数列培优练习题含答案

数列培优练习题含答案 一、解答题 1.设 ?an ? 是各项都为正数的等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 13 , a5 ? b3 ? 21 . (1)求数列 {an } , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列 ?Sn ? bn ? 的前 n 项和 Tn . 2. (本小题满分 13 分) 已知函数 F ? x ? ? 3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? (1)求 F ? ?? F? ? ??? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? (2)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 求证: a1a2a3...an ? 2n ?1 . 3. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 ,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的 交点为(xn+1,0) (n ? N *) ,x1=4. (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; (Ⅱ)记 an=lg xn ? 2 ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2 (Ⅲ)若 bn=xn-2,试比较 bn ?1 与 bn 的大小. 4. (本小题满分 13 分) 2 ? 设关于 x 的一元二次方程 an x ? an ?1 x ?1 ? 0 ( n ? N )有两根 ? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . (Ⅰ)试用 an 表示 an ?1 ; (Ⅱ)求证:数列 ? an ? ? 是等比数列; (Ⅲ)当 a1 ? ? ? 2? 3? 7 时,求数列 ?an ? 的通项公式,并求数列 {nan } 的前 n 项和 T n . 6 5.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2an ? S n ? 2n ? 1(n ? N*) . (1)求 a1,a 2 ,a3 试卷第 1 页,总 4 页 (2)求证:数列 ?an ? 2?是等比数列; (3)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn . 6.记等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a4 ? 6 , S4 ? 10 . ? an ? 2n (n ? N ? ) ,求数列{ bn }的前项和 Tn . 3 1 ,且 am?1 ? 3am ? 1 , bm ? am ? n 2 2 7.已知数列 ?am ? 满足 a1 ? (Ⅰ)求证:数列 ?bm ? 是等比数列; (Ⅱ)若不等式 bm ? 1 ? m 对 ?n ? N m 恒成立,求实数 m 的取值范围. bm?1 ? 1 8..已知正项数列 (Ⅰ)求 ?an ?的首项 a1 ? 1, 前 n 项和为 S n ,且满足 S n?1 ? S n ? S n?1 ? S n n ? N ? ? ?. S n 与 an ? i ?a 1 ? i ? 50, i ? N ?取出三个数构成以正整数为公比的递增等比数列,放回后再取出三个 (Ⅱ)从集合 数构成以正整数为公比的递增等比数列,相同的数列只取一次,按照上述取法取下去,直到取完所有满足 条件的数列为止。求满足上述条件的所有的不同数列的和 M. 9. (12 分)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ?N ). * (1)求数列 {an } 的通项公式; (6 分) (2) 在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数, 使这 n+2 个数组成公差为 d n 的等差数列, 求数列 ? (6 分) 10.已知正项数列 ?an ? ,?bn ? 满足:对任意正整数 n ,都有 an ,bn , an ?1 成等差数列,bn , an ?1 ,bn ?1 成 等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15 . (Ⅰ)求证:数列 ? ?1? ? 的前 n 项和 Tn . d ? ? n ? ? b ? 是等差数列; n (Ⅱ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)设 Sn = 围. 11.(12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 且 an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N * ). 试卷第 2 页,总 4 页 b 1 1 1 + +… + ,如果对任意的正整数 n ,不等式 2aSn ? 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取值范 an a1 a 2 an (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若 cn ? an ? log9 an (n ? N * ) , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn . 12 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 : 对 于 数 列 ,定义 为数列 的一阶差分数列,其中 , 式; (2)若数列 (1)若数列 的通项公式 , ( ) ,求:数列 的通项公 的首项是 1,且满足 设 ,求证:数列 ②求:数列 是等差数列,并求数列 的通项公式; 的通项公式及前 项和 13 .二次函数 f ( x) 的图象过原点,且对 ?x ? R ,恒有 ?3x2 ?1 ? f ( x) ? 6x ? 2 .设数列 {an } 满足 1 a1 ? , an ?1 ? f (an ) . 3 (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)证明: an?1 ? an ; (3)证明: n 1 n ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? (n ? N * ) . 2 4 2 14.已知数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列,其前 n 项

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