[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系[配套课件]_图文

第一章 集合与逻辑用语
第 1 讲 集合的含义与基本关系

1.集合的含义与表示. (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系. (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子 集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算. (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合 的并集与交集.

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子
集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈或

____表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.

(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;
有理数集 Q;实数集 R.

(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有 限集、无限集、空集. 2.集合间的基本关系

? B(或 B?A). (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A____
(2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A____B(或 B

A).

(3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的 真子集. (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集 2n-1 个. 有________ (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B.

3.集合的基本运算及其性质
(1)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

(2)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.

x∈U,且 x A ,U 为全集,?U A (3)补集:?U A={x|________________}
表示 A 相对于全集 U 的补集.

(4)集合的运算性质.

①并集的性质:A∪? =A,A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪

B=A?B?A;
②交集的性质:A∩? =?,A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B =A?A?B; ③补集的性质:A∪?U A=U,A∩?U A=?,?U (?U A)= A, ?U (A∪B)=(?U A)∩(?U B),?U (A∩B)=(?U A)∪(?U B).

1.若非空集合 A,B 满足 A?B,则( B ) A.?x0∈A,使得 x0 B.?x∈A,有 x∈B

B

C.?x0∈B,使得 x0
D.?x∈B,有 x∈A

A

2 .(2015 年广东汕头一模) 若集合 A ={x| -2<x<1},B= {x|0<x<2},则集合 A∩B=( A ) A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<1}

C.{x|-2<x<2}

D.{x|1<x<2}

3.(2013 年广东)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2

-2x=0,x∈R},则 M∪N=( D )
A.{0} C.{-2,0} B.{0,2} D.{-2,0,2}

解析:M={0,-2},N={0,2},M ∪N={0,2,-2}.故
选 D.

4.(2014 年广东)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则

M∩N=( B )
A.{0,2} C.{3,4} B.{2,3} D.{3,5}

解析:M∩N={2,3}.故选B. 5 .(2014 年湖北) 已知全集 U ={1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A = {1,3,5,6},则?U A=( C )

A.{1,3,5,6}
C.{2,4,7}

B.{2,3,7}

D.{2,5,7}

解析:依题意,? UA={2,4,7}.故选C.

考点1

集合的运算

例1:(2013 年浙江)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x- 4≤0},则(?RS)∪T=( ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

A.(-2,1]
C.(-∞,1]

解析:S={x|x>-2},?RS=(-∞,-2],T={x|-4≤x≤1} =[-4,1],(? RS)∪T=(-∞,1]. 答案:C

【规律方法】本题主要考查集合的并集、补集运算,属于 容易题.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能 借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时 用Venn 图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意端点的取舍.

【互动探究】 1.(2014 年新课标Ⅰ)已知集合 M={x|-1<x<3},N={x| -2<x<1},则 M∩N=( B ) A.(-2,1) B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-2,3)

解析:M∩N={x|-1<x<1}.故选 B.
2.(2015年广东广州一模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5}, N={1,2,5}, 则集合{1,2}可以表示为(

B )

A.M∩N
C.M∩(?UN)

B.(?UM)∩N
D.(?UM)∩(?UN)

考点2

集合间的基本关系

例 2:集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.

(1)若 B?A,求实数 m 的取值范围;
(2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求 实数 m 的取值范围.

解:(1)①当m+1>2m-1,
即m<2 时,B=? .满足 B?A. ②当m+1≤2m-1,即m≥2 时,要使B?A 成立,
? ?m+1≥-2, 需? ? ?2m-1≤5,

可得 2≤m≤3.

综上所述,当 m≤3 时,有B?A.

(2)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},

没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,即 A∩B=? .
①若 B=? ,即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ②若 B≠? ,则要满足条件有:
? ?m+1≤2m-1, ? ? ?m+1>5, ? ?m+1≤2m-1, 或? ? ?2m-1<-2.

解得 m>4. 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 或 m>4.

【规律方法】注意? 的特殊性.空集是任何集合的子集: ①当B?A 时需考虑 B=? 的情形;

②当A∩B=? 时也需考虑B=? 的情形,如果集合B 不是
空集,可以利用数轴,既直观又简洁.

【互动探究】 3.(2013 年新课标Ⅰ)已知集合 A={x|x2 -2x>0},B={x|

- 5<x< 5},则( B )

A.A∩B=?
C.B?A

B.A∪B=R D.A?B

解析:A={x|x<0,或 x>2},B={x|- 5<x< 5},A,C, D 显然错误.故选 B.

4.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( B )

A.0 或 3 C.1 或 3

B.0 或 3 D.1 或 3

解析:因为 A∪B=A,所以 B?A,所以 m=3 或 m= m. 若 m=3, 则 A={1,3, 3}, B={1,3}, 满足 A∪B=A.若 m= m, 解得 m=0 或 m=1.若 m=0,则 A={1,3,0},B={1,0},满足 A ∪B=A.若 m=1,A={1,3,1},B={1,1},显然不成立.综上所 述,m=0 或 m=3.

考点3

与集合有关的新概念问题

例3:在如图 1-1-1 所示的 Venn 图中,A,B 是非空集合, 定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y=
2x-x2},B={y|y=3x,x>0},则 A#B=( )

A.{x|0<x<2}

B.{x|1<x≤2}
C.{x|0≤x≤1,或 x≥2} 图1-1-1

D.{x|0≤x≤1,或 x>2}

解析: A={x|y= 2x-x2}={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2}, B = {y|y = 3x , x>0} = {y|y>1} , 则 A ∪ B = {x|x≥0} . A∩B = {x|1<x≤2}.根据新运算,得 A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1, 或 x>2}.故选 D.
答案:D

【规律方法】(1)注意用描述法给出集合的元素. 如{y|y = 2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合. (2)根据图形语言知,定义的 A#B 转化为原有的运算应该是

表示为?

A∪B(A∩B),所以需要求出 A∪B

和A∩B,借助数轴求

出并集与交集.解题的关键是利用图形语言把新定义的运算转

化为原有的普通运算,从而解出.

【互动探究】 5.(2013 年山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x

∈A,y∈A}中元素的个数是( C )
A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.9 个

解析:∵A={0,1,2},B={x-y|x∈A,y∈A},∴当x=0,

y 分别取0,1,2 时,x-y 的值分别为0,-1,-2;当x=1,y
分别取0,1,2 时,x-y 的值分别为 1,0,-1;当x=2,y 分别取 0,1,2 时,x-y 的值分别为 2,1,0.∴B={-2,-1,0,1,2}.∴集 合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5 个.

6.(2013年浙江宁波联考)对于集合M,N,定义M-N={x|x ∈M,且 x

N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A={y|y=3x,x

∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则 A⊕B=( C ) A.[0,2) C.(-∞,0]∪(2,+∞) B.(0,2] D.(-∞,0)∪[2,+∞)

解析:由题意知,集合 A={y|y>0},B={y|y≤2}, 所以 A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0}. 所以 A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).故选C.


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