【全程复习方略】2014版高考数学 4.3平面向量的数量积课时提升作业 理 北师大版

【全程复习方略】 2014 版高考数学 4.3 平面向量的数量积课时提升作业 理 北 师大版
一、选择题 1.有下列四个命题: ① (a ?b) =a ?b ;② |a+b|>|a-b|; ③ |a+b| =(a+b) ;④若 a ∥b, 则 a ? b=|a|? |b|. 其中真命题的个数是 ( (A)1 ) (B) 2 (C)3 (D)4 )
2 2 2 2 2

2.(2012?辽宁高考)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 ( (A)a∥b (C)|a|=|b| (B)a⊥b (D)a+b=a-b

3.(2013?渭南模拟)设向量 a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若 t 是实数,且 u=a+tb,则|u| 的最小值是 ( (A) ) (B)1 (C) (D) )

4.(2013? 南昌模拟)已知平面向量 a=(3,1),b=(x,-6),设 a 与 b 的夹角的正切值等于- ,则 x 的值为 ( (A) (C)-2 5.在△ABC 中, (A)1 =1, (B)3 (B)2 (D)-2, =2,则 AB 边的长度为 ( (C)5 (D)9 )

6.(2013? 重庆模拟)已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2, a? b=0,若向量 c 与 a-b 共线,则|a+c|的最小值为( (A)1 (B) (C) (D)2

)

7.(2013?营口模拟)设 a,b 是不共线的两个向量,其夹角是θ ,若函数 f(x)=(xa+b)?(a-xb)(x∈R)在(0,+ ∞ )上有最大值,则( ) (A)| a|<|b|,且θ 是钝角 (B)| a| <|b|,且θ 是锐角 (C)| a|>|b|,且θ 是钝角 (D)| a|>|b|,且θ 是锐角 8.已知 O 是△ABC 内部一点, (A)2 (B)1 + (C) + =0, ? (D) ,-1),n=
-1-

=2

,且∠BAC=30°,则△AOB 的面积为

(

)

9.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=(

(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( (A) , (C) , (B) ,

)

(D) , ⊥ ,则向量 的坐标为

10.(能力挑战题 )如图,已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B. 且 ( )

(A)(- , ) 二、填空题

(B)(-

,

)

(C)(- , )

(D )(-

,

)

11.(2013?黄山模拟)已知向量 a=(2,1),a?b=10,|a+b|=5

,则|b|=

.

12.如图,半圆的直径|AB|=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 ( + )? 的最小值是 .

13.(2013?杭州模拟)以下命题:①若|a?b|=|a|?|b|,则 a∥b;②a=(-1,1)在 b=(3,4)方向上的投影为 ; ③若△ABC 中,a=5,b=8,c=7,则 命题的序号是 . 和 ,它们的夹角为 90°.如图所示,点 C 在以 O 为圆心 . ? =20;④若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真

14.(能力挑战题)给定两个长度为 1 的平面向量 的圆弧 AB 上运动,若 =x +y

,其中 x,y∈R,则 xy 的范围是

-2-

三、解答题 15.(2013?晋中模拟)已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1), (1)求 D 点的坐标. (2)若 D 点在第二象限,用 (3)设 = (t,2),若 3 + , 与 表示 . 的坐标. ? =5, AD =10.

???? 2

垂直,求

答案解析 1.【解析】选 A.设 a,b 夹角为θ ,①(a?b) =|a| ?|b| ?cos θ ≤|a| ?|b| =a ?b ; ②|a+b|与|a-b|大小不确定; ③正确; ④a∥b,当 a,b 同向时有 a?b=|a|?|b|;当 a,b 反向时有 a?b=-|a|?|b|.故不正确. 2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系. 【解析】选 B.|a+b|=|a-b|? |a+b| =|a-b| ? a +2a?b+b =a -2a?b+b ? a?b=0? a⊥b. 【变式备选】已知非零向量 a,b 满足向量 a+b 与向量 a-b 的夹 角为 ,那么下列结论中一定成立的是 ( ) (B)|a|=|b| (D)a∥b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(A)a=b (C)a⊥b

【解析】选 B.由条件得(a+b)?(a-b)=a -b =0,故可得|a|=|b|. 3.【解析】选 C.∵|u | =(a+tb) =a +2ta?b+t b
2 2 2 2 2

=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t =t +
2

2

t+1=(t+ ) + ≥ ,

2

∴|u|≥ ,故选 C. 4.【解析】选 C.∵a=(3,1),b=(x,-6),设 a 与 b 的夹角等于θ , ∴a?b=3x-6= ∴cosθ = . cosθ ,

∵tanθ =- ,∴cosθ =- . ∴ =- ,
-3-

整理得 3x -20x-52=0. 解得 x1=-2,x2= . 经检验 x2= 是增根,x1=-2 满足要求. ∴x=-2. 5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果. 【解析】选 B.过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D. 由条件得 = =| |cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.

