新编甘肃省武威六中高三一轮第五次阶段性过关数学(文)试卷(含答案)

武威市第六中学 20xx 届高三第一轮复习第五次阶段性过关考试
数学(文)试题

一、选择题
1. 复数 z 满足 (1+ i)z = 3 - i ,则 z =( )

A. 1- i

B. 1+ i

C. - 1- i

D. - 1+ i

2. 设集合 A = {-1,1}, B = {x ax = 1},若 B ? A ,则实数 a 取值的集合是( )

A. {- 1}

B. {1}

C. {- 1,1}

D. {0,- 1,1}

3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺, 竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想

的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4.设 D 为 DABC 所在平面内一点, BC = 3CD ,则( )

A. AD = - 1 AB + 4 AC

3

3

B. AD = 1 AB - 4 AC 33

C. AD = 4 AB + 1 AC

3

3

D. AD = 4 AB - 1 AC 33

5. 函数 y ? Asin(?x ??) 的部分图象如图所示,则( )

A. y ? 2sin(2x ? ? ) 6
C. y ? 2sin(2x ? ? ) 6

B. y ? 2sin(2x ? ? ) 3
D. y ? 2sin(2x ? ? ) 3

6. 函数 y = x cos x + sin x 的图象大致为( )

7.如图,过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A 、 B ,交其 准线 l 于点 C ,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为( )

A. y2 ? 9x C. y2 ? 3x

B. y2 ? 6x D. y2 ? 3x

8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积

为( )

A. 8 (1+ 2p) 3

B. 8 (1+ p) 3

C. 4 (2 + 3p) 3

D. 4 (2 + p) 3

9.在 DABC 中, B = p , BC 边上的高等于 1 BC ,则 cos A = ( )

4

3

3 10 A. 10

10 B. 10

C.



10 10

D. -

3 10 10

10.已知双曲线

C



x2 a2

-

y b2

=

1 (a >

0,b >

0) 的左、右焦点分别为 F1(-

c,0) , F2 (c,0) , P 是

双曲线 C 右支上一点,且 PF2 = F1F2 ,若直线 PF1 与圆 x2 + y2 = a2 相切,则双曲线的离
心率为( )

4 A.
3

5 B.
3

C. 2

D. 3

11. 已 知 函 数 f (x) 为 定 义 在 ( 0 ,? )上 的 可 导 函 数 , f ' (x) 是 f (x) 的 导 函 数 , 且 恒 有 2
f ( x)< f' ( x?) t a n成x 立则( )

A. 3? f (p ) 4
C. 2 ? f (p ) 6

2 f (p) 3
f (p) 4

B. f (1) ? 2 f (? )sin1 6

D. 3? f (p ) f (p )

6

3

12.已知函数

f

(x)

=

ì???í????

1
x+ x2 -

, 2 2x,

- 1#x 0 ,若 f (n- m) ? f (2m 0< x? 1

n) ,则 m+ n 的最小值是

()

A. -5

B.5

C.-2

D.2

二、填空题

13. 已知函数 f (cos x) = cos 2x + cos x ,则 f ' (p ) =

.

4

14.已知过点 M (- 3, 0) 的直线 l 被圆 x2 + ( y + 2)2 = 25 所截得的弦长为 8,那么直线 l 的方程为

________.

15.在封闭的直三棱柱 ABC - A1B1C1 内有一个体积为V 的球,若 AB ^ BC , AB = 6 ,BC = 8 ,

AA1 = 5 ,则V 的最大值是



16. 如图所示,在同一个平面内,向量 OA , OB , OC 的模分别为1 ,1 , 2 , OA 与 OC 的

夹 角 为 a , 且 t aan= ,7 OB 与 OC 的 夹 角 为 450 . 若

O C= m +O A (mn,On ? BR) , 则 m+ n =



三、解答题

17. 在公差不为零的等差数列{ an }中, a2 = 3 , a1, a3 , a7 成等比数列.

