浙江省温州市十校联合体2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题


2015 学年第一学期十校联合体高二期末联考 数 学 试 卷
参考公式: 球的表面积公式
S ? 4πR 球的体积公式
2

锥体的体积公式

V= Sh
其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的 高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

1 3

4 V ? π R3 3

其中 R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面 积, h 表示台体的高

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角是( ▲ ) A.
π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

2.在命题“若 ? ? 的个数是( ▲ ) A.0

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题

B.2

C.3

D.4

3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 , 则正 视图中的 x 的值( ▲ ) A.

3 2

B.2

C.3

D.

9 2

4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,点 P(1,1) 是线段 AB 的中点, 4 3

则直线 l 的斜率为( ▲ ) A. ?
3 2

B.

3 2

C. ?

3 4

D.

3 4

5.已知 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ▲ ) A.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ? B.若 m // ? , n // ? , 且 m // n ,则 ? // ? D.若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n ,则 ? ? ?

1

6.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 和 y 轴的距离之和的 最小值是( ▲ ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 5 ? 1
?

7.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线 l ,若直线 l 与抛物线在第

x2 y 2 一象限的交点为 ? 并且点 ? 也在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线上, a b
则双曲线的离心率为( ▲ ) A.

21 3

B. 13

C.

2 3 3

D. 5

8.如图,平面 ? ? 平面 ABC , D 为线段 AB 的中点,

AB ? 2 3 , ?CDB ? 30? , P 为面 ? 内的动点,
且 P 到直线 CD 的距离为 1,则 ?APB 的最大值为( ▲ ) A. 60 ? B. 90 ? C. 120 ? D. 150 ?

二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,每格 3 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分. 把答案填在答题卷的相应位置. 9.抛物线 y ? 2 x2 的准线方程是 ▲ ;焦点到准线的距离为 ▲

10.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 和直线 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值为 ▲ ;若 l1 / / l2 ,则 l1 与 l2 间的距离为 ▲ ▲ ;该正方体内切球的

11. 若正方体外接球的体积是 表面积为 ▲

9 ? ,则正方体的棱长等于 2

12.设 P 是椭圆

? x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是该椭圆的两个焦点,且 ?F1 PF2 ? , 3 25 9
▲ , ?F 1PF 2 内切圆半径为 ▲

则 ?F 1PF 2 的面积为

13.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 M 和 N 分别 是 B1 D1 和 B1C1 的中点,则异面直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值为 ▲

14 .已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2


y?

2 x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =

2

15. 已知点 A? ?5,0? ,B ? ?1, ?3? , 若圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 上恰有两点 M ,N , 使得 ?MAB 和 ?NAB 的面积均为 5 ,则 r 的取值范围是 ▲

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 10 分)已知方程 (Ⅰ)求实数 m 的取值集合 A ; (Ⅱ)设不等式 x ? (2a ? 1) x ? a ? a ? 0 的解集为 B , 若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围。
2 2

x2 y2 ? ? 1 ( m ? R )表示双曲线。 m 4?m

17.(本题满分 10 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 ,点 M (0,1) 为圆内的一点. 直 线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,且点 M 恰好为弦 AB 的中点。 (1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆过原点 O ,求圆 C 的方程.

18.(本题满分 10 分)如图,已知 AE ? 平面 CDE,四边形 ABCD 为正方形,M、N 分别是线段 BE、DE 的中点。(I)求证:MN//平面 ABCD; (II)若

AE 1 ? ,求 EC 与平面 ADE 所成角的正弦值。 EC 2

3

19.(本题满分 10 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? 1, BC ?

2 , ?ABC ? 45 ? , AE ? PC ,垂足为 E. (Ⅰ)求证:平面 AEB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ? ,求侧棱 PA 的长。

20. (本题满分 12 分) 已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两 个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C. (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

4

2015 学年第一学期十校联合体高二期末联考 数 学 试 卷(参考答案) 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 C 5 D 6 D 7 A 8 C

二、填空题 9.y= -

1 8

1 4

10.-2

5

11.

3

3?

12. 3 3

3 3

13.

