2015-2016学年高中数学 2.3幂函数课件 新人教A版必修1


第二章——

基本初等函 数(Ⅰ)

2.3 幂函数
[学习目标]
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
1 2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y= , y= x 图象,掌握它 x
2 3
1 2

们的性质.

3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.

栏目索引
CONTENTS PAGE

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破

当堂训练,体验成功

预习导学

挑战自我,点点落实

[知识链接]

1 2 函数y=x,y=x ,y= x
函数 图象

(x≠0)的图象和性质
定义域 值域 单调性 奇偶性
R

y=x

R





y=x2

R

[0,+∞)

在 (-∞,0] 上减 在 [0,+∞) 上增 在(-∞,0)上 减



y=

{x|x≠0}

{y|y≠0}



在(0,+∞)上 减

2.3 幂函数

*

[预习导引]
1.幂函数的概念
α 一般地,函数 y=x 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

2.3 幂函数

*

2.幂函数的图象与性质 幂函数 图象 y=x y=x2 y=x3
y?x
1 2

y=x-1

2.3 幂函数

*

定义域 R 值域 R

R
[0,+∞)

R

[0,+∞) [0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞)
{y|y∈R,且

R


y≠0}


奇偶性 奇



非奇非偶

2.3 幂函数

*

x∈[0, 单调性


+∞) 增
x∈(-∞, 0] 减





x∈(0,+∞) 减
x∈(-∞,0) 减

定点

(1,1)

2.3 幂函数

*

课堂讲义

重点难点,个个击破

要点一 幂函数的概念

例1

函数f(x)=(m2-m-1)x m ? m ?3 是幂函数,且当x∈(0,+∞)

2

时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.

解 根据幂函数定义得,
m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,

当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,
当m=-1时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上是减函数,不合要求. ∴f(x)的解析式为f(x)=x3.

规律方法

1. 本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找

不出“m2-m-1=1”这一等量关系,导致解题受阻.
2. 幂函数 y = xα(α∈R)中, α 为常数,系数为 1 ,底数为单一 的 x. 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标

准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异,解题时一定要
分清,以防出错.
2.3 幂函数
*

跟踪演练1 10 =________.

已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则f(100)

解析 由题意可知f(9)=3,即9α=3,
1 1 ∴α=2,∴f(x)=x 2 ,

∴f(100)=100 =10.
2.3 幂函数

1 2

*

要点二 幂函数的图象 例 2 如图所示,图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的 1 图象,已知 n 取± 2,± 2四个值,则相应于 c1,c2,c3,c4 的 n 依次为( )

2.3 幂函数

*

1 1 1 1 A.-2,-2,2,2 B.2,2,-2,-2 1 1 1 1 C.-2,-2,2,2 D.2,2,-2,-2 解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当 n>0 时,对于
y=xn,n 越大,y=xn 增幅越快,n<0 时看|n|的大小.根据幂函数 y =xn 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越大,y=xn 递 1 增速度越快,故 c1 的 n=2,c2 的 n=2,当 n<0 时,|n|越大,曲 1 线越陡峭,所以曲线 c3 的 n=-2,曲线 c4 的 n=-2,故选 B. 答案 B
2.3 幂函数
*

规律方法

幂函数图象的特征: (1) 在第一象限内,直线 x

=1的右侧,y=xα的图象由上到下,指数α由大变小;在第

一象限内,直线x=1的左侧,y=xα的图象由上到下,指数
α由小变大.(2)当α>0时,幂函数的图象都经过 (0,0)和(1,1) 点,在第一象限内,当0< α< 1 时,曲线上凸;当 α>1 时, 曲线下凸;当α<0时,幂函数的图象都经过 (1,1)点,在第 一象限内,曲线下凸.
2.3 幂函数
*

跟踪演练 2

如图是幂函数 y=xm 与 y= xn在第一象限内的图

象,则(

)

A.-1<n<0<m<1
C.-1<n<0,m>1
2.3 幂函数

B.n<-1,0<m<1
D.n<-1,m>1
*

解析

在 (0,1) 内取同一值 x0 ,作直线 x = x0 ,与各图象有交

点,如图所示.根据点低指数大,有0<m<1,n<-1.

答案 B
2.3 幂函数
*

要点三 比较幂的大小 例3
?1? 1 ?2 (1)? ?3? ? ?

比较下列各组数中两个数的大小:
?1? 1 ?2 与? ?4? ; ? ?
1 2

1 1 解 ∵y=x 是[0,+∞)上的增函数,且3>4,
?1? 1 ?2 ∴? ?3? ? ? ?1? 1 ?2 >? ?4? ? ?

.
*

2.3 幂函数

? 2? ? 3? ? ?-1 ?-1 - (2)?-3? 与? ? 5? ; ? ? ? ?



