广东省深圳市高级中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

广东省深圳市高级中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.不等式(3x+1) (2x﹣1)>0 的解集是() A. B. C. D.

2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是() A.15 B.30 C.31 3.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.2x+y﹣1=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0
2

D.64

D.x﹣2y+7=0

4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2

5.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

,则 AC=() D.

6.在△ ABC 中,AB=3,AC=2,BC= A. B.

,则 C.

=() D.

7.等差数列{an}中,a1>0,d≠0,S3=S11,则 Sn 中的最大值是() A.S7 B.S7 或 S8 C.S14 D.S8 8.已知点 An(n,an) (n∈N )都在函数 y=a (a>0,a≠1)的图象上,则 a3+a7 与 2a5 的大 小关系是() A.a3+a7>2a5 B. a3+a7<2a5 C. a3+a7=2a5 D.a3+a7 与 2a5 的大小与 a 有关 9.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连接 EC、ED 则 sin∠CED= ()
* x

A.

B.

C.

D.

10.已知整数按如下规律排成一列: (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) 、 (1,3) 、 (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,…,则第 70 个数对是()

A.(2,11)

B.(3,10)

C.(4,9)

D.(5,8)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知两条直线 l1:ax+3y﹣3=0,l2:4x+6y﹣1=0.若 l1∥l2,则 a=. 12.在△ ABC 中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面积 S=. 13.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为. 14.若 < <0,则下列不等式中,①a+b<ab;②|a|<|b|;③a<b;④ + >2,正确的 不等式有. (写出所有正确不等式的序号)

三、解答题: (本大题共 7 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 15.求以下不等式的解集: (1)2x ﹣x﹣15<0 (2) >﹣3.
2

16.若关于 x 的不等式﹣ x +2x>mx 的解集为(0,2) ,求实数 m 的值.

2

18.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣



(Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ ABC 的面积. 19.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

20.如图所示,某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60°的 C 处,12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60°的 B 处, 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速多少?

21.已知点 P(1,1)到直线 l:y=3x+b(b>0)的距离为 且点列(an,an+1)n∈N 均在直线 l 上. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)求数列{nan}的前 n 项和 Sn.
*

.数列{an}的首项 a1=1,

22.已知数列{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 S2=4,S5=25,数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式; * n (2)若对任意的 n∈N ,不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m,n 的值;若不存在,请说明理由.

广东省深圳市高级中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷(文科)

一、选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.不等式(3x+1) (2x﹣1)>0 的解集是() A. B. C. D.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式的解集与方程根的关系,结合二次函数可得不等式的解集 解答: 解:∵(3x+1) (2x﹣1)=0 的两个根为 x=﹣ ,和 x= , ∴不等式(3x+1) (2x﹣1)>0 的解集是{x|x<﹣ 或 x> }; 故选:A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法, 利用了因式分解法, 找到与对应方程和二次函 数的关系容易得到;属于基础题 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是() A.15 B.30 C.31 考点: 等差数列. 专题: 计算题. 分析: 利用通项公式求出首项 a1 与公差 d,或利用等差数列的性质求解. 解答: 解:解法 1:∵{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, ∴a7+a9=a1+6d+a1+8d=2a1+14d=16 ①; a4=a1+3d=1 ②; 由①﹣②得 a1+11d=15, 即 a12=15. 解法 2:由等差数列的性质得,a7+a9=a4+a12, ∵a7+a9=16,a4=1, ∴a12=a7+a9﹣a4=15. 故选:A. 点评: 解法 1 用到了基本量 a1 与 d,还用到了整体代入思想; 解法 2 应用了等差数列的性质: {an}为等差数列, 当 m+n=p+q (m, n, p, q∈N+) 时, am+an=ap+aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N+) ,则 am+an=2ap. 3.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为() A.2x+y﹣1=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0

D.64

D.x﹣2y+7=0

考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题.

分析: 根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ,由直线垂直的斜率关系,可得所求直 线的斜率为﹣2,又知其过定点坐标,由点斜式得所求直线方程. 解答: 解:根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 , 由直线垂直的斜率关系,可得所求直线的斜率为﹣2, 又知其过点(﹣1,3) , 由点斜式得所求直线方程为 2x+y﹣1=0. 点评: 本题考查直线垂直与斜率的相互关系,注意斜率不存在的特殊情况. 4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2
2

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列的公比为 q,根据等比数列的通项公式把 a3?a9=2a 5 化简得到关于 q 的 方程, 由此数列的公比为正数求出 q 的值,然后根据等比数列的性质, 由等比 q 的值和 a2=1 即可求出 a1 的值. 2 8 4 2 解答: 解:设公比为 q,由已知得 a1q ?a1q =2(a1q ) , 2 即 q =2,又因为等比数列{an}的公比为正数, 所以 q= ,故 a1= .
2

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值, 是一道中 档题. 5.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

6.在△ ABC 中,AB=3,AC=2,BC= A. B.

