高中数学正弦定理、余弦定理的应用举例精选优质PPT教学课件_图文

1.2 正弦定理、余弦定理应用 基础回扣思维辨析 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海 问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目 标视线在水平视线上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫 俯角(如图①). (2)方位角 指从 正北 方向顺 时针转到目标方向线的水 平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东 α°:指北方向顺时针旋 转 α°到达目标方向. ②东北方向:指北偏东 45°或东偏 北 45°. ③其他方向角类似. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角 的度数(如图④,角 θ 为坡角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之 比(如图④,i 为坡比). 考点1 与距离有关的问题 有关距离测量问题,主要是利用可以测量的数据,通过解三 角形计算出不易测量的数据;遇到多边形问题,可以分割为 n 个 三角形来解决. 如图,有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸(不知道它们的高 度,且不能到达对岸),某人想测量 两座建筑物尖顶 A、C 之间的距离, 但只有卷尺和测角仪两种工具.若此 人在地面上选一条基线 EF,用卷尺 测得 EF 的长度为 a,并用测角仪测量了一些角度:∠AEF=α, ∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ,∠AEC=γ,请你用文字和 公式写出计算 A、C 之间距离的步骤和结果. 【解】 第一步:在△AEF 中,利用正弦定理, sAinEβ=sin?180E°F-α-β?,解得 AE=sina?sαin+ββ?; 第二步:在△CEF 中,同理可得 CE=sina?sθin+φφ?; 第三步:在△ACE 中,利用余弦定理, AC= AE2+CE2-2AE·CEcos γ = sina22?sαin+2ββ?+sina22s?θin+2φφ?-2sian2?sαin+ββs?isninφ?cθo+s γφ? (代入角的测量值即可,不要求整理) 如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的 速度匀速行驶(图中的箭头方向为 汽车行驶方向),汽车开动的同时, 在距汽车出发点 O 的距离为 5 公 里,距离公路线的垂直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个人骑摩 托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大 的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少 公里? 解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3, ∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=45 设骑摩托车人速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时 由余弦定理(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×45 ?v2=2t25-40t 0+2500=25???1t -8???2+900≥900. ∴当 t=18时,v 的最小值为 30,∴其行驶距离为 vt=380=145公里, 故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了145公里. 考点2 测量高度问题一般是利用地面上的观测点,通过测量仰角、 俯角等数据计算物体的高度,这类问题一般用到立体几何知识, 先把立体几何问题转化为平面几何问题,再通过解三角形加以解 决. 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究 出一种新的弹射型气象仪器,这种弹射型仪器 可以弹射到空中进行气象观测.如图所示,假 设这种仪器在 C 地进行弹射实验,在 A,B 两 地进行观察弹射效果.已知 A,B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比在 B 地晚127秒.在 A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15°,在弹射最高点 H 处的仰角 为 30°. (1)求 A,C 两地的距离; (2)求这种仪器弹射的高度 HC(已知声音的传播速度为 340 米/秒). 【解】 (1)设 BC=x,由条件可知 AC=x+127×340=x+40, 在△ABC 中,由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC, 即 x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×12, 解得 x=380, 所以 AC=380+40=420(米),(2)在△ACH 中,得∠HAC=15°+30° =45°,∠AHC=90°-30°=60°, 由正弦定理,可得 AC = HC , sin∠AHC sin∠HAC 即si4n2600°=sinH4C5°, 故 HC=140 6(米). (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念. (2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形 内应用正、余弦定理. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形. 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°, 再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测 得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是________米. 解析:在△BCD 中,∠BDC=45°,∠DBC=180°-(45°+105°) =30°,CD=10,由正弦定理,得 BC= CD ·sin∠BDC= sin∠DBC 10 sin 30°·sin 45°=10 2. 在 Rt△ABC 中,AB=BC·tan 60°=10 2× 3=10 6(m). 1.测量角度,首先应明确方位角、方向角的含义. 2.根据题意正确画出示意图,确定所求的角在哪个三角形 中,该三角形中已知哪些量,需求哪些量,然后采用正弦定理或 余弦定理解决. 如图,我海监 船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A 处,此时测得其 东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只,

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