2018-2019学年高中数学第一章+§1.1 正弦定理和余弦定理+1.1.2(一)+Word版含答案

1.1.2 余弦定理(一) 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 .2.会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题. 最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到 温馨提示:多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。高考保持心平气和,不要 紧张,像对待平时考试一样去做题,做完检查一下题目,不要直接交卷,检查下有没有错的地方,然后耐心等待考试结束。 功自成,金榜定题名。 知识点一 余弦定理的推导 思考 1 根据勾股定理,若△ABC 中,∠C=90°,则 c =a +b =a +b -2abcosC.① 试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想? 答案 当 a=b=c 时,∠C=60°, 2 2 2 2 2 a2+b2-2abcosC=c2+c2-2c·ccos60°=c2, 即①式仍成立,据此猜想,对一般△ABC,都有 c =a +b -2abcosC. 思考 2 在 c =a +b -2abcosC 中,abcosC 能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明 思考 1 的猜想吗? 2 2 2 2 2 2 → → 答案 abcosC=|CB||CA|cos ∴a +b -2abcosC →2 →2 → → =CB +CA -2CB·CA → → 2 →2 2 =(CB-CA) =AB =c . 猜想得证. 2 2 → → CB,CA CB·CA. → → 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要. 因为两边及其夹角恰好是 平面向量一组基底的条件,所以能把第三边用基底表示进而求出模长. 另外,也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a =b +c -2bccos_A,b =c +a -2cacos_B, 2 2 2 2 2 2 c2=a2+b2-2abcos_C. 2.cosA= b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cosB= ; 2ca cosC= a2+b2-c2 . 2ab 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 答案 每个公式右边都涉及三个量,两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角,可 用余弦定理解三角形. 思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 答案 每个公式右边都涉及三个量,即三角形的三条边,故如果已知三角形的三边,也可用 余弦定理解三角形. 梳理 余弦定理适合解决的问题:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角 形. 类型一 余弦定理的证明 例 1 已知△ABC,BC=a,AC=b 和角 C,求解 c. 解 如图,设CB=a,CA=b,AB=c, → → → 由AB=CB-CA,知 c=a-b, 则|c| =c·c=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b =a +b -2|a||b|cosC. 所以 c =a +b -2abcosC. 反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证 明一个公式,要观察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题? 解 如图,以 A 为原点,边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,0),B(c,0), 2 2 2 2 2 2 → → → C(bcosA,bsinA), ∴BC =b cos A-2bccosA+c +b sin A, 即 a =b +c -2bccosA. 同理可证 b =c +a -2cacosB, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c2=a2+b2-2abcosC. 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度 1 已知两边及其夹角 例 2 在△ABC 中,已知 b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形.(角度精确到 1°,边长 精确到 1cm) 解 根据余弦定理, a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2×60×34×cos41°≈1676.78, 所以 a≈41(cm). 由正弦定理得,sinC= csinA 34×sin41° ≈ ≈0.5440. a 41 因为 c 不是三角形中最大的边,所以 C 为锐角,利用计算器可得 C≈33°, 所以 B=180°-(A+C)≈180°-(41°+33°)=106°. 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时, 应先从余弦定理入手求出第三边, 再利用正弦定 理求其余的角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A. 解 由余弦定理,得 c =a +b -2abcosC=8-4 3, 所以 c= 6- 2. 由正弦定理,得 sinA= 2 2 2 asinC 1 = , c 2 因为 b>a,所以 B>A,所以 A 为锐角,所以 A=30°. 命题角度 2 已知三边 例3 1′) 解 ∵cosA= 2 在△ABC 中,已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形.(角度精确到 b2+c2-a2 2bc 2 2 87.8 +161.7 -134.6 = ≈0.5543, 2×87.8×161.7 ∴A≈56°20′. ∵cosB= 2 a2+c2-b2 2ac 2 2 134.6 +161.7 -87.8 = ≈0.8398, 2×134.6×161.7 ∴B≈32°53′. ∴C=180°-(A+B)≈180°-(56°2

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