高一数学必修4 三角函数测试题

高一数学 三角函数练习
一,填空题: 1,若 α 是第四象限角,则 π α 是第 2,已知 tan α = 2, 3,角 象限角,

π
2

α 是第
.

象限角.

2 sin α 3 cos α = 4 sin α 9 cos α

16 π 化为 α + 2kπ (k ∈ Z , 0 < α < 2π ) 的形式是 3

4,角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为 5,若 sinθcosθ>0,则θ在第 象限 解析:答案:B;∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号. 当 sinθ>0,cosθ>0 时,θ在第一象限,当 sinθ<0,cosθ<0 时,θ在第三象限, 6,已知 sin α =

3 ,且 α 是第四象限角,tan α = 5

若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1] ,则 a 等于 , 解析:f(x)=loga(x+1)的定义域是[0,1] ∴0≤x≤1,则 1≤x+1≤2 当 a>1 时,0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,∴a=2; 当 0<a<1 时,loga2≤loga(x+1)≤loga1=0,与值域是[0,1]矛盾 综上,a=2
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7,函数 y =

x 的值域为 x +1
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8,设 U 是全集,非空集合 P,Q 满足 P Q U,若求含 P,Q 的一个集合运算表达式,使 运算结果为空集 ,则这个运算表达式可以是______ 解析:构造满足条件的集合,实例论证 U={1,2,3} ,P={1} ,Q={1,2} ,
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则( CU Q)={3} ( CU P)={2,3},易见( CU Q)∩P= , 答案: CU Q)∩P (

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9,已知下列各个角: α 1 = 限的角是

11 511 π ,α 2 = π , α 3 = 9 , α 4 = 855° ;其中是第三象 7 6

10,当 0<α<π 时,化简 11,已知 sin θ cos θ = 12,已知 3 = 5 = c ,且
a b

1 2 sin α cos α + 1 + 2 sin α cos α
2 4 4 ,则 sin θ + cos θ = 2 1 1 + = 2 ,求 c 的值 a b
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解:由 3 = c 得: log c 3 = 1 ,即 a log c 3 = 1 ,∴ log c 3 =
a

a

1 ; a

同理可得

1 1 1 = log c 5 ,∴由 + = 2 得 log c 3 + log c 5 = 2 , b a b
2
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∴ log c 15 = 2 ,∴ c = 15 ,∵ c > 0 ,∴ c = 15

13,定义在区间(∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)上的图象与 f(x)的 图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式①f(b)f(a)>g(a)g(b);②f(b)f(a)<g(a)g(b); ③f(a)f(b)>g(b)g(a);④f(a)f(b)<g(b)g(a) 其中正确不等式的序号是
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14,一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4 R ,则这个扇形所含弓形的面积为 设 f(x)=

4x 1 -2x+1,已知 f(m)= 2 ,求 f(-m) 2 x +1 4m 1 -2m+1= 2 2 m +1

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解:∵f(m)= 2 ,∴

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4m 1 -2m= 2 -1 2 m +1

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1 1 4 m 1 4m ∴f(-m)= m +1 +2m+1= +2m+1 1 2 2 m 2
=

1 4m 1 4m 4m 1 +2m+1= m +1 +2m+1=- m +1 + 2m+1 4 m 2 m +1 2 2 4m 1 -2m)+1=-( 2 -1)+1=2- 2 2 m +1

=-(

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二,解答题: 15,已知角 α = 45° ; (1)在区间 [ 720°, 0° ] 内找出所有与角 α 有相同终边的角 β ; (2)集合 M = x | x = ×180 + 45 , k ∈Z , N = x | x = ×180 + 45 , k ∈Z那么两集合的关系 ° ° ° ° 是什么? 解析: (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为: 45° + k × 360° ( k ∈ Z ) , 则令



k 2





k 4



720° ≤ 45° + k × 360° ≤ 0° ,

得 765° ≤ k × 360° ≤ 45°

765 45 ≤k≤ 360 360 从而 k = 2 或 k = 1
解得 代回 β = 675° 或 β = 315° (2) 因为 M = {x | x = ( 2k + 1) × 45°, k ∈ Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的 角的集合;而集合 N = {x | x = ( k + 1) × 45°, k ∈ Z } 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线 上的角的集合,从而: M N . 点评: (1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 α 有相同终边的 角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整数 k ,代回求出所求解; (2)可对整数 k 的奇,偶数情况展开讨论. 16, 一个半径为 r 的扇形, 若它的周长等于弧所在的半圆的长, 则扇形的圆心角是多少弧度? 多少度?扇形的面积是多少? 解:设扇形的圆心角是 θ rad ,因为扇形的弧长 r θ , 所以扇形的周长是 2r + r θ 依题意知: 2r + r θ = π r ,解得 θ = π 2 转化为角度度制为 θ = π 2 它的面积为: S =

rad

rad = (π 2) ×

180°

π

≈ 65°19 ,

1 2 1 r θ = (π 2)r 2 2 2

17,已知角 α 的终边过点 (a, 2a )( a ≠ 0) ,求 α 的四个三角函数值. 解析:因为过点 (a, 2a )( a ≠ 0) ,所以 r = 当 a > 0时, α = sin

5 | a | , x = a, y = 2 a .

y 2a 2a 2 5 = = = ; r 5 5|a| 5a

cos α =

x a 5a = = , tan α = 2 . r 5 5a y 2a 2a 2 5 x a 5a = = = , cos α = = = ; r 5 r 5a 5 5 | a | 5a

当 a < 0时, α = sin

tan α = 2 .
18,设不等式 2x-1>m(x 2 -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立 求 x 的取值范围
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19,证明:

2(cos α sin α ) cos α sin α = ; 1 + sin α + cos α 1 + sin α 1 + cos α A C = ,只 B D

解析:分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即要证 要证 AD=BC,从而将分式化为整式
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

cos α + cos 2 α sin α sin 2 α 证法一:右边= (1 + sin α )(1 + cos α )
=

(cos α sin α )(1 + cos α + sin α )
1 + sin α cos α + sin α + cos α

=

2(cos α sin α )(1 + cos α + sin α ) 2(1 + sin α + cos α + sin α cos α ) 2(cos α sin α )(1 + cos α + sin α ) = 2 1 + sin α + cos 2 α + 2 sin α + 2 cos α + 2 sin α cos α 2(cos α sin α )(1 + sin α + cos α ) = 左边 (1 + sin α + cos α )

=

证法二:要证等式,即为

2(cos α sin α ) (cos α sin α )(1 + sin α + cos α ) = 1 + sin α + cos α (1 + sin α )(1 + cos α )
只要证 2( 1 + sin α ) 1 + cos α )= (1 + sin α + cos α ) ( 即证: 2 + 2 sin α + 2 cos α + 2 sin α cos α
2

= 1 + sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α + 2 cos α + 2 sin α cos α ,
即 1= sin α + cos α ,显然成立,
2 2

故原式得证. 点评: 在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时, 需要仔细观察题目的特征, 灵活, 恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的"化切为弦"要简洁得多. (2)同角三角函数的基 本关系式有三种,即平方关系,商的关系,倒数关系.


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