(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,记 bn =

1 .
S3n

求数列{bn }的前 n 项和Tn .

18. 某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19.在四棱锥中 P- ABCD ,底面是正方形,侧面 PAD ^ 底面 ABCD ,且

PA = PD = 2 AD,E、F ,分别为 PC、BD 的中点.
2
(1)求证: EF / / 平面 PAD ;

(2)在线段 AB 上是否存在点 G ,使得二面角 C - PD- G 的余弦值为 3 ,若存在,请求出点
3

G 的位置;若不存在,请说明理由.

20.已知点 F

为椭圆 E:ax22

+

y2 b2

=

1(a >

b>

0) 的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等

边三角形,直线 x + y = 1与椭圆 E 有且仅有一个交点 M . 42

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)设直线 x + y = 1 与 y 轴交于 P ,过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B .若
42

l PM 2 = PA ? PB ,求实数 ? 的取值范围.

21.已知函数 f (x) ? ln x ? k ( k 为常数,e ? 2.71828 是自然对数的底数),曲线 y = f (x) 在点
ex (1,f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(1)求 k 的值;
(2)求 f (x) 的单调区间;
(3)设 g(x) ? (x2 ? x) f ' (x) ,其中 f ' (x) 是 f (x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0 ,
g(x) ? 1? e?2 .

22.已知曲线 C 的极坐标方程为 r

=

4cosq +

2sin q ,直线 l1 :q =

p (r 6

?

R) ,直线 l2

:q =

p (r 3

?

R) .

以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求直线 l1 , l2 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程; (2)已知直线 l1 与曲线 C 交于 O , M 两点,直线 l2 与曲线 C 交于 O , N 两点,求 △OMN 的面 积.

参考答案

一、选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 B D C A A D C A C B B A

二、填空题

13. p + 1

14. x = - 3或 5x - 12y + 15 = 0 15. 32? 16. 3 3

三、解答题

17.解析:

(1)设{ an }的公差为 d (d ? 0) ,因为 a2 = 3 , a1, a3 , a7 成等比数列,

所以 a32 = a1 ?a7 . 即 (a2 + d )2 = (a2 - d )(a2 + 5d ) ,

而 a2 = 3 ,解得: d = 1,所以 an = n + 1

6分

(2)由(1)知: S3n =

3n(2 + 3n + 1) = 2

9n(n + 1) 2

所以 bn =

1= S3n

2= 9n(n + 1)

2 (1 9n

1 ), n+ 1

所以Tn =

2 (19

1+ 2

12

1+ 3

+ 1-

1 )=

2n
.

n n + 1 9(n + 1)

18.解析:

(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A ,则
P(A)=C13·C27C+310C03·C73=6409.

所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为6409. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
P(X=k)=Ck4C·C31036-k(k=0,1,2,3). 所以,随机变量 X 的分布列是

X

01

2

3

P

1 6

1 2

3 10

1 30

12 分 5分

随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×16+1×12+2×130+3×310=65.

12 分

19.解析:
(1)连接 AC ,由正方形性质可知, AC 与 BD 相较于点 F ,
所以,在 DPAC 中, EF PA,又 PA ? 面PAD , EF ? 面PAD ,

所以 E F 平面 P A D

4分

(2)取 AD 的中点 O ,连接 OP,OF ,因为 PA= PD

PO ^ AD

侧面 PAD ^ 底面 ABCD ,交线为 AD ,

所以

,又因为

所以 PO ^ 平面ABCD
. [:...]

以 O 为原点,分别以射线 OA,OF,OP 为 x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系,

不妨设 AD = 2 .

