高二立体几何练习(二)题目及答案


高二文科数学立体几何练习题(二)
出题人: 审题人: 1. (本小题满分 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

D1 D ? 底面 ABCD , AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(1)求证:平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 ; (2)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积. A1

D1 B1

C1

D A 第 1 题图 解 : ( 1 ) 证 明 : 在 B

C

?ABD



,















BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,
所 以

A

2

?D

?

2

B

, D

2

所 A 以 B

?ADB ? 90?

,



AD ? BD ,……………………………………3 分
又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又

D1 D

?





A

B

, BC C D ?





A

B

, 所 C D



D1

? D

B C ,……………………………………4 分

又 D1 D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1 B1 , ……………………………………5 分 又

BC ?





A1 BCD1

,









A1BCD1 ?
A1

BDD1 B1 .……………………………………6 分
(2)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6 ∵ BC ? 平面 BDD1 B1 ,所以 BC ? BD1 ,…………………………8 分 所以四边形 A1 BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ?

平 D1

面 C1 B1 M

D B
解法一图

C

1 ? BC ? BD1 ? 6 ,………10 分 A 2
6 , 2

取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ?

又平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A1 BCD1 ,……………………………………13 分 所以四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积: A1 D1 B1 C1

D
1

C B

A
解法二图

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ……………………………………14 分 3
法二: 四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ,……………8 分 而三棱锥 D ? A1 BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,……………10 分 所 以
D?

V?

1

2

? 2VD1 ?

1 3

1

V . …………………14 分A

1

?

?

2. (本小题满分 14 分)如图 4,在四棱锥 P ? ABCD中,底面 ABCD 为菱形,其中

PA ? PD ? AD? 2 , ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(1) 求证: AD ? 平面PQB ; (2) 若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 M 为 PC 的中点,求四棱锥 M ? ABCD的体积. .解: (1)? PA ? PD , Q 为中点,

? AD ? PQ
…………1分 连 DB ,在 ?ADB 中, AD ? AB , ?BAD ? 60 , ks5u
?

??ABD 为等边三角形, Q 为 AD 的中点,
? AD ? BQ , PQ ? BQ ? Q , PQ ? 平面 PQB , BQ ? 平面 PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3 分 …………4 分 …………5 分 …………2 分

? AD ? 平面 PQB .
(2)连接 QC ,作 MH ? QC 于 H .

? PQ ? AD , PQ ? 平面 PAD ,
平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 平面 PAD ? 平面 ABCD, …………6 分

P M C H B
…………11 分

? PQ ? 平面ABCD ,

…………7 分

QC ? 平面ABCD ,
? PQ ? QC ? PQ / / MH .
…………8 分 …………9 分 …………10 分

D Q A

? MH ? 平面ABCD ,
又 PM ? 1 PC ,? MH ? 2

1 1 3 3 PQ ? ? ?2 ? . 2 2 2 2 在菱形 ABCD 中, BD ? 2 ,
2

方法一: S?ABD ?

1 3 1 = 3, ? AB ? AD ? sin 600 = ? 2 ? 2 ? 2 2 2

…………12 分 …………13 分 …………14 分

? S菱形ABCD ? 2S?ABD ? 2 3 .
1 3 1 VM ? ABCD ? ? S?ABCD ? MH ? ? 2 3 ? ?1. 3 2 3
方法二: AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos1200
…………12 分

? 1? = 4+4 ? 8 ? ? ? ? ? 2 3 , ? 2?

1 1 ? S菱形ABCD ? ? AC ? BD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 , 2 2 VM ? ABCD
1 ? ? S菱形ABCD ? MH 3
1 3 ? ?2 3? ?1 3 2

…………13 分

…………14 分

3. (本小题满分 14 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分 别为 DD1 、 DB 的中点.
D1 C1 B1 E

(Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积.

A1

D F A B

C

证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,…………………1 分 则 EF // D1B , …………………………………2 分 又 D1B ? 平面ABC1 D1 , EF ? 平面ABC1 D1 ………………………………3 分 所以 EF // 平面ABC1 D1 ……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)连结 BC1 ,由于 AB ? 平面B1BCC1 ,所以 B1C ? AB ……………………………5 分 由于 面B1BCC1 为正方形,所以 B1C ? BC1 ………………………………………6 分

3

由于 AB, B1C ? 平面ABC1D1 , AB ? BC1 ? B …………………………………7 分 所以 B1C ? 平面ABC1D1 …………………………………………………………8 分 又 BD1 ? 平面ABC1D1 ,所以 B1C ? BD1 ………………………………………9 分 又 EF // BD1 ,所以 EF ? B1C …………………………………………………10 分
D1 C1 B1 E

(Ⅲ)? CF ? 平面BDD1 B1 ,

A1

? CF ? 平面EFB1 且
D

CF ? BF ? 2 …………………………………11 分

C F B

A

? EF ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 ,………12 分 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF ? B1F ? B1E ,即 ?EFB1 ? 90 ,………………………………13 分
2 2 2

?

1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S?B1EF ? CF 3 1 1 1 1 = ? ? EF ? B1F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 ………………………14 分 3 2 3 2
4.(本小题满分 14 分)如图,已知 DE⊥平面 ACD , DE // AB , △ ACD 是正三角形, AD = DE ? 2 AB=2 ,且 F 是 CD 的中点. ⑴求证:AF //平面 BCE ; ⑵求证:平面 BCE ⊥平面 CDE . ⑶求 VC ? ABF

: VC ? ABED

的值.