2 3 1 - ∵y=x 是(-∞,0)上的减函数,且- <- , 3 5

? 2? ? ? ? ?-1 ? 3?-1 ∴?-3? >?-5? . ? ? ? ?

2.3 幂函数

*

(3)0.25 与 6.25 ;

?

1 4

1 4

解 0.25
1 2

?

1 4

1 ?1? ? 1 1 1 ? ? 4 2 4 =?4? =2 ,6.25 =2.5 2 ? ?

∵y=x 是[0,+∞)上的增函数,且 2<2.5, ∴2 <2.5 ,即 0.25 <6.25 .
2.3 幂函数
1 2 1 2

?

1 4

1 4

*

(4)0.20.6与0.30.4.

解 由幂函数的单调性,知0.20.6<0.30.6,
又y=0.3x是减函数, ∴0.30.4>0.30.6,从而0.20.6<0.30.4.

2.3 幂函数

*

规律方法

1. 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函

数:(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;(2)若指
数不同而底数相同,则构造指数函数. 2. 若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数或底数化

为相同,是否可以引入中间量.

2.3 幂函数

*

跟踪演练 3

比较下列各组数的大小:

?2? ?3? ? ?0.5 ?0.5 (1)?3? 与? ?5? ; ? ? ? ?

2 3 解 ∵y=x 在[0,+∞)上是增函数且3>5,
0.5

?2? ? ? ? ?0.5 ?3?0.5 ∴?3? >?5? . ? ? ? ?

2.3 幂函数

*

(2)-3.143与-π3;
解 ∵y=x3是R上的增函数,且3.14<π, ∴3.143<π3,∴-3.143>-π3.

2.3 幂函数

*

?1? 3 ?4 (3)? ?2? ? ?

?3? 1 ?2 与? ?4? ? ?

.
?1? 1 ?2 <? ?2? ? ?



?1? ?1? 3 ?x ? ?4 ∵y=? 是减函数, ∴ ?2? ?2? ? ? ? ?
1 2

.

y=x 是[0,+∞)上的增函数,
?3? 1 ?2 ∴? ?4? ? ? ?3? 1 ?2 ∴? ?4? ? ? ?1? 1 ?2 >? ?2? ? ? ?1? 3 ?4 >? ?2? ? ?

. .
*

2.3 幂函数

当堂检测

当堂训练,体验成功

1 2 3 4 5

1.下列函数是幂函数的是( B )
A.y=5x C.y=5x B.y=x5 D.y=(x+1)3

解析 函数y=5x是指数函数,不是幂函数; 函数y=5x是正比例函数,不是幂函数; 函数y=(x+1)3的底数不是自变量x,不是幂函数; 函数y=x5是幂函数.

1 2 3 4 5

2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D ) A.y=x C.y=x
解析
1 3

B.y=x D.y=x
2 3

?

1 2

5 3

2 3

y=x = x2,其定义域为 R,值域为[0,+∞),故

3

定义域与值域不同.
2.3 幂函数
*

1 2 3 4 5

3.设

? 1 ? ? ? ?, - 1 , 1 , , 3 α∈? 则使函数 ? ? 2 ? ?

y=xα 的定义域为 R 且为

奇函数的所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3
2.3 幂函数

) B.-1,1 D.-1,1,3
*

1 2 3 4 5

解析 可知当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数,

又∵y=xα的定义域为R,则α=1,3.
答案 A

2.3 幂函数

*

1 2 3 4 5
3 3 1 5 1 5 4.若 a=(2) ,b=(5) ,c=(-2)3,则 a、b、c 的大小关系

a>b>c 为________.
解析 ∵y=x 在(0,+∞)上为增函数.
3 1 53 1 5 ∴(2) >(5) ,即 a>b>0.

3 5

而c=(-2)3=-23<0,∴a>b>c.
2.3 幂函数
*

1 2 3 4 5

5.幂函数f(x)=(m2-m-1)· x m ? 2 m ?3 则实数m=________. 2 解析 ∵f(x)=(m2-m-1)x m
2

2

在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 为幂函数,

? 2 m ?3

∴m2-m-1=1,∴m=2或m=-1. 当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数, 当m=-1时,f(x)=x0=1不符合题意. 综上可知m=2.
2.3 幂函数
*

课堂小结 1. 幂函数 y = xα 的底数是自变量,指数是常数,而指数函数

正好相反,底数是常数,指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线 x = 1 的右侧,图象从上到下,相应的指
数由大变小;在直线 x = 1 的左侧,图象从下到上,相应的

指数由大变小.
2.3 幂函数
*

3.简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为1时, 函数值为1,即f(1)=1.

(2)如果α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数.
(3)如果α<0,幂函数在x=0处无意义,在(0,+∞)上是减 函数.
2.3 幂函数
*


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