,则 C.

=() D.

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 分析: 在三角形中以两边为向量,求两向量的数量积,夹角不知,所以要先用余弦定理求 三角形一个内角的余弦,再用数量积的定义来求出结果. 解答: 解:∵由余弦定理得 cosA= ∴ ∴ , , ,

故选 D 点评: 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积, 因为数量积的定义式中含有边、 角两 种关系,所以本题能考虑到需要先求向量夹角的余弦值,有时数量积用坐标形式来表达. 7.等差数列{an}中,a1>0,d≠0,S3=S11,则 Sn 中的最大值是() A.S7 B.S7 或 S8 C.S14 D.S8 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的前 n 项和公式以及性质进行求解即可. 解答: 解:∵a1>0,d≠0,S3=S11, ∴3a1+ =11a1+ ,

即 3a1+3d=11a1+55d, 则 8a1=﹣52d, 得 d=﹣ a1, d=na1+
2

则 Sn=na1+ =

×(﹣

a1)

[(n﹣7) ﹣49],

∴当 n=7 时,Sn 取得最大值, 故选:A 点评: 本题主要考查等差数列的性质, 根据条件求出等差数列的公差以及利用等差数列的 前 n 项和的性质是解决本题的关键. 8.已知点 An(n,an) (n∈N )都在函数 y=a (a>0,a≠1)的图象上,则 a3+a7 与 2a5 的大 小关系是() A.a3+a7>2a5 B. a3+a7<2a5
* x

C. a3+a7=2a5

D.a3+a7 与 2a5 的大小与 a 有关

考点: 有理数指数幂的运算性质. 分析: 先表示出 a3+a7,再根据基本不等式直接可得答案. 解答: 解:由题意可知 a3+a7=a +a ≥2
3 7

=2a

5

又因为 a>0,a≠1,所以上式等号取不到 即 a3+a7>2a5 故选 A. 点评: 本题主要考查基本不等式以及其成立的条件. 9.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连接 EC、ED 则 sin∠CED= ()

A.

B.

C.

D.

考点: 两角和与差的正切函数;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 法一:用余弦定理在三角形 CED 中直接求角的余弦,再由同角三角关系求正弦; 法二:在三角形 CED 中用正弦定理直接求正弦. 解答: 解:法一:利用余弦定理 在△ CED 中,根据图形可求得 ED= ,CE= , 由余弦定理得 cos∠CED= ∴sin∠CED= = . ,

故选 B. 法二:在△ CED 中,根据图形可求得 ED= 由正弦定理得 故选 B. ,即

,CE=

,∠CDE=135°, .

点评: 本题综合考查了正弦定理和余弦定理,属于基础题,题后要注意总结做题的规律.

10.已知整数按如下规律排成一列: (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) 、 (1,3) 、 (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,…,则第 70 个数对是()

A.(2,11)

B.(3,10)

C.(4,9)

D.(5,8)

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. * 分析: 由已知可知:其点列的排列规律是(m,n) (m,n∈N )m+n 的和从 2 开始,依次 是 3,4…增大,其中 m 也是依次增大.据此即可得出. 解答: 解:由已知可知:其点列的排列规律是(m,n) (m,n∈N )m+n 的和从 2 开始, 依次是 3,4…增大,其中 m 也是依次增大. 而 m+n=2 只有一个(1,1) ; m+n=3 有两个(1,2) , (2,1) ; m+n=4 有 3 个(1,3) , (2,2) , (3,1) ; … m+n=11 有 10 个(1,10) , (2,9) ,…, (10,1) ; m+n=12 有 11 个(1,11) , (2,10) ,…, (11,1) ; 其上面共有 1+2+…+11=66 个; m+n=13 的有(1,12) , (2,11) , (3,10) , (4,9) , (5,8) , (6,7) , (7,6)… 故第 70 个数对是(4,9) . 故选:C 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知两条直线 l1:ax+3y﹣3=0,l2:4x+6y﹣1=0.若 l1∥l2,则 a=2. 考点: 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系. 分析: 两条不重合的直线平行,则对应的斜率相等. 解答: 解:已知两条直线 l1:ax+3y﹣3=0, l2:4x+6y﹣1=0. l1∥l2, ,
*

则 a=2 点评: 在判断两条直线位置关系的时候,要注意重合的这种情况.

