
所以 b ? c ? a ? 3 ? 1 ? 2 ,
2 2 2

(1 分)

(2 分) (3 分)

故双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

? 2 x ? ? ? 1 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? x2 ? 2 ? ?
两式相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

y12 ?1 2 . 2 y2 ?1 2
(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

由题意得 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 4 , 所以

y1 ? y 2 2( x1 ? x2 ) ? ? 1 ,即 k AB ? 1. x1 ? x2 y1 ? y 2

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .

(3)假设 A、B、C、D 四点共圆,且圆心为 P. 因为 AB 为圆 P 的弦,所以圆心 P 在 AB 垂直平分线 CD 上;又 CD 为圆 P 的弦且垂直平分 AB,故圆心 P 为 CD 中点 M. (8 分) 下面只需证 CD 的中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

? y ? x ?1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4). x ? ? 1 ? ? 2
由(1)得直线 CD 方程: y ? ? x ? 3 ,

(9 分)

(10 分)

? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:C(-3+ 2 5 ,6- 2 5 ) ,D(-3- 2 5 ,6+ 2 5 ) , x ? ? 1 ? ? 2
所以 CD 的中点 M(-3,6). 因为 | MA |?

(11 分)

(12 分)

4 ? 36 ? 2 10 , | MB |? 36 ? 4 ? 2 10 ,
(13 分)

| MC |? 20 ? 20 ? 2 10 , | MD |? 20 ? 20 ? 2 10 ,
所以 | MA |?| MB |?| MC |?| MD | , 即 A、B、C、D 四点在以点 M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上. 21. (本小题满分 14 分)

(14 分)

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解: (1)∵ f ( x) ?
2

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

∴ f ?( x) ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , (a,+∞) ;单调递减区间为(-1,a) ; (4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两个

? f ( ?2 ) ? 0 ? 零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 , ? f ( 0) ? 0 ?
解得 0 ? a ?

(5 分)

1 1 , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 1 3 (2)当 a=1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , (1,+∞) ;单调递 3 1 ? f (?1) ? ? . 减区间为(-1,1) ; f ( x) 极 (7 分) 大 值 3
①当 t+3<-1,即 t<-4 时, 因 为 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 单 调 递 增 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [t , t+3] 上 的 最 大 值 为

1 1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? (t ? 3) 3 ? (t ? 3) ? 1 ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3
②当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,

(9 分)

因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1?上单调递增, 在区间[-1, 1]上单调递减, 在区间[1, 2]上单调递增, 且 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? , 所以 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? . (10 分) 由 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时,有 [t , t+3]?

1 3

1 3

?? ?,2? , -1?[t , t+3] ,所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上的最大值为
(11 分)

1 f ( x) m a x ? f (?1) ? ? ; 3
③当 t+3>2,即 t>-1 时,

由②得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ?

f (t ? 3) ? f (2) , 故 f ( x) 在

?t, t ? 3?

1 . 因为 f ( x) 在区间( 1 , +∞ )上单调递增,所以 3 1 3 2 上 的 最 大 值 为 f ( x) max ? f (t ? 3) ? t ? 3t ? 8t ? 5 . 3
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(13 分) 综上所述,当 a=1 时,

f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? . (14 分) ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

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