2018秋新版高中数学北师大版必修2习题:第一章立体几何初步 1.1.2 Word版含解析

1.2 1.关于棱柱,下列说法正确的是( A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,侧棱也互相平行 ) 简单多面体 解析:正方体可以有六个面平行,故选项 A 错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项 B 错误;三棱柱 的底面是三角形,故选项 C 错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项 D 正确. 答案:D 2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( A.正三棱锥 C.正五棱锥 B.正四棱锥 D.正六棱锥 ) 解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长. 答案:D 3.棱台不一定具有的性质是( A.两底面相似 C.侧棱都相等 ) B.侧面都是梯形 D.侧棱延长后都交于一点 解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以 A,B,D 选项都成立, 只有选项 C 不一定成立. 答案:C 4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是( ) 解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D 中的展开图都可还原为三棱柱,但是 C 中展开图还原后的几何 体没有下底面,故不是三棱柱的展开图. 答案:C 5.下列说法正确的个数为( ) ①存在斜四棱柱,其底面为正方形; ②存在棱锥,其所有面均为直角三角形; ③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直; ④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱. A.1 解析: B.2 C .3 D .4 ①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于 90° 时就 不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为 B. 答案:B 6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为 1∶4,截去的棱锥 的高是 3 cm,则棱台的高是( A.12 cm B.9 cm ) C.6 cm D.3 cm 解析:棱台的上、下底面的面积之比为 1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为 1∶2,棱台的高 是 3cm. 答案:D 7.有下列四个结论: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③三棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形. 其中正确的有 答案:③④ 8. (填正确结论的序号). 如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成 的几何体的形状是 . 解析:如图所示,假设以 AB 边固定进行倾斜,则几何体 BB2C2C-AA2D2D 一定为棱柱. 答案:棱柱 9.在侧棱长为2 3的正三棱锥 ? 中,∠APB=40° ,E,F 分别是 PB,PC 上的点,过点 A,E,F 作截面 AEF,则△AEF 周长的最小值是 . 解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示. 则当 E,F 为 AA1 与 PB,PC 的交点时,△AEF 的周长最小,最小值为 2AP· cos30° =2×2 3 × 2 = 6. 答案:6 3 10.把右图中的三棱台 ABC-A1B1C1 分成三个三棱锥. 解:如图所示,分别连接 A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥 A-A1BC,B1-A1BC1,CA1BC1.(本题答案不唯一) 11. 试从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号 表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥. (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. (3)三棱柱. 解:(1)如图所示,三棱锥 A1-AB1D1(答案不唯一). (2)如图所示,三棱锥 B1-ACD1(答案不唯一). (3)如图所示,三棱柱 A1B1D1-ABD(答案不唯一). ★12.如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上的一点,且由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线的长为 29, 设这条最短路线与1 的交点为. 求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长; (2)求 PC 和 NC 的长. 解:(1)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角线长为 92 + 42 = 97. (2)如图所示,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120° 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,则点 P 旋转 到点 P1 的位置,连接 MP1 交 CC1 于点 N,则 MP1 的长等于由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最 短路线的长.设 PC=x,则 P1C=x. 在 Rt△MAP1 中,由勾股定理, 得(3+x)2+22=29,解得 x=2, 所以 PC=P1C=2,又 = 1 1 = , 所以NC= . 2 5 4 5

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