12.在△ ABC 中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面积 S=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 用余弦定理求出边 AC 的值,再用面积公式求面积即可. 解答: 解:据题设条件由余弦定理得|BC| =|AB| +|AC| ﹣2|AB||AC|cosA 即 49=25+|AC| ﹣2×5×|AC|×(﹣ ) , 即 AC| +5×|AC|﹣24=0 解得|AC|=3 故△ ABC 的面积 S= ×5×3×sin120°= 故应填 点评: 考查用余弦定理建立方程求值及用三角形的面积公式求三角形的面积, 训练公式的 熟练使用.
2 2 2 2 2

13.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值为 1 或



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 当等比数列{an}的公比 q=1 时,满足题意;当 q≠1 时,可得 S3= 程可得 q 值. 解答: 解:当等比数列{an}的公比 q=1 时,显然满足题意; 当 q≠1 时,S3= + +7=21,解得 q= ,或 q=1(舍去) + +7=21,解方

综合可得 q=1 或 故答案为:1 或 .

点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,涉及分类讨论的思想,属基础题.

14.若 < <0,则下列不等式中,①a+b<ab;②|a|<|b|;③a<b;④ + >2,正确的 不等式有①②④. (写出所有正确不等式的序号) 考点: 不等关系与不等式. 分析: 利用赋值法,先排除错误选项③,再利用不等式的性质证明①②④,从而确定 正确答案.

解答: 解:取 a=﹣ ,b=﹣1 代入验证知③错误. ①证明:∵ < <0, ∴a<0,b<0, ∴ab>0,a+b<0, ∴a+b<ab,故①正确; ②由题意可得 b<a<0,则|a|<|b|,故②正确; ④证明:∵ >0, >0,且 a≠b, 由均值不等式得 + >2, 故④正确; 故答案为①②④. 点评: 这是一道基础题, 直接考查不等式的基本性质, 注意赋值法的灵活应用可有效地简 化解题过程. 三、解答题: (本大题共 7 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 15.求以下不等式的解集: 2 (1)2x ﹣x﹣15<0 (2) >﹣3.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先把一元二次不等式转化为标准形式, 进一步利用一元二次方程的根确定一元二 次不等式的解集. 解答: 解: (1)∵2x ﹣x﹣15<0, ∴2x ﹣x﹣15=0 的两个根为 x= ,和 x=3,因为二次函数开口向上, ∴2x ﹣x﹣15<0 的解集为 (2)∵ >﹣3, ∴ +3>0, ∴ >0,
2 2 2



∴x(3x+2)>0, 解得 x>0,或 x<﹣ , 故 的解集为(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) .

点评: 本题考查一元二次方程与一元二次不等式的关系,属于基础题.

16.若关于 x 的不等式﹣ x +2x>mx 的解集为(0,2) ,求实数 m 的值.

2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的解集为(0,2)得到二次不等式所对应的方程的根,求方程的根即可 得到 m 的值. 解答: 解: 若关于 x 的不等式
2

的解集为 (0, 2) , 则 0, 2是

的根.即为 x +2(m﹣2)x=0 的根, ∴0+2=2(2﹣m) ,解得 m=1, 所以 m=1. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了“三个二次”的结合,是基础题. 18.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣ (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)由 B 和 C 为三角形的内角,得到 sin(B+C)大于 0,由 cos(B+C)的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(B+C)的值,然后将 C 变形为(B+C)﹣B,利用 两角和与差的余弦函数公式化简 cos[(B+C)﹣B]后,根据 B 的度数,利用特殊角的三角函 数值求出 sinB 和 cosB 的值,将各自的值代入求出 cos[(B+C)﹣B]的值,即为 cosC 的值; (Ⅱ)由 C 为三角形的内角及第一问求出的 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求 出 sinC 的值,再由三角形的内角和定理及诱导公式得到 sinA=sin(B+C) ,由 sin(B+C)的 值得到 sinA 的值,由 sinC,sinA 及 a 的值,利用正弦定理求出 c 的值,进而由 a,c 及 sinB 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由 cos(B+C)=﹣ , .