⑴解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 又 AB//DE,且 AB=

1 DE. 2

…………2 分

1 DE. 2

∴AB//FP,且 AB=FP,

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ⑵∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD, AF ? 平面 ACD,

∴AF//平面 BCE.

…………4 分

4

∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE. 又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。 又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. ⑶? DE // AB

…………7 分 …………8 分 …………9 分

DE ? 平面A C D
∴AB 是三棱锥 B-ACF 的高,

?AB⊥平面 ACD VC ? ABF ? VB-ACF
1 3

= S?ACF ? AB ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin

1 1 1 3 2 2

?

3 ?1 ? 3 6

P ………11 分 Q

取 AD 中点 Q,连结 CQ ∵DE⊥平面 ACD, DE ? 平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED, ∵△ACD 为正三角形,∴CQ⊥AD, 平面 ACD∩平面 ABED=AD CQ ? 平面 ACD, ∴CQ⊥平面 ABED,∴CQ 是四棱锥 C-ABED 的高 …………12 分 VC-ABED=

1 1 (1 ? 2) S梯形ABED ? CQ ? ? ? 2? 3 ? 3 3 3 2
1 6

…………13 分 …………14 分

故 VC ? ABF : VC ? ABED =

5.(本小题满分 14 分)已知菱形 ABCD 中(如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折, 使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点. (1)证明:BD //平面 EMF ;
C1

(2)证明: AC1 ? BD ;

D

C

F M D
A

图1 证明: (1)因为点 F , M 分别是 C1D, C1B 的中点, 所以 FM / / BD .

B

A

E

B

图2

………………………………………2 分

又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , 所以 BD / / 平面 EMF . ………………………………………6 分

(2)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC, BD 的交点, 则 AC ? BD . ………………………………………8 分

5

C1

所以 在三棱锥 C1 - ABD 中,

F M D O A E B

C1O ? BD, AO ? BD .
又 C1O ? AO ? O, 所以 BD ? 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 , 所以 BD ? AC1 .

……………………………………12 分

…………………………………14 分

6.(本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDFE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB ∥ EF ,

AB ? 2 EF,?EAB ? 90 ? ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
(1)若 G 点是 DC 中点,求证: FG // 面AED . (2)求证: 面DAF ? 面BAF . (3) AE ? AD ? 1, AB ? 2, 求三棱锥 D ? AFC 的体积. 若

6

7. (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,

?ACB ? 90? , AB ? 2 , BC ? 1 , AA1 ? 3 .
(1)证明: AC ? 平面 AB1C1 ; 1 (2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否

A

A1

C
存在一点 E ,使 DE / / 平面 AB1C1 ?证明你的结论.

D B1

C1

B
证明: (1)∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC .
?

∵侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,∴ CC1 ? BC . ∵ AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 . ∵ A1C ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC , 1 ∵ BC / / B1C1 ,则 B1C1 ? A1C . 在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 . ∵ AA1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A1 为正方形. ∴ A1C ? AC1 . ∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ AC ? 平面 AB1C1 . 1 (2)当点 E 为棱 AB 的中点时, DE / / 平面 AB1C1 . 证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE , ∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点, A ∴ EF / / AB1 . ∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 , ∴ EF / / 平面 AB1C1 . 同理可证 FD / / 平面 AB1C1 . ∵ EF ? FD ? F , ……11 分 ……12 分 B E C F D B1 C1 A1 …6 分 ……7 分 ……9 分 ……4 分

7

∴平面 EFD / / 平面 AB1C1 . ∵ DE ? 平面 EFD , ∴ DE / / 平面 AB1C1 .

……13 分

……14 分

8.(本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形. 若

AE ? 1, AE ? 平面 ABC ,平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD.
(1)求证: AE //平面 BCD ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 CDE . E

D
(第 8 题图)

A C M B

证明:(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM , 因为 BD ? CD ,且 BD ? CD. BC ? 2 所以 DM ? 1, DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM , 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD , 所以 AE ∥平面 BCD . (2)由(1)已证 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1, 所以四边形 DMAE 是平行四边形, 所以 DE ∥ AM . ………………………………7 分 ………………………………8 分 …………………………4 分 ………………………………5 分 ………………………………6 分 ……………………………3 分 ……………………………1 分

由(1)已证 AM ? BC ,又因为平面 BCD ⊥平面 ABC ,
8

所以 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD . 因为 BD ? CD , BD ? DE ? D , 所以 CD ? 平面 BDE . 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE .

………………………………10 分 ……………………………11 分 ………………………………12 分

………………………………13 分

………………………………14 分

9


相关文档

高二第二学期期末复习习题---概率与立体几何
14级高二数学2立体几何练习题1
高二立体几何练习(立几题选答案详解)
4、高二立体几何同步练习(9.2-2)
高二高三立体几何文科大题训练,附详细答案
((理))高二立体几何练习试题(答案)
高二立体几何练习题(理科附答案)
高二数学立体几何练习二
高二数学立体几何练习(二)
高二数学选修2-1 立体几何练习
电脑版