6分

则有: P(0, 0,1) , D(- 1, 0, 0) , C(- 1, 2,0) ,

假设 AB 上存在符合条件的点 G(1, a, 0) , 0 < a < 2 ,

则 PC = (- 1, 2,- 1) , PD = (- 1, 0,- 1) , DG = (2, a, 0)

因为侧面 PAD ^ 底面 ABCD ,交线为 AD ,且底面是正方形,

所以 C D^ 平面 P A D,则 CD ^ PA,由 PA2 + PD2 = AD2 ,得 PD ^ PA

所以 PA ^ 面PDC ,即平面 PDC 的一个法向量为 PA = (1, 0,- 1)

8分

设平面 PDG 的一个法向量为 n = (x, y, z) ,



ì??í???

- x2x +

z= a=

0, 0

可取

n = ( a,- 2 ,- a )

由二面角 C - PD- G 的余弦值为

3

,可得

a

=

1
.

3

10 分

线段 所以

AB

上存在点

G

,且

G



AB

的中点,使得二面角

C

-

PD-

G 的余弦值为

3.

3

12 分 20. 解析:
(1)由题意,得 a=2c,b= 3c,则椭圆 E 为4xc22+3yc22=1.

?x42+y32=c2 由??4x+2y=1

,得 x2-2x+4-3c2=0.

∵直线4x+2y=1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M,

∴Δ=4-4(4-3c2)=0?c2=1, ∴椭圆 E 的方程为x42+y32=1.

5分

(2)由(1)得 M (1,3) , 2

∵直线4x+2y=1 与 y 轴交于 P(0,2),

∴|PM|2=54,

当直线 l 与 x 轴垂直时,

|PA|·|PB|=(2+ 3)×(2- 3)=1, ∴λ|PM|2=|PA|·|PB|?λ=45,

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?????y3=x2+kx4+y22-12=0 ?(3+4k2)x2+16kx+4=0,

依题意得,x1x2=3+44k2,且 Δ=48(4k2-1)>0,

∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·3+44k2=1+3+14k2=54λ,

∴λ=45(1+3+14k2), ∵k2>14,∴45<λ<1. 综上所述,λ 的取值范围是[45,1).

12 分

21.解析: (1)

,依题意,

为所求.

3分

(2)此时

( x ?0)







所以 h(x) 在 (0 , ??) 单减,又 h(1) ? 0 ,

所以,当 0 ? x ?1时, h(x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f (x) 单增;

当 x ?1时, h(x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f (x) 单减.

所以,增区间为(0,1) 减区间为(1, ??) .

7分

(3)

,先研究1? x ln x ? x ,再研究 .

① 记 i(x) ?1? x ln x ? x , x ? 0 , i '(x) ? ? ln x ? 2 ,令 i '(x) ? 0 ,得 x ? e?2 , 当 x ? (0 , e?2 ) 时, i '(x) ? 0 , i(x) 单增;

当 x ? (e?2 , ??) 时, i '(x) ? 0 , i(x) 单减 .[:] 所以, imax(x) ? i(e?2) ? 1? e?2 ,即1? x ln x ? x ? 1? e?2 .

②记



,所以 j(x) 在 (0 , ??) 单减,

所以, j(x) ? j(0) ? 1,即

综①②知,

.

12 分

22. 解析:

(1)依题意,直线 l1 的直角坐标方程为 y ?

3 3

x

,直线

l2

的直角坐标方程为

y

?

3x .

因为 ? ? 4cos? ? 2sin? ,故 ?2 ? 4? cos ? ?2 ?sin ? ,故 x2 ? y2 ? 4x ? 2y ,故 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,故

曲线

C

的参数方程为

??x ?

?

2

?

5

cos?

, (

?

为参数).

5分

??y ? 1? 5 sin?

(2)联立

??? ?

?

? 6



得到 | OM |? 2 3 ? 1,同理| ON |? 2 ? 3 .

??? ? 4cos? ? 2sin? ,

又 ?MON

?

? 6

,所以 S△MON

?

1 2

| OM

| ? | ON

| sin ?MON

?

8?5 4

3

即 △OMN 的面积为 8 ? 5 3 .
4

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