东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试 数学理 扫描版含答案_图文

二模理科数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

C

B

C

B

D

A

A

B

C

C

n 2 (n ? 1) 2 13. 1 ? 2 ? ??? ? n ? 4
3 3 3

14.

125 2 ? 3
1 4

15.

2 3

16.①②④

17. (Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an ?1 ? 5Sn ?1 ? 1

………2 分

? an?1 ? an ? 5an?1 ,

………4 分



an ?1 1 ?? an 4
1 4

∴ 数 列

?an ?

是 首 项 为 a1 ? ?

1 1 , 公 比 为 q?? 的 等 比 数 列 , 4 4

∴ an ? (? ) n

………6 分

(Ⅱ) bn ? log 4 (? )

1 4

n

? ?n ,

………8 分

所以

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn ? 2 n(n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?

………10 分

Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ………12 分 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ?1 ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ?

18 . ( Ⅰ ) 解 : 第 三 组 的 频 率 是 0.150× 2=0.3 ; 第 四 组 的 频 率 是 0.100× 2=0.2 ; 第 五 组 的 频 率 是

0.050× 2=0.1

………3 分

(Ⅱ) ①由题意可知,在分层抽样的过程中第三组应抽到 6× 0.5=3 个,而第三组共有 100× 0.3=30 个,所以 甲乙两产品同时被选中的概率为 P ?
1 C28 1 ? 3 C30 145

………7 分

②第四组共有 X 个产品被购买,所以 X 的取值为 0,1,2
1 1 1 1 2 C3 ? C32 6 C3 C2 ? C2 C2 8 1 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? ; ; ; 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

P( X ? 0) ?

X
所以 X 的分布列为

0

1

2
………10 分

P

2 8 1 5 15 15

EX ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

………12 分

z

19. (Ⅰ)证明:

连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?
(Ⅱ) BD ? AA1 ,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O

x
y
………3 分

AC ? BD ? O

? ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? ? A1O ? 平面ABCD cos ?A1 AC ? 60? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ? ABCD
?

………7 分

(Ⅲ)

如图建立直角坐标系, A1 (0, 0,3) A( 3, 0, 0)C (? 3, 0, 0) B(0,1, 0) D(0, ?1, 0)

???? ? ???? 3 3 ???? 3 3 A1C1 ? AC ? (?2 3, 0, 0) ? C1 (?2 3, 0,3) M ( , 0, ) MB ? (? ,1, ? ) 2 2 2 2
??? ? ???? ? DB ? (0, 2, 0) BC1 ? (?2 3, ?1,3)
设平面 BC1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z )

?

? ??? ? ? ??? ? ? ? ? n ? DB ? 0 ? 2y ? 0 ? n ? DB ? ? ? ? ? n ? ( 3,0, 2) ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? 2 3 ? y ? 3 z ? 0 n ? BC n ? BC ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 1
???? ? ? 9 cos ? BM , n ?? 4 7
所以,直线 BM 与平面 BC1 D 所成角的正弦值为

………9 分

………11 分

9 7 28

………12 分

20.

2 2 2 (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

………4 分

(Ⅱ)设直线 BC : y ? kx ? b , B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )
2 将直线 BC 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ………5 分
2

又因为 AB ? ( x1 ? 4, y1 ? 2), AC ? ( x2 ? 4, y2 ? 2)

??? ?

????

所以

??? ? ???? AB ? AC ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( kx1 ? b ? 2)( kx2 ? b ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? [k (b ? 2) ? 4]( x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 0

? ?8b (k 2 ? 1) ?8k [k (b ? 2) ? 4] ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 0 ? b2 ? 12b ? 16k 2 ? 32k ? 20 ? 0 ? (b ? 6) 2 ?16( k ? 1) 2 ? 0



……8 分

? b ? 4k ? 10 或 ? b ? ?4k ? 2
所以恒过定点 (?4,10)

………10 分

………12 分

21.

(Ⅰ) f ( x) ?
'

a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? ax ? b ?

?x

2

? 1?

2

??

ax 2 ? 2bx ? a

?x
2

2

? 1?