2

故|AB|=|AD|+|DB|=3. 6.【解析】选 B.由 a?b=0 知 a⊥b,又|a|=|b|=2,所以 a 与 a - b 所成角为 .若| a +c|最小,则 c 与 a - b 共线反向,从而 a 与 c 的夹角为
2 2 2

. = c -2
2

∵(a + c) = a + c +2|a||c|?cos 即| a +c|的最小值为 .
2 2

| c |+4=(| c |-

) +2≥2,∴|a+c|≥

2

,

7.【解析】选 D.f(x)=- a?b x +(a - b )x+a?b,若函数 f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函 数,且图像的开口向下,且对称轴在 y 轴右侧,即 所以 a, b 的夹角为锐角,且|a|>| b |. 8.【解析】选 D.由 又 得| ? || =| || + + =0 得 O 为△ABC 的重心,∴S△AOB= S△ABC. , |sin30°=1.

2

|cos30°=2 ||

|=4,∴S△ABC= |

∴S△AOB= . 9.【解析】选 C.由 m⊥n 可得 m?n=0, 即 cosA-sinA=0,所以 A= .

又 acosB+bcosA=csinC 知 c=csinC,则 sinC=1, 所以 C= ,由 B= -C 可得 B= .

10.【解析】选 B.依题意设 B(cosθ ,sinθ ),0≤θ ≤π . 则 =(1,1), =(cosθ ,sinθ ).

-4-

因为



,所以

?

=0,

即 cosθ +sinθ =0, 解得θ = , 所以 =(- , ).

【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ 是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点 B 的坐标,可将问 题转化为向量的坐标运算问题来解决. 11.【解析】∵50=|a+b| =|a| +2a?b+|b| =5+20+|b| ,∴|b|=5. 答案:5 12.【思路点拨】设|PO|=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数知识求解. 【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0≤x≤3), 则( + )? =2 ? =2?x?(3-x)?cosπ =2x(x-3)=2(x- ) - .
2 2 2 2 2

∵0≤x≤3, ∴当 x= 时,( 答案:13.【解析】设 a,b 的夹角为θ ,①中,由|a?b|=|a||b||cosθ |=|a||b|,知 cosθ =±1,故θ =0 或θ =π ,所以 a∥b,故正确;②中 a 在 b 方向上的投影为|a|? cosθ =|a|? + )? 有最小值- .

a?b a? b = = , | a || b | |b |

故正确 ; ③中 , 由余弦定理得 cosC=

= ,故

?

=-

?

=-5 ? 8 ? =-20, 故错误 . ④中 , 由

|a +b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误. 答案:①② 14.【解析】由 =x +y ,得 ? ? . = 0,

??? ?2 ???? 2 ??? ?2 OC =x2 OA +y2 OB +2xy
又|
2

|=|
2

|=|

|=1,

∴1=x +y ≥2xy,得 xy≤ , 而点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动, 得 x,y∈[0,1],于是 0≤xy≤ .
-5-

答案:[0, ] 15.【解析】(1)设 D(x,y ), =(1,2), =(x+1,y).

??? ? ???? ? AB ? ?AD ? x ? 1 ? 2y ? 5, 由题得 ? ???? 2 2 (x ? 1) ? y 2 ? 10, ? ?AD ?





∴D 点的坐标为(-2,3)或(2,1). (2)∵D 点在第二象限,∴D(-2,3). ∴ 设 =(-1,3).∵ =m +n , =(-2,1),

则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3), ∴ ∴ =+ + 与 + . =3(1,2)+(-2,1)=(1,7), 垂直,∴(3 + )? =( t,2), =0, ∴

(3)∵3 ∵3

∴t+14=0,∴t=-14,∴

=(-14,2).

【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n,t), C(ksinθ ,t)(0≤θ ≤ ). (1)若 ⊥a,且| |= | |(O 为坐标原点),求向量 . ? .

(2)若向量

与向量 a 共线,当 k>4,且 tsinθ 取最大值 4 时,求 =(n-8,t),

【解析】(1)可得 ∵ ∴ ⊥a,

?a=(n-8,t)?(-1,2)=0,

得 n=2t+8, 则 =(2t,t).
-6-

又|

|=
2 2

|

|,|

|=8.

∴(2t) +t =5?64,解得 t=±8, 当 t=8 时,n=24;当 t=-8 时,n=-8. ∴ =(24,8)或 =(-8,-8).

(2)∵向量

与向量 a 共线,

∴t=-2ksinθ +16, tsinθ =( -2ksinθ +16)sinθ =-2k(sinθ - ) +
2

. ,有 =4,得 k=8.

∵k>4,∴0< <1,故当 sinθ = 时,tsinθ 取最大值 这时,sinθ = ,k=8,tsinθ =4,得 t=8, 则 ∴ =(4,8), ? =(8,0)?(4,8)=32.

-7-


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