30 10

14. -1

15. (1,5)

三、解答题 16.解:(Ⅰ)由题意: m(4 ? m) ? 0 ???????3 分 可得集合 A ? m m ? 0或m ? 4 ???????5 分 (Ⅱ) 由题意: B ? x a ? x ? a ? 1 ???????7 分 ∵ x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,∴ a ? 4 或 a ? 1 ? 0 ∴实数 a 的取值范围: a ? 4 或 a ? ?1 ???????10 分 17.解: (1)因为 22 ? 42 ? 4a ? 0 ,所以 a ? 5 . 因为 M (0,1) 在圆 C 内,所以 12 ? 4 ? a ? 0 ,所以 a ? 3 . 综上知 a ? 3 . ........................................................2 分

?

?

?

?

因为弦 AB 的中点为 M (0,1) ,所以直线 l ? CM . 因为 kCM ? ?1 ,所以 kl ? 1 . 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . ......................................5 分

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0, 3? a 3? a (2)由 ? 得 2 x 2 ? a ? 3 ? 0 ,故 x1 ? , x2 ? ? . y ? x ?1 2 2 ?
不 妨设 A(

3? a 3? a 3? a 3? a , ? 1) , B(? ,? ? 1) . 2 2 2 2
3? a 3? a ?1? ? a ? 2 ? 0 ,故 a ? 2 . 2 2

.................7 分

则 OA ? OB ? ?

.................9 分

故圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 2 ? 0 .

............ .....................10 分

18.
5

??3 分

??5 分

??7 分

??10 分 19.解: (Ⅰ)? AB ? 1, BC ?

2 , ?ABC ? 45 ?

? AB ? AC ??????????????1 分) 又? AB ∥ CD ? CD ? AC ? PA ? 平面 ABCD ? PA ? CD , 又? AC ? AP ? A ? CD ? 平面 PAC ,? AE ? 平面PAC ? CD ? AE 又? AE ? PC , PC ? CD ? C ? AE ? 平面 PCD ??4 分 又? AE ? 平面 AEB ? 平面 AEB ? 平面 PCD ?????5 分 (II) :? AB ? 平面 PAC ,? 平面ABE ? 平面PAC 又? 二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ? ? 二面角 C ? AE ? D 的大小为 60 ? ?????????6 分 ? AE ? 平面 PCD ,? AE ? CE , AE ? DE ? ?CED 为二面角 C ? AE ? D 的 平面角,即 ?CED ? 60 ? ??????8 分 3 ? CD ? 1 , ?ECD ? 90 ? ,? CE ? 3 6 在 RT?PAC 中,? AE ? PC , AC ? 1 ,? AE ? 3

6

? ?ACE ∽ ?PCA ,?

PA AC AC ? ,? PA ? ? AE ? 2 AE CE CE

故侧棱 PA 的长为 2 。???????????????10 分 (其它方法同样酌情给分) 20. 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) .

?y ? x ? 1 1 1? a (Ⅰ) ? 2 , ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 2 2 4 ?3 x ? y ? a
| AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2 ? a ? 3 10 ? ? a ? 2 .??5 分 4 2

? y ? kx ? 1 (Ⅱ) ? 2 ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 , 2 3 x ? y ? a ?
? x1 ? x 2 ? ? 2k 1? a , x1 x 2 ? ,??6 分 2 3? k 3 ? k2

由 AC ? 2CB ? (? x1 ,1 ? y1 ) ? 2( x 2 , y 2 ? 1) ? x1 ? ?2 x 2 ,代入上式得:
x1 ? x 2 ? ? x 2 ? ? 2k 3?k
2

? x2 ?

2k 3 ? k2

,??9 分

S ?AOB ?

3|k | 1 3 3 3 3 | OC | | x 1 ? x 2 |? | x 2 |? ? ? ? ,??10 分 2 3 2 2 2 3?k ?|k| 2 3 |k|

当且仅当 k 2 ? 3 时取等号,此时 x 2 ? 又 x1 x 2 ?
1? a 3?k
2

2k 3?k
2

, x1 x 2 ? ?2 x 2 ? ?2

2

4k 2 (3 ? k )
2 2

??

2 . 3

?

1? a 1? a 2 ,因此 ?? ?a?5. 6 6 3

所以, ?AOB 面积的最大值为

3 ,此时椭圆的方程为 3 x 2 ? y 2 ? 5 .??12 分 2

7


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