2

令 f ( x) ? 0 ? ax ? 2bx ? a ? 0 ? ? ? 4(b ? a ) ? 0
' 2 2

………2 分

? f ' ( x) ? 0 有两实根不妨记为 ? , ?

x
f ' ( x)

? ??, ? ?
?

?
0

?? , ? ?
?

?
0

? ? , ?? ?
?

f ( x)

?

极小

?

极大

?
………4 分

所以, f ( x) 有两个极值点 ,一个极大值点一个极小值点

(Ⅱ) ax ? 2bx ? a ? 0 ,由韦达定理得 ? ? ? ? ?
2

2b a

f ?? ? ? ?1? ? ?? 2 ? a? ? b ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? a ?? ? ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 0 ?? ? 2 f ?? ? ?1 ? ? ? ? ? a? ? b ? 1 ? 0
………6 分

?? ? ? ? 0 ? b ? 0, ? ? ?1, ? ? 1,所以 a ? 2

………7 分

(Ⅲ)

因为 g ( x) ?

2e x ? 0 ,所以 m ? 0 e2 x ? 1

………8 分

又因为当 x ? 0 时,不等式恒成立

所以,原问题 ? m ?

e x ? e? x ? 2 对一切 x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? 恒成立 x2

法一、设 u ( x) ?

e x ? e? x ? 2 ( x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ) x2
x4

?e u ( x) ?
'

x

? e? x ? x 2 ? 2 x ? e x ? e? x ? 2 ?

?e ?

x

? e? x ? x ? 2 ? e x ? e? x ? 2 ? x3

设 h( x ) ? e ? e
x

?

?x

? x ? 2 ?e
?x

x

? e ? x ? 2 ? , h ' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x ? ? e x ? e ? x ? , h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? x
''

当 x ? 0 时, e ? e ,所以 h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, e ? e ,所以 h ( x) ? 0 ,
x x
''

?x

所以 h ( x ) 在 R 上单调递增,又因为 h (0) ? 0
' '

所以当 x ? 0 时, h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, h ( x) ? 0
' '

所以 h( x ) 在 ? ??, 0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 所以当 x ? 0 时, u ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, u ( x) ? 0
' '

………10 分

所以 u ( x ) 在 ? ??, 0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? lim h( x) ? 1
x ?0

所以 0 ? m ? 1

………12 分

法二不妨设 x ? 0

h( x ) ? ? e x ? e ? x ? ? mx 2 ? 2 h ' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2mx , h'' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2m
当 m ? 1 时, e ? e
x

?

?x

? ? 2 ? 2m , h ( x) ? 0 ,所以 h ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h ( x) ? h (0) ? 0 所以
'' ' ' '

h( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,所以当 m ? 1 时成立………10 分

2 2 '' 当 m ? 1时 h ( x) ? 0 得 x ? ln(m ? m ? 1), 令x0 ? ln(m ? m ? 1)

当 x ? ? 0,x0 ? 时 h ( x) ? 0 所以 h ( x ) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h ( x) ? h (0) ? 0 所以
'' ' ' '

h( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,与条件矛盾,同理 x ? 0 时亦如此
综上 0 ? m ? 1 12 分

22.

(Ⅰ)

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为 ? O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ?? ACB ?? CQA ? AQ为 ? O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC

AB // CD ? ?PAB ? ?AQC

………5 分

(Ⅱ)

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?

AP 为 ? O 切线 ? AP 2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
又因为 AQ 为 ? O 切线 ? AQ ? QC ? QD ? QD ?
2

16 3 3

………10 分

23.

(Ⅰ) C1 : x ? 2 y ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
2 2

………5 分

(Ⅱ)设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

………8 分

当且仅当 ? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2k? ?

?
4
2

( k ? Z )时取等

………10 分

24.解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c) ? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? 3
2 2 2 2 2 2

∴? 3 ? a?b?c ? 3

所以 a ? b ? c 的取值范围是 [ ? 3,

3]

………5 分

(? 1)? 1 ](a ? b ? c ) ? 3 (Ⅱ)同理, (a ? b ? c) ? [1 ?
2 2 2 2 2 2 2

………7 分

若不等式 | x ? 1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 (??, ? ] ? [ , ??)

3 2

3 2

………10 分


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