得 sin(B+C)= 又 B=60°, ∴cosC=cos[(B+C)﹣B] =cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB =﹣ × + × = ;…

=

=



(Ⅱ)∵cosC= ,C 为三角形的内角,sin(B+C)=



∴sinC=

=

=

,sinA=sin(B+C)=



在△ ABC 中,由正弦定理

=

得:

=



∴c=8,又 a=5,sinB=

, =10 .…

则△ ABC 的面积为 S= acsinB= ×5×8×

点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,同角三角 函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.
2

考点: 等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到 关于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数 列的通项公式化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和 求出的公比 q 写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,利用对数的运 算性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 通项公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{ 项和. 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 故数列{an}的通项式为 an= .
2 2 2 2 2



}的前 n

(Ⅱ)bn= 故 =﹣

+

+…+ =﹣2( ﹣

=﹣(1+2+…+n)=﹣ )





+

+…+

=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ .

)]=﹣



所以数列{

}的前 n 项和为﹣

点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值, 掌握对数的运算性质及等差 数列的前 n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题. 20.如图所示,某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60°的 C 处,12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60°的 B 处, 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速多少?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 依题意得,设 EB=x,则 BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°.在△ AEC 中,利用正弦定理求出 sinC;在△ ABC 中,在△ ABC 中,由正弦定理求出 AB;在△ ABE 中,由余弦定理得 BE.最后得到结果. 解答: 解:轮船从 C 到 B 用时 80 分钟,从 B 到 E 用时 20 分钟, 而船始终匀速前进,由此可见:BC=4EB,设 EB=x, 则 BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150° 在△ AEC 中,由正弦定理得: sinC= =

在△ ABC 中,由正弦定理得:AB=

=

=

在△ ABE 中,由余弦定理得:BE =AB +AE ﹣2AB?AEcos30°=

2

2

2

所以船速 v=

答:该船的速度 km/h 点评: 本题是中档题,考查利用正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用,注意选择正确 的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键,考查计算能力.

21.已知点 P(1,1)到直线 l:y=3x+b(b>0)的距离为 且点列(an,an+1)n∈N 均在直线 l 上. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)求数列{nan}的前 n 项和 Sn.
*

.数列{an}的首项 a1=1,

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据题意和点到直线的距离公式列出方程,求出 b 的值; (Ⅱ)把(an,an+1)代入直线 l 的方程得到递推公式,再构造新的等比数列,利用等比数 列的通项公式求出 an; (Ⅲ)由(Ⅱ)数列{nan}的通项公式,再分组求和法、错位相减求和法,等比(等差)数 列的前 n 项和公式求出 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)∵由点 P(1,1)到直线 l:y=3x+b(b>0)的距离为 ∴ ,解得 b=2
*



(Ⅱ)∵点列(an,an+1)n∈N 均在直线 l 上, ∴an+1=3an+2,即 an+1+1=3(an+1) , ∴{an+1}是以 2 为首项,公比为 3 的等比数列, ∴ ,即 ,

(Ⅲ)由(Ⅱ)得,数列{nan}的通项 设 S=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 ,① 1 2 3 n 则 3S=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 ,②, 1 2 3 n﹣1 n ①﹣②得,﹣2S=1+3 +3 +3 +…+3 ﹣n?3 = ﹣n?3 =
n 0 1 2 n﹣1



则 S=

,即 2S=





=



点评: 本题考查等比数列的通项公式,等比、等差数列的前 n 项和公式,裂项相消法求数 列的和,以及利用恰当的放缩法证明不等式成立,属于中档题. 22.已知数列{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 S2=4,S5=25,数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式; * n (2)若对任意的 n∈N ,不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)设数列的首项为 a1,公差为 d,利用 S2=4,S5=25,建立方程组,即可求数 列{an}的通项公式; (2)分类讨论,分离参数,利用基本不等式及数列的单调性,即可求实数 λ 的取值范围; (3)利用等比数列的性质,建立方程,求出 m 的值,从而可求 n 的值. 解答: 解: (1)设数列的首项为 a1,公差为 d,则 ∵S2=4,S5=25, ∴ ∴a1=1,d=2 ∴an=2n﹣1; (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,即需不等式 λ< 恒成立. ∵ ,等号在 n=2 时取得.
n n

∴此时 λ 需满足 λ<25. ②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立, 即需不等式 λ< ∵ ﹣15 恒成立. 取得最小值﹣6.

是随 n 的增大而增大,∴n=1 时,

∴此时 λ 需满足 λ<﹣21. 综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ<﹣21. (3) ,

若 T1,Tm,Tn 成等比数列,则

,即

.…12 分


2



即﹣2m +4m+1>0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14 分 ∴ .

又 m∈N,且 m>1,所以 m=2,此时 n=12.

因此,当且仅当 m=2,n=12 时,数列{Tn}中的 T1,Tm,Tn 成等比数列.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 16 分 点评: 本题考查数列的通项,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.


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