河南省新乡市原阳一中高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22_图文

1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 旧知回顾 一般地,函数的单调性与导数的关系: 在某个区间?a, b?内, 如果f ' ?x? > 0, 那么 函数y = f ?x?在这个区间内单调递增; 如果 f ' ?x? < 0, 那么函数 y = f ?x?在这个区间内 单调递减. (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数f’(x); (3)解不等式f’(x)>0,解集在定义域内 的部分为增区间; (4)解不等式f’(x)<0,解集在定义域内 的部分为减区间. a点临的新近函点课数的值导函f(数a入)比值它都 大.b点的函数值 的函观数察值下有图什,么f函(b点关数)比a系值与它?都点临小b近处.点的的函数值,与他们附近点 f (a) f (b) a b hM h ? f (t) oa t 新知探究 (一)观察高台跳水运动图象 h h′ (t)=0 单调递增 h′ (t)>0 单调递减 h′(t)<0 (o3)点a t=a附近的导数符号有t 什么变化规律?a (4)函数在t=a处的导数是多少呢? (1)在点t=a附近的图象有什么特点? (2)函数在t=a处的函数值和附近函数值之间的关系? (二)观察下列函数的图象 (1)在点t=a附近的图象有什么特点? (2)函数在t=a处的函数值和附近函数值之间的 (关3)系点?t=a附近的导数符号有什么变化规律? (4)函数在t=a处的导数是多少呢? a ob a y y ? f?x? 单调递减 单调递增 h′(t)<0 h′ (t)>0 c d e f og h i j x h′ (t)=0 一. 函数极值的概念 1、极大值:函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都大. f′(a)=0,且在 点x=a附近的左侧f′(x)>0, 右侧f′(x)<0 我们就说f(a)是函数 y=f(x)的一个极大值. 点a叫做极大值点. y f′ (x)>0 f′(a)=0 f′(x)<0 x a 一. 函数极值的概念 2、极小值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都小,极大值, f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧 极小值统 f′(x)<0,右侧f′(x)>0 y 称为极值 我们就说f(b)是函数的 y=f(x)一个极小值. 点b叫做极小值点. f′(x)<0 f′ (x)>0 f′ (b)=0 b x 思考: 下图是函数 y ? f (x) 的图象, 指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f (x) a x0 x1 O x2 x3 x4 x5 x6 函数的极值不是唯一的;极大 值未必比极小值大;区间的端 点不能成为极值点 x b 极值反映了函数在某一点附近的 大小情况,刻画的是函数的局部性质. 思考:极值与我们前面学过的最值的概 念有什么区别? 例1: 求函数 f ?x? ? 1 3 x3 ? 4x ? 4 的极值 解: f ?(x) ? x2 ? 4. 令 f ?(x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?(x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?(x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f ?(x) 的变化情况如下表: 新疆 王新敞 奎屯 x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 f ?(x) + f (x) 单调递增 028 – 单调递减 ? 40- 3 3 ∴当 x = –2 时, f (x)有极大值:f (?2) ? 28 3 当 x = 2 时, f (x)有极小值 :f (2) ? ? 4 3 ( 2, +∞) + 单调递增 函数f ?x? = 1 x3 - 4x + 4的图象如图1.3 - 12 3 所示. y f?x? ? 1 x3 ? 4x ? 4 3 o2 ?2 x 图1.3 ?12 总结:求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f/(x); (2)解方程 f/(x0)=0; (3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义 域分成若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号, 来判断f(x)在这个根处取极值的情况 知识要点 一般地,求函数y=f(x)的极值的 方法是:解方程 f ' ? x? ? 0.当 f ' ? x0 ? ? 0时: (1)如果在 x0附近的左侧f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f ?x0是? 极大值; ?2?如果在x0附近的左侧f ' ? x? ? 0,右侧 f ' ? x? ? 0, 那么f ? x0 ?是极小值. 口诀:左负右正为极小,左正右 负为极大. 极大值一定大于极小值吗? 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如,函数 f ?x? = x3,f ' ?x? = 3x2 .虽 y 然f ' ?0? = 0 ,但无论x>0,还是x<0,恒 有f ' ?x? > 0 ,即函数 f ?x? = x3是单调递增 的,所以x=0不是函数 f ?x? = x3极值点. ox 结论:导数值为0的点是该点为 极值点的 必要不充分 条件. 思考: 下图是导函数 y ? f ?(x) 的图象, 试找出函数 y ? f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f ?(x) x2 x3 a x1 O x4 x5 x x6 b 二. 函数的最值 极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

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